【摘要】函數(shù)作為高中數(shù)學中的一大主線，函數(shù)思想在非函數(shù)章節(jié)中也有著廣泛的應用，并且一直是高中數(shù)學教學中的重點.函數(shù)思想的本質(zhì)是以運動、變化的觀點去探尋問題中的數(shù)量關系，再以函數(shù)建模的方式，利用圖像和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，從而找到解決問題的途徑.文章簡述應用函數(shù)思想解題的表現(xiàn)，并通過案例分析的方式，闡述函數(shù)思想解決方程、不等式、數(shù)列、最值、實際優(yōu)化、比較大小等問題的具體策略，旨在強化學生的解題能力.

【關鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學；解題策略

函數(shù)知識貫穿于整個高中數(shù)學教學中，仔細閱讀教材內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，方程、數(shù)列、不等式、立體幾何等章節(jié)中都存在函數(shù)思想的“蹤跡”.高中數(shù)學教學中，學生需要通過逐步積累經(jīng)驗來內(nèi)化函數(shù)思想，這樣才能在解決問題時，找到題目數(shù)量關系與函數(shù)之間的銜接點，從而得到正確的答案.對此，在教學中，高中數(shù)學教師應在解題教學中積極運用函數(shù)思想，提高學生思維的深刻性和廣闊性，進而提升學生解題的效率和正確率.

一、應用函數(shù)思想解題的表現(xiàn)

高中數(shù)學學習中，學生經(jīng)常可以遇到一些表面上非函數(shù)，但隱含函數(shù)關系的問題，這類問題非常適合應用函數(shù)思想去解決，通過凸顯隱含的函數(shù)關系來順利得到正確答案.同時，還有部分問題中有著明顯的函數(shù)形態(tài)，包含參數(shù)、取值范圍等表義明顯的關鍵詞，學生可以轉(zhuǎn)換視角，利用函數(shù)思想揭示問題中的函數(shù)關系，突破題設的限制，切入問題的本質(zhì)，從而有效解決原本的問題.此外，遇到條件、結論與函數(shù)毫不相干的問題，學生也可以通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構建出函數(shù)關系.基于此，利用函數(shù)思想和方法解決問題，具體表現(xiàn)在以下兩個方面：第一，利用初等函數(shù)的性質(zhì)，即在解決問題時靈活運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性來解答求值，解不等式或解方程等問題.第二，建立函數(shù)關系或構造中間函數(shù)，這顯然是利用函數(shù)思想解題的更高層次體現(xiàn)，構造函數(shù)時需要審時度勢，通過分析原題中類比、聯(lián)想的主要因素，以思維遷移的方式進行構造，一旦成功，就可以將探究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的某種性質(zhì)，有效降低數(shù)學學習難度.

二、高中數(shù)學解題教學中應用函數(shù)思想的策略

（一）方程問題：凸顯邏輯關系，利用圖像求解

方程問題貫穿了學生的數(shù)學學習生涯，從小學開始就接觸方程求解問題，隨著年級的增長和知識量的積累，解方程的難度也大大提高，尤其是步入高中后，方程求解問題的復雜性大大增加，且與函數(shù)有了密切的聯(lián)系.對此，在解決方程問題時，教師應嘗試引導學生利用函數(shù)思想來求解，指導其根據(jù)方程中的數(shù)量關系來構建函數(shù)，完成“方程”向“函數(shù)”的轉(zhuǎn)化，讓學生通過觀察和分析函數(shù)圖像找到解題思路.

以湘教版高中數(shù)學必修第一冊“函數(shù)與方程”教學為例，教師可以根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系，設計難度適宜的問題并利用圖像解決問題.具體內(nèi)容如下：

基于此，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)思想能助力解決方程問題，且函數(shù)圖像在解題中發(fā)揮著重要作用，結合圖像分析問題、解決問題能更加便捷地得出正確答案，從而提高學生解方程的效率和質(zhì)量.

（二）不等式求解：構建邏輯關系，轉(zhuǎn)化解題思路

不等式是高中數(shù)學教學中的另一重點，在高考試卷中也占據(jù)著較高的分值，提高學生解決不等式問題的準確率，能有效培養(yǎng)學生的思維能力.分析教材的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學中的不等式多是通過符號來構建邏輯關系的，解決問題的過程中，教師應指導學生利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化解題思路，進而得出正確的答案.展開來說，函數(shù)思想多用在不等式求解、不等式恒成立等問題中，通過構建相應的函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再以解方程為一般手段，得出正確結果.

以湘教版高中數(shù)學必修第一冊“一元二次不等式”教學為例，教師在指導學生求解時，應積極構建邏輯關系，轉(zhuǎn)變學生的解題思路，具體內(nèi)容如下：

（三）數(shù)列求解：分析數(shù)量關系，拓展解題方法

數(shù)列是高中數(shù)學教學中的另一個重點，分為等差數(shù)列和等比數(shù)列兩個主要類型，其中，學生對數(shù)列的概念和公式印象較為深刻，但應用理論知識求解時，則容易陷入思維誤區(qū).為了避免上述問題的出現(xiàn)，教師應指導學生在求解數(shù)列的過程中應用函數(shù)思想，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再結合函數(shù)中已知量和未知量的關系，構建合理的函數(shù)邏輯關系，從而實現(xiàn)快速求解的目的.

以湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊“等差數(shù)列”教學為例，教師可以設計等差數(shù)列問題，具體內(nèi)容如下：

（四）最值問題：立足函數(shù)視角，降低解題難度

最值問題是學生出錯率較高的問題，也是高中數(shù)學學習中的一大難點.一般來說，常見的最值問題包括導數(shù)最值、立體幾何最值、不等式最值、平面向量最值等，教師應立足函數(shù)思想引導學生探索最值問題，靈活運用函數(shù)的性質(zhì)去分析和討論，從而降低學生解題的難度.值得注意的是，教師可以結合學生作業(yè)、測試中的真實表現(xiàn)，搜集其犯錯率較高的問題，探索犯錯的原因，如忽視了取值問題、沒找到正確的函數(shù)關系等，再設計具有針對性的解題練習，以確保函數(shù)思想滲透的效果.

以湘教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊“幾種簡單幾何體的表面積和體積”教學為例，教師在教學中要著重引導學生探究面積最值的問題，具體內(nèi)容如下：

立體幾何最值問題 王爺爺購買了一段長為30米的籬笆，準備圍成一個靠墻的矩形菜地（如圖2），通過測量知道墻的長度為18米，這個矩形長、寬各為多少時，菜園的面積最大呢？最大面積是多少？

（五）實際優(yōu)化問題：利用函數(shù)思想，提高解題效率

實際優(yōu)化問題是高中數(shù)學教學中較為常見的一種問題，且與生活實際密切相關，如利潤最大、用量最省、效率最高等.這類問題的抽象性較強，且分散在教材中的各個章節(jié)之中.面對這樣的問題，利用函數(shù)思想審題、分析能得出更直觀的計算思路，提煉出題目中自變量與因變量之間的關系，從而快速找到解題的突破口.

基于此，面對抽象性較強的問題，函數(shù)思想的運用以及模型的建立，能幫助學生找準題目中自變量和因變量的直接關系，快速地解決問題.

（六）比較大小問題：代入函數(shù)視角，形成解題思路

比較兩個實數(shù)的大小，一直是高考數(shù)學命題中的熱點，大多數(shù)情況下，命題者喜歡結合函數(shù)來考查學生對知識的掌握情況，那么，如何根據(jù)題目來構建相應的函數(shù)，便成了解決問題的關鍵.有的時候需要構建的函數(shù)非常簡單，題目中有著直接的體現(xiàn)，還有的時候題目與函數(shù)沒有直接的關系，學生在審題之初無法直接聯(lián)想到函數(shù)或是構造函數(shù)解決問題.對此，教師應指導學生展開分析，代入函數(shù)視角去尋找解題的突破點，逐步形成解題的思路.

以湘教版高中數(shù)學必修第一冊“相等關系與不等關系”教學為例，實數(shù)大小比較是本課中的重點知識，教師在解題教學中應指導學生嘗試從函數(shù)視角去分析和探索，從而形成相應的解題思路，具體內(nèi)容如下：

比較大小 已知實數(shù)a，b，c滿足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，則a，b，c大小關系是（ ）.

A.c≥b>a B.a>c≥b

C.c>b>aD.a>c>b

在解決這一問題時，教師應先給學生充足的時間去探究和分析，學生發(fā)現(xiàn)兩個式子中都是關于a的表達式，且“b+c”和“c-b”非常容易聯(lián)想到利用作差法比較a，b，c的大小.但如何利用b或c來表示a的表達式，則需要應用到函數(shù)思想展開進一步的分析.對此，教師可以啟發(fā)學生運用函數(shù)思想進一步展開思考，利用a-b或b-a，c-b或b-c，a-c或c-a等看成關于a的函數(shù)，再根據(jù)題意解題，如由題意可知b+c=6-4a+3a2 ①；c-b=4-4a+a2 ②.通過①-②得出，b=a2+1，故而b-a=a2-a+1，再利用函數(shù)思想將“b-a”看成關于a的二次函數(shù)，可以得出函數(shù)圖像開口向上，且Δ=1-4<0，故而b-a>0，即b>a.再推導b與c之間的關系，根據(jù)c-b=4-4a+a2進行遷移，得出c-b=a2-4a+4，利用函數(shù)思想將“c-b”看成關于a的二次函數(shù)，可以得出函數(shù)圖像開口向上，且Δ=16-16=0，故而c-b≥0，即c≥b，進而得出a，b，c的大小關系為c≥b>a，故選擇A.

結 語

總的來說，在高中數(shù)學解題教學中應用函數(shù)思想，能有效提高學生的解題能力.縱觀近些年高考數(shù)學試卷的命題趨勢，可以發(fā)現(xiàn)出題者越來越重視函數(shù)思想的運用，主要表現(xiàn)在加強了對計算能力、邏輯思維的考查，旨在強化學生的函數(shù)思想.對此，教師應以解題教學為媒介，設計具體的問題，引導學生探究函數(shù)思想在解決方程、數(shù)列、不等式等問題中的應用策略，讓學生學會多角度思考復雜問題，以促進學生綜合素養(yǎng)的發(fā)展.

【參考文獻】

[1]馮有勝.函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的有效應用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（17）：44-46.

[2]黎彥峰.高中數(shù)學課堂中培養(yǎng)學生解題能力的策略探究[J].數(shù)學學習與研究，2023（19）：20-22.

[3]譚雪妗.函數(shù)與方程思想破解高中數(shù)學教學難點探析[J].數(shù)理化解題研究，2023（18）：2-4.