【摘 要】高中信息技術(shù)教學(xué)中，遞歸可將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且遞歸程序代碼較為簡(jiǎn)潔，是程序設(shè)計(jì)必備的算法。遞歸同時(shí)也是高中信息技術(shù)課標(biāo)要求學(xué)生所掌握的算法。在教學(xué)中，教師可從體會(huì)遞歸的原理、深層次理解遞歸、內(nèi)化遞歸思維三個(gè)方面展開(kāi)，促進(jìn)學(xué)生理解遞歸，進(jìn)而形成遞歸思維。

【關(guān)鍵詞】高中信息技術(shù)；遞歸算法；遞歸程序

【中圖分類號(hào)】G633.67? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）19-0071-03

【作者簡(jiǎn)介】張宏亮，南京市第二十九中學(xué)（南京，210036）教師，一級(jí)教師。

遞歸在程序設(shè)計(jì)領(lǐng)域是一種算法，遞歸程序就是利用遞歸算法編寫(xiě)的程序代碼。其中遞歸算法的實(shí)現(xiàn)依賴于函數(shù)。因此，在一個(gè)函數(shù)的函數(shù)體中可以直接或間接地調(diào)用該函數(shù)本身，這樣的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)，遞歸函數(shù)直接或間接調(diào)用自身的過(guò)程叫作遞歸。［1］

在實(shí)際教學(xué)中，遞歸程序雖然代碼簡(jiǎn)潔，但函數(shù)逐層調(diào)用自己的過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，有時(shí)還要逐層返回去執(zhí)行上一層后續(xù)的代碼，教師難講解清楚，學(xué)生易陷入思維混亂。因此，在進(jìn)行遞歸程序教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意設(shè)置情境，引導(dǎo)學(xué)生從形象思維順利過(guò)渡到抽象思維，理解遞歸的本質(zhì)以及遞歸執(zhí)行的原理與過(guò)程。

一、體會(huì)遞歸的原理

體會(huì)遞歸的原理是深入學(xué)習(xí)遞歸的第一步。遞歸的基本思想就是把一個(gè)大的復(fù)雜問(wèn)題逐層轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問(wèn)題相似但規(guī)模較小的子問(wèn)題來(lái)求解，即化繁為簡(jiǎn)、以大化小。

筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中可選取能體現(xiàn)遞歸的原理的案例，讓學(xué)生直觀感受的同時(shí)，激發(fā)其繼續(xù)探究遞歸的興趣。案例的選取可從生活中的遞歸入手。如分形圖，利用遞歸算法可以模擬出傳統(tǒng)的幾何方法所不能描述的自然景觀，將復(fù)雜的景物用簡(jiǎn)單的規(guī)則來(lái)生成［2］，從視覺(jué)上刺激學(xué)生。如何引導(dǎo)學(xué)生在直觀感受的同時(shí)領(lǐng)悟其中的遞歸思想，是教師教學(xué)的重點(diǎn)。筆者認(rèn)為，可以從引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算思維分析案例入手。計(jì)算思維解決問(wèn)題一般分為4個(gè)步驟，即分解問(wèn)題、模式識(shí)別、抽象化、算法。以圖1中的遞歸二叉樹(shù)案例為例。

第一步：分解問(wèn)題，教師呈現(xiàn)遞歸二叉樹(shù)代碼運(yùn)行過(guò)程的動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生觀察它是如何將遞歸二叉樹(shù)圖形逐步轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)規(guī)模較小的子圖形的，使學(xué)生意識(shí)到可將復(fù)雜的圖形分解為較小的簡(jiǎn)單圖形來(lái)求解。

第二步：模式識(shí)別，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原圖形和子圖形的相似之處。學(xué)生從動(dòng)畫(huà)演示中易發(fā)現(xiàn)二者不僅形狀相似，且畫(huà)法相同。

第三步：抽象化，引導(dǎo)學(xué)生抽象出原圖形和子圖形本質(zhì)的畫(huà)法，即“繪制右子樹(shù)—回到樹(shù)枝節(jié)點(diǎn)—繪制左子樹(shù)—回到樹(shù)枝節(jié)點(diǎn)”。

第四步：算法，不斷重復(fù)執(zhí)行第三步抽象得到的步驟，即可畫(huà)出遞歸二叉樹(shù)。此時(shí)學(xué)生已感知到了原問(wèn)題與子問(wèn)題的關(guān)系，也有了將復(fù)雜問(wèn)題分解成小問(wèn)題來(lái)解決的意識(shí)。據(jù)此，教師可以引出遞歸算法的基本思想。

二、深層次理解遞歸

經(jīng)過(guò)遞歸思想的滲透，學(xué)生即可編寫(xiě)程序。但在編寫(xiě)程序時(shí)，學(xué)生往往會(huì)無(wú)從下手，尤其是對(duì)函數(shù)自己調(diào)用自己的過(guò)程感到困惑。因此，本部分教學(xué)的難點(diǎn)在于使學(xué)生深層次理解遞歸，理解函數(shù)自己調(diào)用自己來(lái)解決問(wèn)題的原理與過(guò)程。

教學(xué)遞歸程序的前提是學(xué)生已經(jīng)掌握了自定義函數(shù)。首先，筆者讓學(xué)生用遞歸思想去分析問(wèn)題，明確自定義函數(shù)。其次，用嵌套的形式輔助學(xué)生理解遞歸的執(zhí)行過(guò)程，即遞推然后回歸。具體以年齡問(wèn)題為例闡述如下。

問(wèn)題情境：5個(gè)學(xué)生在一起，第5個(gè)學(xué)生說(shuō)他比第4個(gè)學(xué)生大兩歲，第4個(gè)學(xué)生說(shuō)他比第3個(gè)學(xué)生大兩歲，第3個(gè)學(xué)生說(shuō)他比第2個(gè)學(xué)生大兩歲，第2個(gè)學(xué)生說(shuō)他比第1個(gè)學(xué)生大兩歲，第1個(gè)學(xué)生說(shuō)他今年10歲，請(qǐng)問(wèn)第5個(gè)學(xué)生今年幾歲？

第一步：按照遞歸思想分析該問(wèn)題，以大化小，可知要求第5個(gè)人年齡，先求第4個(gè)人年齡再加2，求第4個(gè)人年齡要先求第3個(gè)人年齡再加2，以此類推。接下來(lái)逐步形成自定義函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：計(jì)算某個(gè)人的年齡是重復(fù)的動(dòng)作，即其等于計(jì)算前一個(gè)人的年齡加2，如果是第一個(gè)人年齡，答案就是10?？勺远x一個(gè)函數(shù)為age（），功能為求某個(gè)人的年齡。設(shè)變量n代表“當(dāng)前同學(xué)”，則可得到代碼（見(jiàn)圖2）。

第二步：用嵌套的形式輔助學(xué)生理解遞歸的執(zhí)行過(guò)程。遞歸的本質(zhì)是函數(shù)的重復(fù)執(zhí)行，只不過(guò)是通過(guò)函數(shù)自己嵌套自己的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)的。筆者認(rèn)為，此處可以讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，體會(huì)和感悟函數(shù)的重復(fù)執(zhí)行過(guò)程，如可設(shè)計(jì)如圖3所示的試一試活動(dòng)。實(shí)踐過(guò)程中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)程序會(huì)不斷輸出某個(gè)數(shù)，直至報(bào)錯(cuò)，教師可借此順利引出解答此題要給出重復(fù)執(zhí)行的終止條件，否則函數(shù)會(huì)無(wú)限地反復(fù)調(diào)用，從而陷入死循環(huán)。

經(jīng)過(guò)以上學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生再回過(guò)頭來(lái)分析計(jì)算年齡的遞歸程序，學(xué)生易體會(huì)到雖然age（）函數(shù)僅有4行代碼，但實(shí)際上該age（）函數(shù)在不斷地重復(fù)執(zhí)行。由于age（）函數(shù)執(zhí)行過(guò)程中涉及回歸，筆者認(rèn)為此處可展開(kāi)嵌套，用圖形的形式將抽象的東西具象化，輔助學(xué)生理解遞歸過(guò)程（見(jiàn)圖4）。根據(jù)嵌套的執(zhí)行原理，即先遞推到最內(nèi)層嵌套，只有當(dāng)最內(nèi)層嵌套解決了，才返回上一層嵌套去執(zhí)行后續(xù)的代碼，先是逐層遞推進(jìn)去，然后再逐層返回，且每一層嵌套都是age（）函數(shù)本身，學(xué)生也就理解了遞歸“自己”逐層向內(nèi)嵌套“自己”的原理——先逐層嵌套進(jìn)行遞推，再逐層返回進(jìn)行回歸。

經(jīng)過(guò)以上教學(xué)，學(xué)生明確年齡問(wèn)題的遞歸程序完整代碼如圖5所示，遞歸終止條件為n==1。遞歸編寫(xiě)的代碼簡(jiǎn)潔易懂。

三、內(nèi)化遞歸思維

圖5中的年齡問(wèn)題較簡(jiǎn)單，用普通的循環(huán)就可以解決，但是現(xiàn)實(shí)中學(xué)生往往會(huì)面臨復(fù)雜的問(wèn)題，解決這類復(fù)雜問(wèn)題時(shí)就需要用到遞歸思維。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)遞歸的案例形成遞歸思維，解決復(fù)雜問(wèn)題。

教師可設(shè)計(jì)經(jīng)典的案例培養(yǎng)學(xué)生的遞歸思維，使其學(xué)會(huì)分解并抽象復(fù)雜問(wèn)題。如走臺(tái)階問(wèn)題：一個(gè)10級(jí)臺(tái)階的樓梯，如果每次只能走一個(gè)臺(tái)階或者兩個(gè)臺(tái)階，那么有多少種走法？

第一步：以大化小，逐層分解問(wèn)題。設(shè)問(wèn)：逐步縮小問(wèn)題規(guī)模，分解的若干子問(wèn)題分別是什么？其中最小可直接解決的子問(wèn)題是什么？第二步：尋找關(guān)聯(lián)，抽象問(wèn)題。設(shè)問(wèn)：原問(wèn)題與分解的若干子問(wèn)題有何關(guān)聯(lián)，能否建立計(jì)算模型？學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題和子問(wèn)題解法相同，即n階臺(tái)階走法=（n-1階臺(tái)階走法）+（n-2階臺(tái)階走法），接著教師引導(dǎo)學(xué)生將解決問(wèn)題的方法抽象成自定義函數(shù)，即遞歸函數(shù)。第三步：整理算法，編寫(xiě)程序。

遞歸的優(yōu)勢(shì)在于編寫(xiě)的代碼簡(jiǎn)潔，解決問(wèn)題的邏輯一目了然，尤其是用于解決復(fù)雜問(wèn)題。但遞歸需要較多的時(shí)間和空間，若遞歸的深度過(guò)大還會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。因此，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇是否用遞歸。教師在教學(xué)遞歸程序時(shí)，若可以引導(dǎo)學(xué)生快速找到循環(huán)解決的方法，則優(yōu)先用循環(huán)解決，反之嘗試用遞歸思維去解決，也可將遞歸轉(zhuǎn)為非遞歸程序。

【參考文獻(xiàn)】

［1］譚浩強(qiáng).C程序設(shè)計(jì)教程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007：153.

［2］張學(xué)軍， 張萍.遞歸程序探討［J］.蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，16（1）：65-69.