劉金花

［摘 ?要］ “數(shù)與運算”是小學階段涉及內(nèi)容非常多、學習時間很長的一個主題。教師要抓住這個主題的核心概念和內(nèi)容，重視一致性教學，讓學生學會舉一反三，讓課堂真正做到減負增效。

［關鍵詞］ 計數(shù)單位；位值制；核心素養(yǎng) 一、數(shù)的一致性

1. 認知過程的一致性：數(shù)是對數(shù)量的抽象

無論是對整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)的認識，學生都要經(jīng)歷兩個層次的數(shù)學活動：第一個層次是從具體的數(shù)量到抽象的數(shù)，第二個層次是從抽象的數(shù)又回到具體的數(shù)量。

比如，小學一年級認識10以內(nèi)的數(shù)時，第一個層次的數(shù)學活動是教師要引導學生認識“5本書、5個人、5塊餅干”等具體情境，再到“5根小棒”表示“5”這個符號，這就是從具體到抽象的過程，把生活情境進行數(shù)學化；第二個層次的數(shù)學活動是讓學生用“5”這個數(shù)字說一句話，這就是從抽象回到具體，加深他們對數(shù)字“5”的認識。

比如，三年級對小數(shù)“0.1”的認識時，第一個層次的數(shù)學活動是結(jié)合生活中的具體情境來理解這個小數(shù)。比如生活中的“0.1元”“0.1千克”“0.1米”，學生結(jié)合自己的生活和學習經(jīng)驗，用自己喜歡的方式來說明“0.1”這個抽象概念；第二個層次是學生透徹理解之后，換一個情境解釋其他小數(shù)（比如0.3厘米、1.7千克），起到深化建模意識的作用。

從認識數(shù)的過程來說，不管是自然數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，都要經(jīng)歷從現(xiàn)實背景抽象的過程，然后脫離現(xiàn)實背景建立一般性的表達，最后應用于具體問題，這個認識過程是一致的。

2. 表達方式的一致性：數(shù)+計數(shù)單位

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的解讀中提到，數(shù)是由數(shù)字符號及其所在位置（數(shù)位）表達的。數(shù)的表達的一致性，不管表示多大的自然數(shù)或者小數(shù)時都會反復運用位值制。在位值制中，學生最熟悉的是十進制。從小學一年級開始，學生就知道“滿10進1”，知道“10個1是1個10”。隨著學習的繼續(xù)，學生逐步將自然數(shù)的數(shù)位順序表學習完整，知道自然數(shù)的進位法則都是十進制。學生從三年級開始接觸小數(shù)，五年級進一步完善對小數(shù)的認識，在對小數(shù)的意義的探究和理解中，知道了1平均分成10份得到0.1，0.1平均分成10份得到0.01，0.01平均分成10份得到0.001……由此可知，整個數(shù)的系統(tǒng)都可以由十進制來表達，學生從而知道沒有最大的數(shù)，也沒有最小的數(shù)。位值制的一致性體現(xiàn)在自然數(shù)和小數(shù)中，但在分數(shù)的認識中行不通。分數(shù)的表達必須要用上分數(shù)單位，可以把分數(shù)單位歸結(jié)為計數(shù)單位的一種特殊形式。

有了位值制之后，要表達一個數(shù)，就可以用“數(shù)+計數(shù)單位”的形式。比如：19=19個1；1.9=19個0.1；5/9=5個1/9。這樣，自然數(shù)、小數(shù)和分數(shù)都可以看作對計數(shù)單位個數(shù)的表達，在表達方式上體現(xiàn)了數(shù)的一致性。

二、運算的一致性

1. 運算意義的一致性

加法是最基本的運算，學生開始學習加法時的理解是兩個數(shù)量的合并。純數(shù)字的加法是若干個“1”的累加，從任何一個數(shù)開始，加幾就是加上幾個“1”。比如，“5+3”可以看成5再加上3個“1”。

減法是加法的逆運算，就是每次都減去1個“1”。當學生的數(shù)感達到一定程度，可以將減法理解為對“-1”的累加，同樣可以理解為幾個數(shù)量的合并。比如5-3=5-1-1-1=5+（-1）+（-1）+（-1），可以看作5和3個（-1）的合并。

乘法是加法的簡便計算，表示若干個相同數(shù)的連加，本質(zhì)上還是加法。除法是乘法的逆運算，本質(zhì)上是連減，當然也可以看作加法的運算。比如“12÷3”表示的是12里有幾個3，其實就是算12是幾個3的合并。

所以，基礎的加減乘除運算都可以看作加法的運算，從運算意義上看具有一致性。

2. 運算方式的一致性

（1）對計數(shù)單位個數(shù)的累加

在加法和乘法運算中體現(xiàn)的一致性是對計數(shù)單位個數(shù)的累加。乘法作為加法的簡便運算，有這種一致性是必然的。比如，加法的基礎運算：30+20=3個10+2個10=5個10=50；0.3+0.2=3個0.1+2個0.1=5個0.1=0.5；+=3個+2個=（3+2）個=5個=。

由于加法是對相同的計數(shù)單位的個數(shù)的累加，所以異分母分數(shù)的加減法需要先統(tǒng)一分數(shù)單位。如果學生在以前的學習中已經(jīng)認識到加法運算的一致性，那么接受異分母分數(shù)加減法是很容易的事情。當然減法作為加法的逆運算，“累加”就要轉(zhuǎn)化成“遞減”來理解了。

比如，乘法的基礎運算：30×3=（3個10）×3=（3×3）個10=9個10=90；0.8×3=（8個0.1）×3=（8×3）個0.1=24個0.1=2.4；×3=（4個）×3=（4×3）個=12個=。

由乘法的基礎運算可以看出，乘法運算也是對計數(shù)單位個數(shù)的累加，從這個角度看復雜的乘法運算學生更容易接受。比如：3.2×3.8=（32×0.1）×（38×0.1）=（32×38）×（0.1×0.1）。這里可以把0.1看成，那么0.1×0.1就是算0.1的是多少，根據(jù)小數(shù)的意義和位值制可以知道0.1的就是0.01，所以0.1×0.1=0.01。

（2）對計數(shù)單位個數(shù)的均分

在除法運算中體現(xiàn)的一致性是對計數(shù)單位個數(shù)的均分。除法作為乘法的逆運算，它們之間既有直接的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。

比如，除法的基礎運算：12÷3=（12個1）÷3=（12÷3）個1=4個1。這里12÷3就是整除，計數(shù)單位的個數(shù)足夠均分。但是除法計算中有很多是不能整除的，比如小數(shù)除法：12÷5=（10+2）÷5=（10個1）÷5+（2個1）÷5，這里的（10個1）÷5就是整數(shù)的除法，計數(shù)單位的個數(shù)正好整除；（2個1）÷5，學生在二年級的時候可以作為有余數(shù)的除法，到了五年級學小數(shù)除法的時候，在對小數(shù)計數(shù)單位充分認識的基礎上再進行運算，這里的運算就變成：2÷5=（2個1）÷5=（20個0.1）÷5=（20÷5）個0.1=4個0.1=0.4。

這里明顯可以看到，當計數(shù)單位的個數(shù)不夠均分時，就要進行計數(shù)單位的細分，擴大計數(shù)單位的個數(shù)，這樣就可以再次進行計數(shù)單位的均分。這里體現(xiàn)了數(shù)與運算的一致性，在進行數(shù)的運算時，十進制計數(shù)法的表達是學生能進行正確運算的依據(jù)。

在分數(shù)除法的運算過程中，計數(shù)單位的均分和細分再次體現(xiàn)（這里的計數(shù)單位就是分數(shù)單位）。比如，÷2=（4個）÷2=（4÷2）個=2個=（計數(shù)單位的個數(shù)可以均分）；÷3=（4個）÷3=（12個）÷3=（12÷3）個=4個=（計數(shù)單位的個數(shù)不夠均分，需要細分計數(shù)單位）。

三、數(shù)與運算的一致性

1. 核心要素的一致性

核心要素有位值制、計數(shù)單位、運算律。數(shù)的表達離不開計數(shù)單位和位值制。運算的過程是一個推理的過程，在這個過程中要用到運算的意義、數(shù)的表達方式和運算律。

此外，運算的對象是數(shù)，而數(shù)的認識從一開始就和運算有關。比如，從1+1得到“2”就是數(shù)的運算帶來的數(shù)的擴充。隨著數(shù)的認識越來越廣，運算的內(nèi)容也越來越復雜，但是基本的算理是一致的，都要與數(shù)的意義進行聯(lián)系，都要對計數(shù)單位進行操作，都要依據(jù)運算律進行推理，這些也體現(xiàn)了數(shù)與運算的整體性。

2. 關鍵能力的一致性

關鍵能力包括數(shù)感、推理意識、運算能力等。數(shù)的表達中，對數(shù)的意義的認識特別有助于學生數(shù)學數(shù)感的培養(yǎng)。比如對數(shù)的組成的分析、數(shù)的大小的比較、近似數(shù)的求法都能幫助學生加深對數(shù)的認識。學生在對小數(shù)、分數(shù)的大小比較以及求近似數(shù)的過程中，都有其推理意識的體現(xiàn)，也能夠培養(yǎng)其估算意識；學生在進行數(shù)的運算的過程中，對結(jié)果的估算、算理的滲透、算法的明晰，處處都能感受到關鍵能力的存在。

四、教學建議

1. 注重內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化

小學階段數(shù)與運算的一致性要求教師在處理這一部分的內(nèi)容時，要注意將具有相同本質(zhì)特征的學習內(nèi)容進行整合，這就是新課標提到的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化。教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化既有助于學生整體理解學科內(nèi)容，完整把握某一個主題下的知識結(jié)構(gòu)，又能夠促進學生深入理解核心概念及其蘊含的核心素養(yǎng)。比如，學生學習小數(shù)乘小數(shù)之后，知道計算小數(shù)乘小數(shù)要先轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計算。在學習小數(shù)除以小數(shù)的時候，學生有了學習經(jīng)驗，就能猜測應該轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法來計算。

比如，在學習小數(shù)乘整數(shù)時，教師可以先梳理80×3的算法，讓學生回憶：80×3=8個10+8個10+8個10=（8×3）個10=24個10=240。這樣，學生在計算0.8×3的時候，首先會想到3個0.8相加，就是8個0.1+8個0.1+8個0.1=（8×3）個0.1=24個0.1=2.4。將小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘法放在一起進行結(jié)構(gòu)化教學，學生學起來會覺得更簡單、更輕松。

2. 將未知轉(zhuǎn)化為已知

部分小學生學習數(shù)學越學越覺得“難”，無法找到學習的突破口，覺得每天新知識的學習都是一項巨大的挑戰(zhàn)。如果教師能夠?qū)⑽粗D(zhuǎn)化為已知來進行教學，化難為易、化繁為簡，學生會更容易接受，更樂于學習。

比如，在教學小數(shù)乘小數(shù)時，學生對于“一位小數(shù)乘一位小數(shù)的積是兩位小數(shù)”這個知識點的理解，總是會出現(xiàn)“0.4×0.4=1.6”這樣的錯誤。這時候?qū)W生對課本上新授部分的教學不容易接受，教師就可以利用學生已有的其他知識經(jīng)驗來解決。

方法1：依據(jù)簡單的推理，0.4×4=1.6，那么0.4×0.4自然是0.16。

方法2：將0.4×4和0.4×0.4的計算過程進行對比。

0.4×4=（4×0.1）×4=（4×4）×0.1=16×0.1=1.6；

0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）。

在這個推理過程中會產(chǎn)生一個新的問題：0.1×0.1=？

可以這樣利用小數(shù)的意義去思考：0.1×0.1=（1÷10）×（1÷10）=1×1÷10÷10=1÷（10×10）=1÷100=0.01。

所以：0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）=16×0.01=0.16。

3. 基于核心素養(yǎng)進行教學

教師對數(shù)與運算一致性的研究越深入，對這部分內(nèi)容關鍵能力和重難點的把握就會越透徹。教師在教學的時候，對學生“四基”“四能”的培養(yǎng)要更重視，對學習過程中所體現(xiàn)的關鍵能力、核心素養(yǎng)要更加重視。在數(shù)與運算這部分的教學中，教師要引導學生不要出現(xiàn)算理和算法脫節(jié)、只知“法”不知“理”的情況。

在過去的教學中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的情況：一個簡單的口算（比如0.15×4），讓學生回答口算過程時，學生都是列出豎式計算。究其原因就是教師在教學豎式時，學生只明晰算法卻不知道算理。在小數(shù)除以小數(shù)時也會出現(xiàn)類似的情況，比如0.56÷7、0.56÷0.7這兩道算式，部分學生對口算的方法答不上來，全憑列豎式才能進行計算。由此可見，教學時如果教師僅關注學生運算能力的培養(yǎng)，忽視推理過程的教學，不利于學生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。長此以往，學生只會機械地學習，數(shù)感、推理意識等關鍵能力會出現(xiàn)缺失。

總之，在新課標的理念之下，在數(shù)與運算的教學中教師要關注知識結(jié)構(gòu)的整體性和一致性，要以學生為本，制定結(jié)構(gòu)化的教學目標，幫助學生建立完善的知識系統(tǒng)，逐步形成核心素養(yǎng)。