【作者簡介】李子豪，二級教師，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育。

【摘 要】為了拓寬概念理解的評價方式，研究小學(xué)生的舉例表現(xiàn)是否與其對相應(yīng)概念的理解存在相關(guān)性，本文采用問卷測試法對南京市L小學(xué)六年級6個班共180名學(xué)生進行了正例、反例和概念理解的測試，分析了學(xué)生的作答數(shù)據(jù)，得出學(xué)生在舉正例方面的表現(xiàn)比舉反例要好，學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對相應(yīng)概念的理解存在顯著的相關(guān)性，并且反例對于概念理解具有獨特的價值?；谘芯拷Y(jié)論，建議一線教師在概念教學(xué)中鼓勵學(xué)生自主舉例，關(guān)注學(xué)生的舉例表現(xiàn)，把學(xué)生的舉例表現(xiàn)作為新的概念理解評價方式。

【關(guān)鍵詞】正例；反例；概念理解；概念評價

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年）》（以下簡稱“新課標”）明確指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界［1］。無論是數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維還是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)概念都在其中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，這決定了概念理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里值得重點關(guān)注的一環(huán)，并將持續(xù)成為數(shù)學(xué)教育的研究熱點。

那么，如何評價學(xué)生的概念理解？背誦概念的定義、大量的練習(xí)反饋等傳統(tǒng)的評價方式過于機械，近些年來興起的概念圖成為一種比較新穎的評價方式。但從教學(xué)現(xiàn)狀來看，概念理解的評價途徑還是相對單一和匱乏的。

舉例，廣泛存在于人們的交流活動中，數(shù)學(xué)課堂也不例外。曹才翰、章建躍指出，數(shù)學(xué)概念除了具備抽象性以外，又是非常具體的，即一個數(shù)學(xué)概念的背后有許多具體內(nèi)容為支撐，學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)概念的定義，同時又能舉出概念的具體例證，才算真正掌握了數(shù)學(xué)概念。［2］這說明舉例已經(jīng)被部分學(xué)者意識到可以作為一種概念理解的評價手段。然而，舉例雖然普遍存在于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，但是已有研究大多是從教師教學(xué)的角度分析舉例的作用，較少有研究從學(xué)生舉例的表現(xiàn)來評價學(xué)生的概念理解。

為了拓寬概念理解的評價方式，本文將舉例分為舉正例與舉反例，并研究小學(xué)生的舉例表現(xiàn)是否與其對相應(yīng)概念的理解存在相關(guān)性。其中正例是指具有概念的所有本質(zhì)屬性的例子，反例是指符合某個命題的條件卻不符合它的結(jié)論的例子。本文以六年級“因數(shù)和倍數(shù)”內(nèi)容為例，確定研究問題：

（1）小學(xué)生在“因數(shù)與倍數(shù)”上的舉例表現(xiàn)如何？

（2）小學(xué)生在“因數(shù)與倍數(shù)”上的舉例表現(xiàn)與其概念理解的水平是否存在相關(guān)性？

二、研究設(shè)計

1.研究對象

本研究選取了南京市L小學(xué)六年級6個班共180名學(xué)生進行測試，鑒于數(shù)據(jù)的有效性，實際參與率為95.6%，即有效測試人數(shù)為172人。

2.研究方法

問卷測試法和訪談法。

3.研究工具

為考查學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其概念理解水平的相關(guān)性，本研究圍繞因數(shù)和倍數(shù)內(nèi)容，根據(jù)新課標的要求，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為基礎(chǔ)，編制了3份測試卷，分別為正例測試卷、反例測試卷和概念理解測試卷。其中正例測試卷主要是讓學(xué)生根據(jù)題目要求舉出合適的正例；反例測試卷主要讓學(xué)生判斷給定的數(shù)學(xué)陳述（即數(shù)學(xué)命題）的正確性，若學(xué)生判斷該命題是錯誤的，則要求其至少舉出一個反例；概念理解測試卷的內(nèi)容根據(jù)萊什和蘭多的概念理解評價模型分為了4個維度，即感知、表征、聯(lián)結(jié)和應(yīng)用［3］。試題的來源以教輔習(xí)題和自編題為主。在編制試題時，筆者首先與資深小學(xué)數(shù)學(xué)教師及高校數(shù)學(xué)教育專家進行深入交流和探討，再根據(jù)預(yù)測試情況對試題進行修正（如試題表述、難度），以確保測試卷具有良好的信效度。最終，三份測試卷的克隆巴赫系數(shù)均大于0.7。

4.數(shù)據(jù)處理

本研究用Excel和SPSS軟件進行數(shù)據(jù)處理和分析。

三、測試結(jié)果與分析

1.學(xué)生的舉例表現(xiàn)

本部分先從兩個角度分析學(xué)生的正例與反例表現(xiàn)：一方面是學(xué)生的總體表現(xiàn)，包括計算各題得分的平均值、得分率及標準差；另一方面則是根據(jù)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容把試卷內(nèi)部具有相關(guān)性的試題合成題組，分析學(xué)生在這些題組里的表現(xiàn)情況。

接著，依據(jù)測試題在有關(guān)數(shù)學(xué)概念上的相關(guān)性，本研究將各試題結(jié)合成題組，再次分析學(xué)生在這些題組上的表現(xiàn)情況，以便能夠從較微觀的角度去分析學(xué)生舉反例的表現(xiàn)與其對于相關(guān)概念的理解的關(guān)系。

（1）正例表現(xiàn)

圖1給出的是學(xué)生正例測試總得分在各分段的人數(shù)分布情況。

測試發(fā)現(xiàn)，在滿分為21分的測試中，172名學(xué)生的平均得分為18.91分，標準差是3.02，得分率為90.0%，表現(xiàn)較好。事實上，得分在21分的學(xué)生共計74人，約占總數(shù)的43.0%，即將近一半的學(xué)生得到了滿分。圖1還顯示，得分在19分至21分的學(xué)生占比達到68.6%，而得分處在12分及以下的學(xué)生占比僅為5.2%。

正例測試的典型題組樣例如下：

6.按要求寫出兩個數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1。

（1）兩個數(shù)都是合數(shù)：（? ）和（? ）。

（2）一個質(zhì)數(shù)、一個合數(shù)：（? ?）和（? ）。

（3）兩個數(shù)都是奇數(shù)：（? ）和（? ）。

（4）一個奇數(shù)、一個偶數(shù)：（? ）和（? ）。

（5）一個奇數(shù)、一個質(zhì)數(shù)：（? ）和（? ）。

（6）一個質(zhì)數(shù)、一個偶數(shù)：（? ）和（? ）。

題6的6個子問題作為一組，其上位內(nèi)容都是兩個數(shù)的互質(zhì)關(guān)系，但是6個子問題對這兩個數(shù)各有要求［如題6（1）要求兩個數(shù)都是合數(shù)，題6（6）要求兩個數(shù)一個是質(zhì)數(shù)一個是偶數(shù)］。舉出符合要求的正例需要學(xué)生掌握概念并且還要注意舉出的兩個數(shù)字互不互質(zhì)。由表1給出的學(xué)生在這6道題上的得分情況可見，題6（4）的得分率最高，為90.1%，平均得分為0.90（滿分為1分）。題6（1）和題6（2）的得分率稍低一些，為82.3%，平均得分為0.83（滿分為1分）。

題6（1）要求互質(zhì)的兩個數(shù)都是合數(shù)，這道題其實從側(cè)面要求學(xué)生會舉出既是奇數(shù)又是合數(shù)的例子，如果舉出的兩個合數(shù)都是偶數(shù)的話，那么偶數(shù)都是2的倍數(shù)則不互質(zhì)，所以這道題對于那些認為“合數(shù)都是偶數(shù)”的學(xué)生來說存在一定的難度。分析學(xué)生的錯誤答案可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)錯誤答案里的例子都是兩個既是合數(shù)又是偶數(shù)的數(shù)（見圖2）。

題6（2）要求互質(zhì)的兩個數(shù)是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)，這道題按理說難度不高，可以寫相鄰的一些數(shù)字（如3和4），但學(xué)生的得分率卻較低。分析學(xué)生的錯誤答案可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的錯誤答案里舉出的兩個數(shù)字是一個合數(shù)和一個既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)（見圖3）。筆者對這部分學(xué)生進行訪談，學(xué)生普遍認為自己寫出的奇數(shù)是質(zhì)數(shù)，把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)這兩個概念形成了某種不恰當?shù)穆?lián)結(jié)。仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，題6（1）和題6（2）的兩種錯誤類型具有共性，即學(xué)生把質(zhì)數(shù)和合數(shù)與奇數(shù)和偶數(shù)人為地分隔開了，簡單地把合數(shù)歸為偶數(shù)，質(zhì)數(shù)歸為奇數(shù)，但不管是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)都與奇數(shù)和偶數(shù)有交叉性。

（2）反例表現(xiàn)

圖4給出的是學(xué)生反例測試總得分在各分段的人數(shù)分布情況。

測試發(fā)現(xiàn)，在滿分為36分的測試中，172名學(xué)生的平均得分為19.51分，標準差是8.09，得分率為54.2%，不足滿分的60%。事實上，得分在21分及以下的學(xué)生共計97人，占總數(shù)的56.4%，即半數(shù)以上的學(xué)生未達到滿分的60%。圖4還顯示，得分在18分至24分之間的學(xué)生占比最高（30.2%），而最高得分段（31—36分）的學(xué)生占比僅為7.0%。

反例測試的典型題組（判斷題）樣例如下：

1.兩個質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)。（? ）

2.質(zhì)數(shù)的倍數(shù)一定是合數(shù)。（? ）

5.一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是合數(shù)。（? ）

7.任意多個奇數(shù)相加的和一定是偶數(shù)。（? ）

9.三個合數(shù)相乘的積一定是偶數(shù)。（? ）

10. 3個奇數(shù)相加的和一定是合數(shù)。（? ）

由于題1、題2、題5、題7、題9和題10都涵蓋多個概念（例如，題1為質(zhì)數(shù)和偶數(shù)，題5為奇數(shù)、偶數(shù)和合數(shù)等），且這些題皆與概念之間的運算有關(guān)（如題9為合數(shù)之間的乘法與奇偶性的關(guān)系，題10為奇數(shù)相加的和與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的關(guān)系），因此這6道題可歸為一個題組。由表2給出的學(xué)生在這6道題上的得分情況可見，除題1和題7外，學(xué)生的得分都較低，其中題2的得分率最低，僅有23.6%，平均得分為0.71分（滿分為3分），題5和題9也類似，這表明大部分學(xué)生在這幾道題上無法正確判斷命題或者無法構(gòu)造出符合題意的反例。

通過對比，發(fā)現(xiàn)在題2上，大部分學(xué)生都認為題述命題是正確的，還有部分學(xué)生進行了積極的嘗試（見圖5），可是在嘗試的過程中都使用了一個質(zhì)數(shù)去乘2或乘3等。事實上，這道題考查的是“一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它自己”，最小倍數(shù)也就是1倍，即質(zhì)數(shù)的1倍還是質(zhì)數(shù)。所以，在這道題上，學(xué)生只要用任意一個質(zhì)數(shù)乘1即能成功構(gòu)造出反例。這說明大部分學(xué)生對于“倍數(shù)”概念的表征網(wǎng)絡(luò)并不完善，學(xué)生對“倍數(shù)”的理解似乎是從2倍開始的，對倍數(shù)這個上位概念和“1倍”這個下位概念沒有形成有效的聯(lián)結(jié)，從而不能完全理解倍數(shù)的概念。

學(xué)生在題9上的錯誤可以分成兩類。第一類是學(xué)生嘗試構(gòu)造的反例中的三個合數(shù)全都是偶數(shù)（見圖6），根據(jù)乘積的奇偶性，只要乘數(shù)里有一個是偶數(shù)，那么積一定是偶數(shù)，所以這樣的構(gòu)造注定是錯誤的。第二類是學(xué)生嘗試構(gòu)造的反例中的三個合數(shù)里有部分是奇數(shù)，且這里的奇數(shù)集中在“9”或“15”（見圖7），最后的結(jié)果還是偶數(shù)。從學(xué)生的表現(xiàn)來看，之所以沒有寫三個既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)，一方面可能是沒有意識到題目的本質(zhì)是考查能否寫出三個既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)，另一方面也有可能是教師上課時過于強調(diào)“9”和“15”，從而限制了學(xué)生的思維，較難想到其他既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)。這題涉及乘積的奇偶性、奇數(shù)和合數(shù)的交集等知識點的聯(lián)結(jié)，從錯誤答案可以推測出學(xué)生關(guān)于這兩個知識點的內(nèi)部表征的聯(lián)結(jié)強度不大，甚至產(chǎn)生了“合數(shù)等價于偶數(shù)”這樣的錯誤聯(lián)結(jié)。

為了比較學(xué)生在正例測試卷的表現(xiàn)和在反例測試卷的表現(xiàn)有沒有顯著差異，筆者分別算出每位學(xué)生在兩張測試卷的得分率，然后對學(xué)生在兩張測試卷的得分率進行配對樣本t檢驗。結(jié)果顯示，學(xué)生在正例測試卷的得分率（0.900±0.144）相比在反例測試卷的得分率（0.542±0.225）增加了0.359（95%CI：0.330—0.387），差異具有統(tǒng)計學(xué)意義，t（171）=25.103，p＜0.001。

2.學(xué)生的舉例表現(xiàn)與概念理解水平的相關(guān)性

（1）不同的正例表現(xiàn)

本研究首先對學(xué)生的正例總分與概念理解總分進行了相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，學(xué)生的正例總分與概念理解總分的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.664，p＜0.001，表明學(xué)生的正例成績與概念理解成績之間存在顯著的高度正相關(guān)關(guān)系。

依據(jù)學(xué)生在正例測試卷上的測試表現(xiàn)以及與一線教師的深入交流，本研究把在正例測試卷上得分處于19至21分的學(xué)生定義為“正例表現(xiàn)好的學(xué)生”，把得分處于0至18分的學(xué)生定義為“正例表現(xiàn)不好的學(xué)生”。

經(jīng)過統(tǒng)計可知，正例表現(xiàn)好的學(xué)生組在概念理解測試卷的平均得分為58.61，標準差是8.845，正例表現(xiàn)不好的學(xué)生組在概念理解測試卷的平均得分為36.65，標準差是15.813。為了研究不同正例表現(xiàn)的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，對這兩組的學(xué)生在概念理解測試卷的總分進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示t（69）=9.546，p＜0.001，這說明不同正例表現(xiàn)的學(xué)生在概念理解的水平上具有顯著性差異。

（2）不同的反例表現(xiàn)

本研究對學(xué)生的反例總分與概念理解總分也進行了相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，學(xué)生的反例總分與概念理解總分的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.721，p＜0.001，表明學(xué)生的反例成績與概念理解成績之間也存在顯著的高度正相關(guān)關(guān)系。

依據(jù)學(xué)生在反例測試卷上的表現(xiàn)以及與一線教師的深入交流，本研究把在反例測試卷上得分處于25至36分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)好的學(xué)生”，把得分處于18至24分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)中等的學(xué)生”，把得分處于0至17分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)不好的學(xué)生”。

為了研究不同反例表現(xiàn)的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，筆者對這三組學(xué)生在概念理解測試卷的總分進行Welch方差分析，結(jié)果如表3所示。

從Welch方差分析法的結(jié)果可知，p＜0.001，說明不同反例表現(xiàn)的學(xué)生在概念理解的水平上具有顯著性差異。為了明晰究竟是哪些組別之間存在顯著性差異，利用Games-Howell進行檢驗，結(jié)果表明：從反例表現(xiàn)不好的學(xué)生組到反例表現(xiàn)中等的學(xué)生組，概念理解的平均得分增加21.024，差異具有統(tǒng)計學(xué)意義（p＜0.001）；從反例表現(xiàn)不好的學(xué)生組到反例表現(xiàn)好的學(xué)生組，概念理解的平均得分增加23.398，差異具有統(tǒng)計學(xué)意義（p＜0.001）。

（3）不同的正反例表現(xiàn)組合

由上述分析可知，學(xué)生在正例測試卷中的表現(xiàn)可以分為兩種，在反例測試卷中的表現(xiàn)可以分為三種，因此，把學(xué)生在正反例測試中的表現(xiàn)進行組合可以分為六組，分別為（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)好）、（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)中等）、（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)不好）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)好）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)中等）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)不好）。

為了研究不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，筆者對這六組學(xué)生在概念理解測試卷的總分進行Welch方差分析，結(jié)果如表4所示。

從Welch方差分析法的結(jié)果可知，p＜0.001，這說明不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生在概念理解的水平上存在顯著性差異。為了明晰究竟是哪些組別之間存在顯著性差異，利用Games-Howell進行檢驗，并用表5進行整理（表中的運算順序是用那一列的組別的均值減去那一行的組別的均值，*代表顯著性水平）。

四、研究結(jié)論與建議

1.研究結(jié)論

（1）學(xué)生在舉正例方面的表現(xiàn)比舉反例好

就本研究選定的內(nèi)容“因數(shù)與倍數(shù)”而言，從配對樣本t檢驗的結(jié)果可以知道，學(xué)生在正例測試卷的得分率和在反例測試卷的得分率具有顯著差異。就具體內(nèi)容而言，學(xué)生在反例判斷及構(gòu)造的表現(xiàn)上總體不佳，較多時候在判斷正確性上都無法達成，更別說之后的反例構(gòu)造了，這說明學(xué)生較容易受到一些定式的干擾。再者，對于能夠做出假命題判斷的學(xué)生，在隨后的反例構(gòu)造中也出現(xiàn)了不少的問題（如題2、題9等），這在一定程度上源于對相關(guān)知識內(nèi)容的不熟悉，也源于缺乏對反例構(gòu)造方法的了解，這些都導(dǎo)致了學(xué)生在一些測試題上的得分率很低。事實上，無論是反例的判斷還是反例的構(gòu)造，學(xué)生都需要檢索自己已有的認知結(jié)構(gòu)，再借助已有的表征網(wǎng)絡(luò)去思考。如果學(xué)生的知識內(nèi)部表征之間不能形成有效的、強度較大的聯(lián)結(jié)，學(xué)生就不太容易構(gòu)造出反例；如果學(xué)生過往在知識的內(nèi)部表征之間形成了錯誤的聯(lián)結(jié)，那么相應(yīng)的錯誤率也會更高。

值得注意的是，雖然正例的總體表現(xiàn)較好，但是一些學(xué)生的作答情況也反映出一些問題，比如列舉的正例過于單一，都是平時教學(xué)中經(jīng)常強調(diào)的一些數(shù)字，又比如當題目中的要求含有對交叉概念的考查但又不是特別明顯時［如題6（1）其實要求學(xué)生舉出既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)］，學(xué)生不一定能及時調(diào)用概念，還有可能暴露出對概念的一些錯誤理解。所以，當舉例的條件由單一變?yōu)閺?fù)合時，正例的構(gòu)造難度也會相應(yīng)有所提升，更加能考查學(xué)生是否理解了相關(guān)概念。

（2）學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對相應(yīng)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性

首先，由皮爾遜相關(guān)分析的結(jié)果可知，學(xué)生在正例測試卷和反例測試卷中的成績都分別與其在概念理解測試卷中的成績存在顯著的高度正相關(guān)。其次，不同正例表現(xiàn)、不同反例表現(xiàn)和不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生在概念理解的水平上均分別存在顯著差異。由這些結(jié)果可知，學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對相應(yīng)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性。事實上，樣例學(xué)習(xí)理論認為概念是以樣例的形式來表征，而原型學(xué)習(xí)理論認為概念是由大量樣例的綜合形式即原型來表征，這里的原型可以是單個樣例也可以是多種樣例的綜合形式。［4］兩種概念學(xué)習(xí)理論均強調(diào)了例子在學(xué)習(xí)者頭腦中表征概念的作用，正如鄭毓信介紹的現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的觀點——例子在數(shù)學(xué)概念的心理表征中發(fā)揮著重要作用［5］。此外，由赫伯特和卡朋特的數(shù)學(xué)理解模型可以知道，外部表征和內(nèi)部表征之間具有某種聯(lián)系，可以從學(xué)生形成的外部表征推測其內(nèi)部表征的情況［6］。所以，舉例作為一種外部表征，可以成為一種評價學(xué)生概念理解的方法，并且從形式上可以豐富學(xué)生對相應(yīng)概念的理解。

從上述分析我們還可以看到，僅在正例表現(xiàn)好的學(xué)生在概念理解的水平上沒有正反例表現(xiàn)都好的學(xué)生的水平高。這說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注反例對于概念理解的獨特價值，關(guān)注學(xué)生對反例的理解與掌握。

2.教學(xué)建議

（1）教師可以在課中和課后通過讓學(xué)生舉例來評價學(xué)生的概念理解。從本研究分析結(jié)果可以看出，學(xué)生的舉例行為與其對數(shù)學(xué)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性，無論是舉正例還是舉反例，都可作為常規(guī)測試題的一種評價補充。學(xué)生所舉的例子一定程度上可以反映他是如何思考的，是如何看待一個數(shù)學(xué)知識的。這些例子可以是一線教師了解學(xué)情的一個重要參考，可以作為評價學(xué)生概念理解的一個重要手段，以改進傳統(tǒng)的機械評價方式。不僅如此，教師在教學(xué)中可以多展示學(xué)生的例子，讓學(xué)生之間互相評價、交流，一方面可以了解學(xué)生對概念的理解情況，另一方面可以把展示的例子作為課堂的探究素材，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成數(shù)學(xué)課堂中的“爭鳴”，傳遞給學(xué)生更多的有用信息，在師生交流和生生交流中促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升教師的教學(xué)能力，真正實現(xiàn)教學(xué)相長。

（2）教師可以異化概念的本質(zhì)特征進行變式訓(xùn)練。從本研究的分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念本身的理解有時不足以支撐學(xué)生舉出合適的例子，對概念的理解僅僅能滿足舉例的基本要求，而逆向思維的強弱和能否多角度地運用、組合知識才是舉例的關(guān)鍵，這一點也正是日常數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點。數(shù)學(xué)教師可以有針對性地異化概念的某個本質(zhì)特征進行變式訓(xùn)練，如梯形的本質(zhì)特征有四邊形和只有一組對邊平行，教師可以設(shè)置問題“至少有一組對邊平行的四邊形是梯形”讓學(xué)生判斷，通過學(xué)生所舉的反例從反面加深學(xué)生對梯形本質(zhì)特征的理解。長此以往，學(xué)生能習(xí)慣性地從反面思考問題，從反面運用知識，從而提升逆向思維。

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