朱舒

摘? 要：“數(shù)學(xué)概念”是一種數(shù)學(xué)思維形式，它指人腦對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系特征的反映，是數(shù)學(xué)法則、定理等的構(gòu)成基礎(chǔ)，也是人類學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維和想象力的基本前提。文章從正例、變式和反例的運(yùn)用，探析小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;正例;反例;變式

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)概念，有些是從客觀事物直接抽象而成，這些源自現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)概念，很容易讓學(xué)生將它們與現(xiàn)實(shí)原型混淆。例如，數(shù)學(xué)概念“三角形”和現(xiàn)實(shí)原型“三角尺”;數(shù)學(xué)概念“射線”和現(xiàn)實(shí)原型“探照燈的光束”;數(shù)學(xué)概念“二分之一”和現(xiàn)實(shí)原型“半個(gè)物品”等。遇到這種源自客觀事物直接抽象而成的數(shù)學(xué)概念，一般使用創(chuàng)設(shè)情境的方式，從客觀事實(shí)切入，抽象出其共性內(nèi)容，概括它們之間的本質(zhì)特征，從而形成數(shù)學(xué)概念。小學(xué)階段的學(xué)生主要以概念形成的方式獲得數(shù)學(xué)概念。所謂的“概念形成”是指學(xué)習(xí)者根據(jù)同類客觀事物的主要特征和切身體驗(yàn)的肯定例證概括，而獲得概念 [1]。因此，可在數(shù)學(xué)概念形成的不同時(shí)期，運(yùn)用正例、反例和變式，促使概念形成。

[?]一、運(yùn)用正例，促使概念形成

所謂“正例”，也稱“肯定例證”，是指概念里涵蓋共同本質(zhì)特征的適當(dāng)例子或例證。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提供典型而豐富的肯定例證，引導(dǎo)學(xué)生從這些肯定例證中，抽象出它們的共性特點(diǎn)，概括它們的本質(zhì)，從而形成數(shù)學(xué)概念。概念的肯定例證能夠?yàn)楦拍畹男纬商峁┲С?，幫助學(xué)生更好地理解概念。比如“認(rèn)識(shí)角”的教學(xué)，可以從以下三個(gè)層面運(yùn)用正例幫助學(xué)生引入“角”的概念形成。

（1）教材中展示給學(xué)生“角”的肯定例證為三角尺、剪刀、時(shí)鐘等日常熟悉的現(xiàn)實(shí)物品。教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察這些物品，在觀察與交流中找出這些物品的共性特征，抽象出“角”的圖形特點(diǎn)，體會(huì)“角”的本質(zhì)屬性。這是用肯定例證即學(xué)生日常生活所接觸的物品，提示“角”概念的一些屬性。

（2）在上一層次的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察“角”圖形的基本特征，抽象出它們的共性特點(diǎn)，明確“角”的構(gòu)成要素為“一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊”。這是運(yùn)用典型生活物品引出“角”的概念，這些典型實(shí)物則屬于有價(jià)值的肯定例證。由此總結(jié)出“角”的三種基本圖形（直角、鈍角、銳角），又成了學(xué)生對(duì)“角”進(jìn)一步研究的肯定例證，這些圖形能夠幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)意義上“角”的圖形表象，形成“角”的數(shù)學(xué)概念。

（3）根據(jù)大腦中已形成“角”的概念，返回到教材中所展示的肯定例證的物品，尋找其中的“角”，進(jìn)一步強(qiáng)化“角”的基本特征，構(gòu)建“角”的知識(shí)結(jié)構(gòu);再讓學(xué)生用兩根直尺搭建出“角”，指出搭建出“角”的頂點(diǎn)與兩條邊。不管是在教材圖片中尋找“角”，還是學(xué)生自己用直尺搭建“角”，均屬于使用豐富的肯定例證強(qiáng)化鞏固“角”概念的方法。上述肯定例證的使用，還涉及肯定例證的變式，比如各種大小不一的角、不同方向放置的角等。學(xué)生在肯定例證中認(rèn)識(shí)“角”，其實(shí)是歸納和比較這些肯定例證的共同點(diǎn)，總結(jié)本質(zhì)特征，從而形成“角”的概念。這些肯定例證不僅豐富了學(xué)生對(duì)“角”的認(rèn)識(shí)，還體現(xiàn)出了學(xué)生對(duì)“角”概念形成的思考過(guò)程。由此可見，在數(shù)學(xué)思維發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)概念和肯定例證是相輔相成的。若提起“角”概念，人們大腦中首先呈現(xiàn)的是它的一個(gè)或多個(gè)典型肯定例證（如三角尺、鬧鐘等），可見肯定例證在數(shù)學(xué)概念形成和保持里都發(fā)揮著舉足輕重的作用。

[?]二、運(yùn)用變式，凸顯概念本質(zhì)

所謂的“變式”是指變更同類事物的非本質(zhì)特征，改變方法和角度去觀察事物，突顯事物的本質(zhì)特點(diǎn)和隱蔽的要素，使學(xué)生用變式思維掌握事物的規(guī)律和本質(zhì)。簡(jiǎn)而言之，“變式”指事物的正例在與特征無(wú)關(guān)方面的變化。變式的運(yùn)用，能使學(xué)生的思維得到發(fā)展，從而了解事物的本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，比較出概念的本質(zhì)特征，舍掉非本質(zhì)特征。學(xué)生從不同的角度和不一樣的方法研究數(shù)學(xué)概念，能夠幫助他們?nèi)嬲J(rèn)識(shí)并完善數(shù)學(xué)概念。

比如“認(rèn)識(shí)平行與垂直”的教學(xué)，除了使用例證協(xié)助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，還要適當(dāng)?shù)丶佑米兪剑晟茖W(xué)生對(duì)垂直和平行的概念的理解。如下圖：

一般情況下，圖①是最典型的認(rèn)識(shí)和形成“平行”概念的樣例，在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，若教師一直慣性使用圖①這個(gè)最典型的樣例，很容易導(dǎo)致學(xué)生誤解為，只有圖①這種水平方向的直線關(guān)系互相平行，而類比圖②、圖③、圖④中的直線關(guān)系不是互相平行的。同樣，圖⑤是最典型的認(rèn)識(shí)“垂直”概念的樣例，圖⑥是改變圖⑤垂直方向的變式，圖⑦和圖⑧是其他不同角度的垂直變式。很明顯，與圖①和圖⑤類似的標(biāo)準(zhǔn)形式，對(duì)“平行”和“垂直”概念形成，有明顯的幫助作用。但是，慣性刺激在不斷強(qiáng)化概念本質(zhì)特征的同時(shí)，也容易限制學(xué)生對(duì)概念外延的思維，從而強(qiáng)化概念非本質(zhì)特征。因此，在學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中，要加以非標(biāo)準(zhǔn)變式，從概念非本質(zhì)特征的變換中，更加凸顯概念的本質(zhì)特征。學(xué)生的數(shù)學(xué)概念一旦形成，就能通過(guò)概念的內(nèi)涵，確定具體的事物是不是在概念外延范圍內(nèi)。因此，協(xié)助學(xué)生運(yùn)用“變式”形成數(shù)學(xué)概念，是把數(shù)學(xué)概念的外延和其所涵蓋的對(duì)象分別作為變異空間和變式，通過(guò)不同變式的共同特征凸顯概念的本質(zhì)屬性。

[?]三、運(yùn)用反例，完善概念認(rèn)識(shí)

所謂的“反例”是從反面論證數(shù)學(xué)概念的例子。數(shù)學(xué)概念的反例對(duì)深化和完善概念的認(rèn)識(shí)有重要作用，它是非概念性變式，它的使用可以讓學(xué)生更準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念，排除一些無(wú)關(guān)特征的干擾，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，有效地防止學(xué)生概念理解過(guò)程中模糊不清的情況。

比如“認(rèn)識(shí)圓”的學(xué)習(xí)，“圓”概念形成過(guò)程中，不少學(xué)生容易把球體和圓混為一談。根據(jù)這種情況，教師在課前可以準(zhǔn)備一個(gè)乒乓球，跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)這個(gè)乒乓球是立體的“球體”，而不是平面圖形的“圓”。同時(shí)用美工刀截取乒乓球的任意面，讓學(xué)生體會(huì)乒乓球的橫截面是我們所學(xué)習(xí)的平面圖形的“圓”。這個(gè)乒乓球就是教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的“反例”，讓學(xué)生從反面增強(qiáng)對(duì)圓形平面圖的認(rèn)識(shí)。而乒乓球的切割，其橫截面加強(qiáng)了反例與概念之間的聯(lián)系。

再比如“因數(shù)與倍數(shù)”的學(xué)習(xí)，質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)這兩組概念，學(xué)生常出現(xiàn)概念模糊和混淆的情況。其中，學(xué)生思維最不清晰，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的內(nèi)容有：所有質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)，所有奇數(shù)全是質(zhì)數(shù)，所有偶數(shù)全是合數(shù)，所有合數(shù)全是偶數(shù)，等等。在這些容易出現(xiàn)模糊不清的概念形成期，運(yùn)用具有說(shuō)服力的典型反例，協(xié)助學(xué)生清晰、完善概念的認(rèn)識(shí)。如“所有的質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)”和“所有的偶數(shù)全是合數(shù)”的模糊錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，可運(yùn)用“2”這個(gè)反例，2既是偶數(shù)也是質(zhì)數(shù);“所有合數(shù)全是偶數(shù)”和“所有奇數(shù)全是質(zhì)數(shù)”的模糊錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，可運(yùn)用9、15、21等既是奇數(shù)，又是合數(shù)的反例。但是，反例的使用必須建立在學(xué)生對(duì)概念已經(jīng)有了一定理解之后才可以，若反例運(yùn)用在學(xué)生接觸數(shù)學(xué)概念的初始階段，學(xué)生尚未形成質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的概念，直接用反例進(jìn)行辨析，反而容易誤導(dǎo)學(xué)生，干擾學(xué)生對(duì)概念的理解和形成 [2]。

數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程一般為：

（1）運(yùn)用不同樣例，辨別并概括樣例的共同屬性;

（2）根據(jù)共同屬性的不同假設(shè)，在特定的情境里檢驗(yàn);

（3）挑選出所有情境都適合的共同本質(zhì)屬性，并與大腦中原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容相聯(lián)系，區(qū)分新數(shù)學(xué)概念與原有的相關(guān)概念;

（4）將新構(gòu)建的概念的本質(zhì)屬性，運(yùn)用到所有同類事物，以確定概念的外延;

（5）重新組織或擴(kuò)大已有的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu);

（6）使用恰當(dāng)?shù)难哉Z(yǔ)，表達(dá)新的概念。

由學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程容易看出，恰當(dāng)?shù)貙⒖隙ɡC（正例）、變式與反例運(yùn)用在數(shù)學(xué)概念形成的不同階段，能夠有效地促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 史蓉芬. 芻議小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J]. 開心素質(zhì)教育，2015（09）：61.

[2]? 華應(yīng)龍. 我這樣教數(shù)學(xué)——華應(yīng)龍課堂實(shí)錄[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.