【作者簡介】張慧，一級教師，中山市優(yōu)秀教師，中山市東區(qū)學(xué)科帶頭人，主要研究方向為小學(xué)計算教學(xué)。

【基金項目】中山市教育科研2020年度青年項目立項課題“基于思維可視化的小學(xué)計算深度學(xué)習(xí)研究”（C2020014）

【課堂聚焦·課堂新探】

【摘 要】計算是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較抽象。在小學(xué)計算學(xué)習(xí)中，教師要借助思維可視化手段，將抽象的計算表象化，使計算學(xué)習(xí)過程外顯?！八木S四步”是計算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型，包含了計算學(xué)習(xí)算、析、辨、結(jié)四個過程和動作可視化、圖像可視化、語言可視化、符號可視化四種策略。四個維度的思維可視化策略對應(yīng)計算學(xué)習(xí)的四個過程，但不一一對應(yīng)。教師可以利用四維思維可視化策略在計算學(xué)習(xí)過程中的整體性、階段性和交融性等特征，幫助學(xué)生達(dá)到計算深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】“四維四步”；思維可視化；小學(xué)計算；數(shù)與運算

計算內(nèi)容占據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的大部分，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，比較抽象?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022版）》）多次提及數(shù)與運算的一致性，旨在將小學(xué)計算知識結(jié)構(gòu)化，這也是計算深度學(xué)習(xí)的最高層次。然而計算學(xué)習(xí)的過程較為抽象，學(xué)生大多以計算結(jié)果正誤的形式體現(xiàn)計算學(xué)習(xí)的效果，而不能體現(xiàn)計算過程，更不能將抽象的計算思維呈現(xiàn)、梳理和闡明。因此，計算的學(xué)習(xí)過程需要可視化的手段來體現(xiàn)，從而幫助學(xué)生達(dá)到計算深度學(xué)習(xí)。

一、小學(xué)計算深度學(xué)習(xí)與思維可視化

馬云鵬等指出，深度學(xué)習(xí)過程著眼于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的整體理解，促進(jìn)學(xué)生的知識建構(gòu)和方法遷移，并有助于學(xué)生高級思維的發(fā)展，讓學(xué)生在解決問題的過程中提高核心素養(yǎng)。［1］計算深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在計數(shù)單位累加和減少的這一核心知識主線引領(lǐng)下能夠總結(jié)算法，通透算理，理解計算的本質(zhì)，建立計算知識的結(jié)構(gòu)體系，從而形成以計數(shù)單位為核心的計算大觀念。計算深度學(xué)習(xí)重在學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動、明理悟法和構(gòu)建以計數(shù)單位為知識主線的計算知識結(jié)構(gòu)體系。小學(xué)生的思維發(fā)展是從形象思維逐步過渡到抽象思維的。而計算的深度學(xué)習(xí)是不可見的，憑借計算結(jié)果的正誤不能夠體現(xiàn)其計算思維層次。因此，要想讓學(xué)生更加清楚地理解和表征計算，教師需要引導(dǎo)學(xué)生借助不同的表征方式，將計算學(xué)習(xí)的過程外顯，使得計算學(xué)習(xí)過程化、可視化。

二、“四維四步”：計算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型建構(gòu)

“四維四步”計算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型以二維表格的形式呈現(xiàn)（見表1）。從學(xué)生的計算學(xué)習(xí)過程角度出發(fā)，思維可視化策略有動作可視化、圖像可視化、語言可視化和符號可視化四個維度。這四個維度不僅是學(xué)生計算思維的四種體現(xiàn)，也是計算思維的發(fā)展過程。動作、圖像可視化的階段中，學(xué)生的計算思維較為具體和直觀，而語言可視化將隱性的思考過程顯性化，最后在符號可視化中完成計算思維的抽象過程。計算學(xué)習(xí)過程可以分為四個步驟：算——遷移舊知探究新知；析——幾何直觀解析算理；辨——正誤對比鞏固模型；結(jié)——構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系。算是學(xué)生獨立遷移舊知嘗試計算，初步探索計算的過程；析是學(xué)生借助幾何直觀深入解析算理，將分解的計算過程與幾何直觀一一對應(yīng)的過程；辨是對比與化錯的過程，教師借助學(xué)生在計算學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤引發(fā)問題，讓學(xué)生在逐步化錯中進(jìn)一步明理悟法；結(jié)是對于新知學(xué)習(xí)過程的總結(jié)，是引導(dǎo)學(xué)生從理性層面總結(jié)算理算法，構(gòu)建計算知識結(jié)構(gòu)體系的過程。

由表1可知，思維可視化策略與計算學(xué)習(xí)過程對應(yīng)起來，但并不是每一種可視化的策略都能適合計算學(xué)習(xí)的每一步。算的過程較為抽象，是符號可視化。析的過程一定要具體，可以借助動作、圖像和語言可視化中的一種或幾種。辨的過程需要借助語言講清道理，讓辨析的過程得以外顯。結(jié)要以計算模型、算法總結(jié)、計算知識結(jié)構(gòu)體系等形式呈現(xiàn)，屬于符號可視化，抽象程度較高。

三、計算思維可視化的四維策略分類

在考慮了思維可視化類別后，教師可以借助思維可視化的手段，通過直觀操作、借助圖示和數(shù)學(xué)語言描述等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象，借助動作、圖像、語言等形式表達(dá)算理的過程，進(jìn)而感悟數(shù)與運算的一致性（如圖1）。

1.動作可視化

皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)識起源于動作，認(rèn)識是從動作開始的，動作在兒童的智力和認(rèn)知發(fā)展中起著重要的作用。［2］肢體動作是兒童最初學(xué)習(xí)計算的輔助手段，幼兒園甚至剛進(jìn)入小學(xué)的學(xué)生喜歡通過數(shù)手指來計算加減法，其實是將抽象的計算轉(zhuǎn)化為肢體動作來解答。如學(xué)生在最初計算5+4時，會先伸出5根手指，再伸出4根手指，通過數(shù)數(shù)得出5+4=9。在此過程中，學(xué)生借助數(shù)手指將抽象的計算加法的過程外顯，借助肢體動作將最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與最原始的計數(shù)方法相結(jié)合。動作可視化的過程在小學(xué)階段主要集中于一、二年級，其能夠幫助學(xué)生突破最基礎(chǔ)的10以內(nèi)加減法或5以內(nèi)的乘法等內(nèi)容，是學(xué)生數(shù)感形成的必經(jīng)之路。

2.圖像可視化

皮亞杰將人的認(rèn)知發(fā)展分為四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。大部分小學(xué)生的思維處于具體運算階段，這個階段的學(xué)生在物體之上進(jìn)行運算，也就是要借助一些具體的實物、圖示、結(jié)構(gòu)化的學(xué)具等進(jìn)行運算。圖像可視化是小學(xué)階段計算學(xué)習(xí)最常用的方法，從小學(xué)一年級的5以內(nèi)加法開始就一直伴隨著學(xué)生。因此，在小學(xué)計算的學(xué)習(xí)中，圖像可視化是一個十分重要的手段。借助具體的圖像，學(xué)生將抽象的計算過程與直觀的表象相結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。在數(shù)形結(jié)合的計算學(xué)習(xí)中，抽象的數(shù)與直觀的圖具有一致性，抽象的數(shù)能夠讓圖像所表示的計算過程更簡潔，豐富的圖像能夠讓抽象的數(shù)更加具體、可視。

3.語言可視化

在小學(xué)計算學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅要會算，會借助動作或圖像來表征計算，還要能夠描述計算的過程，用數(shù)學(xué)語言解析算理、概括算法。語言可視化是指對計算過程進(jìn)行描述、分析、比較、推理和概括，即學(xué)生在學(xué)習(xí)計算的過程中，要借助語言將計算過程、分析算理、比較方法、數(shù)學(xué)推理和算法概括等過程描述出來，使思維過程得以外顯。對于小學(xué)生來說，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)比較困難，需要經(jīng)過長期的訓(xùn)練。學(xué)生在訓(xùn)練中逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流計算的習(xí)慣，從而提升用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思考過程的能力。

4.符號可視化

按照布魯納的表征理論，數(shù)學(xué)對象的第三個表征階段是符號性表征。［3］數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，它能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考的過程描述出來。在小學(xué)計算學(xué)習(xí)中，符號可視化主要體現(xiàn)為計算的橫式模型建構(gòu)、豎式模型建構(gòu)和數(shù)與運算的一致性表達(dá)。符號可視化較為抽象，大多是對于計算原理、方法、規(guī)律的描述。在符號可視化的過程中，學(xué)生在橫式與豎式模型建構(gòu)過程中，借助計數(shù)單位這一數(shù)學(xué)符號對計算過程進(jìn)行說理，感悟數(shù)是對于具體數(shù)量的抽象，從而體驗數(shù)學(xué)符號的簡潔性。

四、四維思維可視化策略的特點

基于數(shù)與運算一致性的小學(xué)計算思維可視化策略是一個整體，其中動作、圖像和語言的發(fā)展隨著學(xué)生年級的升高，使用頻率有所變化，而符號可視化的思維層次較高。動作可視化、圖像可視化和語言可視化能使抽象的計算思維具體化，讓學(xué)生借助肢體動作、圖像和語言等方式來表征計算，使得計算過程清晰呈現(xiàn)，抽象的算理外顯。符號可視化的過程是借助計數(shù)單位來將具體的可視化過程進(jìn)一步數(shù)學(xué)化。學(xué)生借助計數(shù)單位這一數(shù)學(xué)符號深入計算的本質(zhì)，感悟計算與計數(shù)單位的個數(shù)的聯(lián)系。在計算教學(xué)的過程中，教師要打破原有的著重教算法的常規(guī)教學(xué)觀念，從計算思維可視化的角度重構(gòu)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生在課堂中經(jīng)歷遷移舊知探究計算，借助幾何直觀分析算理，對比正誤計算方法鞏固模型和構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系的學(xué)習(xí)過程。

1.整體性

基于一致性的小學(xué)計算思維可視化策略具有整體性。在計算學(xué)習(xí)過程中，語言可視化通常用來描述動作可視化和圖像可視化的過程，將實踐過程表述出來。符號可視化是對動作可視化、圖像可視化和語言可視化進(jìn)行抽象。此外，小學(xué)計算思維可視化策略的整體性還體現(xiàn)為小學(xué)一年級至六年級的計算學(xué)習(xí)都離不開這四種方法，它們與整體的計算相關(guān)聯(lián)，貫穿于小學(xué)計算學(xué)習(xí)的全過程。在計算學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用可視化的手段將抽象的計算具體化，幫助學(xué)生理解計算的算理、算法和本質(zhì)。

2.階段性

《課標(biāo)（2022版）》指出，核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。［4］《課標(biāo)（2022版）》將小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分為三個學(xué)段，一、二年級為第一學(xué)段，三、四年級為第二學(xué)段，五、六年級為第三學(xué)段。隨著年齡的增加，學(xué)段的升高，學(xué)生的知識儲備、抽象能力、理解能力、計算能力都有所提升。因此，對于第一學(xué)段的學(xué)生來說，動作可視化過程尤其重要，學(xué)生需要親身感知和參與計算的全過程。第二學(xué)段的學(xué)生普遍借助圖像可視化來分析計算，借助圖像呈現(xiàn)計算步驟，從而提升總結(jié)。第三學(xué)段的學(xué)生的抽象能力較強，學(xué)生在感悟出計算的本質(zhì)后可以脫離幾何直觀，借助計數(shù)單位來描述計算，發(fā)展符號化能力。

3.交融性

四維思維可視化策略的使用具有交融性。雖然動作可視化、圖像可視化、語言可視化和符號可視化都指向計算的本質(zhì)，但這四種可視化路徑不是順向而行，而是反復(fù)交融的。學(xué)生可以借助語言可視化描述圖像可視化的過程，也可以在語言可視化中逐漸歸納、形成符號可視化。如此，通過多種表征來促進(jìn)對計算的深度理解。此外，算、析、辨、結(jié)的過程也不是按順序進(jìn)行的。在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以先進(jìn)行計算嘗試，再進(jìn)行算理分析，也可以先進(jìn)行算理分析，再進(jìn)行計算嘗試。

五、小學(xué)計算深度學(xué)習(xí)的四步模型

算、析、辨、結(jié)是小學(xué)計算學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，這四個環(huán)節(jié)在學(xué)習(xí)活動中的安排沒有固定的順序。學(xué)生可以根據(jù)不同的內(nèi)容，反復(fù)調(diào)用四個環(huán)節(jié)來學(xué)習(xí)新內(nèi)容（如圖2）。

1.算——遷移舊知探究新知

算是符號可視化的過程，貫穿于每一節(jié)計算課。原有教學(xué)模式中，教師一般引入新課后就借助模型引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用學(xué)具操作推導(dǎo)計算方法。這種方式其實沒有關(guān)注到學(xué)生原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生沒辦法主動進(jìn)行知識遷移。實際上，在每一個計算新知識學(xué)習(xí)前，學(xué)生都有一定的知識與經(jīng)驗基礎(chǔ)，這些經(jīng)驗?zāi)軌蚪o學(xué)生的計算學(xué)習(xí)帶來正遷移或負(fù)遷移。教師可以直接或進(jìn)行改組后幫助學(xué)生進(jìn)行新知識學(xué)習(xí)，使他們更快地接受新知。如在學(xué)習(xí)“表內(nèi)乘法”前，學(xué)生已經(jīng)有了相同加數(shù)連加的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解乘法是加法的簡便運算，促進(jìn)學(xué)生對乘法意義的建構(gòu)；在學(xué)習(xí)“除法豎式”前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、減法和乘法的豎式計算，但除法豎式與前面的學(xué)習(xí)不同，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)除法豎式模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固和區(qū)分除法豎式。初步探索算的過程就是遷移舊知、構(gòu)建新知的過程，這里的遷移不僅是算法的套用，更是對新算理的推理。

2.析——幾何直觀解析算理

析是借助動作可視化、圖像可視化與語言可視化來解釋符號可視化的過程。以往的計算學(xué)習(xí)中，學(xué)生只學(xué)習(xí)算的方法，忽視了說理，更沒有結(jié)合幾何直觀等手段來說理。目前的小學(xué)計算學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)將算法與算理的學(xué)習(xí)相結(jié)合，借助算理來明晰算法，實現(xiàn)以理馭法。分析計算過程是學(xué)生說算理的重要環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從計數(shù)單位、四則運算的意義、運算之間的關(guān)系等角度來理解計算。如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以借助點子圖、格子圖來分析乘法豎式中的幾個一、幾個十和幾個百；在“小數(shù)加減法”的學(xué)習(xí)中，教師可以借助“米、分米、厘米”或“元、角、分”等設(shè)置生活情境，引導(dǎo)學(xué)生理解相同單位上的數(shù)相加減的道理。借助幾何直觀，學(xué)生更容易描述計算，形成計算思維的語言可視化。

3.辨——正誤對比鞏固模型

辨的過程要借助語言可視化，比較抽象，一般需要正誤方法的對比分析。由于抽象程度較高，學(xué)生對于模型的建構(gòu)普遍比較困難，通常都是記住模型，而不理解每一步計算的具體含義，因此會出現(xiàn)學(xué)過一段時間后就忘記怎樣計算的情況。深度學(xué)習(xí)不是死記硬背，而是透析知識本質(zhì)的學(xué)習(xí)。因此，學(xué)生可以在辨析中深入分析計算算理與算法，以理馭法，讓模型的建構(gòu)更加牢固。如在教學(xué)“小數(shù)位數(shù)不同的小數(shù)加減法”中，教師可以出示末尾對齊的豎式與小數(shù)點對齊的豎式，讓學(xué)生在辨析中說理，使學(xué)生明白不同的計數(shù)單位不能相加減。如此，在正誤對比中，學(xué)生可以將簡單的計算過程進(jìn)行深入說理。辨的過程分布于計算學(xué)習(xí)的全過程，學(xué)生可以在初次計算后通過對比發(fā)現(xiàn)不同，也可以在說理過程中逐漸對錯誤方法進(jìn)行調(diào)整，還可以在建構(gòu)正確模型后再與錯誤方法做對比，鞏固模型建構(gòu)。

4.結(jié)——構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一個從具體到抽象的過程。在小學(xué)階段，學(xué)生經(jīng)歷了從借助具體的動作、實物、幾何直觀等來描述計算，到借助抽象的計數(shù)單位來計算的過程。因此，每節(jié)課中，學(xué)生都要對計算知識體系進(jìn)行總結(jié)與延伸。對于小學(xué)階段的“數(shù)與運算”主題，學(xué)生需要在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計數(shù)單位表達(dá)的一致性。如在小數(shù)除法復(fù)習(xí)課中，學(xué)生要借助計數(shù)單位來分析小數(shù)除法的通法、通理，并勾連整數(shù)除法，建構(gòu)統(tǒng)一豎式模型進(jìn)行說理。雖然分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法、整數(shù)除法的外在形式不同，但學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中也要從計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）的角度出發(fā)，理解分?jǐn)?shù)除法也是分?jǐn)?shù)單位的細(xì)分，與整數(shù)除法、小數(shù)除法的道理一樣，從而建構(gòu)除法計算的知識結(jié)構(gòu)體系。小學(xué)計算教學(xué)中，教師要以計數(shù)單位為抓手總結(jié)計算，讓學(xué)生感悟數(shù)與運算的一致性，理解所有計算實際都是計算計數(shù)單位的個數(shù)，從而感悟不同計算的一致性。

一致性的小學(xué)計算學(xué)習(xí)指向計算本質(zhì)的滲透，計算思維可視化能夠促進(jìn)學(xué)生對計算本質(zhì)的理解，為學(xué)生剖析算理、感悟計算的本質(zhì)提供腳手架。因此，在教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變原有教學(xué)觀念，合理運用思維可視化策略，將抽象的計算思維過程具體化、顯性化，促使學(xué)生在可視化手段下提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬云鵬. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·小學(xué)數(shù)學(xué)）［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.

［2］皮亞杰. 皮亞杰教育論著選［M］. 盧濬，選譯. 2版. 北京：人民教育出版社，2015.

［3］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［4］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯：羅小熒）