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【摘要】數(shù)學(xué)教育的根本目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是以學(xué)生能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題為目的的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這種學(xué)習(xí)活動(dòng)有三種形式，分為四個(gè)過程.開展探究活動(dòng)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)有價(jià)值的問題，學(xué)生在問題引導(dǎo)下大膽進(jìn)行探究，在探究過程中，教師要給學(xué)生留出足夠的探究時(shí)間并給予必要的指導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探究；設(shè)計(jì)問題；探究發(fā)現(xiàn)；問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.”[1]數(shù)學(xué)教育的根本目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素.在教學(xué)中，結(jié)合具體內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生積極開展探究活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要途徑.1對(duì)數(shù)學(xué)探究的再認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以獨(dú)立自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以解決問題為探究?jī)?nèi)容，以學(xué)生能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題為目的的學(xué)習(xí)活動(dòng).

1.1探究活動(dòng)的基本形式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)師生共同探究的過程，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的主體是學(xué)生，從這個(gè)意義上講，學(xué)生的探究活動(dòng)可分為三種基本形式[2]：

（1）獨(dú)立探究

獨(dú)立探究是指學(xué)生個(gè)體對(duì)所探究的問題進(jìn)行獨(dú)立思考與探究，是探究活動(dòng)的最基本形式.教學(xué)中對(duì)于一些較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，我們可以通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考與探究，在獨(dú)立探究的過程中自主發(fā)現(xiàn)有關(guān)知識(shí)，完成對(duì)《課標(biāo)（2011年版）》界定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí).

（2）合作探究

合作探究是在合作學(xué)習(xí)的前提下進(jìn)行的，是指學(xué)習(xí)小組內(nèi)學(xué)生之間對(duì)探究問題共同進(jìn)行探究活動(dòng)，合作探究一般是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過獨(dú)立探究活動(dòng)，但探究的問題仍得不到很好解決的前提下所采取的一種探究活動(dòng)方式.

（3）引導(dǎo)探究

引導(dǎo)探究是在教師引導(dǎo)下學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行的研究，引導(dǎo)探究一般是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過獨(dú)立探究與合作探究活動(dòng)，但絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)所探究的問題仍感到無能為力或束手無策時(shí)所采取的一種探究方式.引導(dǎo)探究活動(dòng)的方式是在學(xué)生獨(dú)立探究與合作探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.

由于探究問題的難度不同、加上學(xué)生的探究能力也存在一定的差異，所以選擇探究活動(dòng)的方式也往往有所不同.在課堂教學(xué)中，不管采用哪種探究方式，都必須遵循“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”[1]的《課標(biāo)（2011年版）》理念.

我們選擇探究活動(dòng)方式的原則是：能由學(xué)生獨(dú)立探究完成的就不采用合作探究；能由學(xué)生合作探究完成的就不采用引導(dǎo)探究.在三種探究形式中，獨(dú)立探究是前提，合作探究、引導(dǎo)探究是獨(dú)立探究的補(bǔ)充和發(fā)展.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程如圖1所示[2]：圖1

1.2探究活動(dòng)的一般過程

一個(gè)完整的探究活動(dòng)一般分為四個(gè)過程：

（1）提出問題

教師通過研究教學(xué)內(nèi)容和分析學(xué)生的接受能力，精心設(shè)計(jì)一系列的問題（不是一個(gè)問題，而是由幾個(gè)問題組成的“問題串”），呈現(xiàn)給學(xué)生.

（2）擬定探究方案

學(xué)生根據(jù)教師提出的問題，確定探究方向，擬定探究計(jì)劃.當(dāng)然這個(gè)方案的擬定很多情況下需要教師指導(dǎo).

（3）實(shí)施探究

這是探究活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).學(xué)生圍繞教師所提出的問題及確定的探究方案，著手收集與問題相關(guān)的信息，進(jìn)行一系列的活動(dòng)（如閱讀教材、獨(dú)立思考、分析判斷、實(shí)驗(yàn)操作，推理驗(yàn)算、歸納總結(jié)、相互交流等），在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，并且經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

（4）形成結(jié)論

學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上，根據(jù)邏輯關(guān)系和推理，找到問題的癥結(jié)所在，對(duì)其中的因果關(guān)系形成自己的解釋.當(dāng)然，結(jié)論的歸納、總結(jié)往往需要教師的點(diǎn)撥和引導(dǎo).

學(xué)生開展探究活動(dòng)不一定嚴(yán)格按照這四個(gè)過程（如不一定要制定探究方案）進(jìn)行，但第一個(gè)和第三個(gè)過程是不可缺少的.筆者認(rèn)為，只要學(xué)生在問題的引導(dǎo)下能積極開展觀察、思考、計(jì)算、推理、討論等活動(dòng)自主獲得結(jié)論，就算經(jīng)歷了一個(gè)很有意義的探究活動(dòng).數(shù)學(xué)教學(xué)中長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的練習(xí)，學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力將會(huì)得到提高和發(fā)展.

1.3開展探究活動(dòng)的教育教學(xué)價(jià)值

澳大利亞一個(gè)物理教師曾經(jīng)說過，他第一個(gè)十年在教物理，第二個(gè)十年在引導(dǎo)學(xué)生探究物理，第三個(gè)十年在為進(jìn)行探究的學(xué)生提供支持和幫助.這位物理老師的話，很值得我們數(shù)學(xué)老師思考與借鑒.在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)的意義主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1）加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

對(duì)于任何知識(shí)（當(dāng)然包括數(shù)學(xué)知識(shí)），如果是學(xué)生通過探究活動(dòng)自己發(fā)現(xiàn)的，將比教師直接講授印象深刻，記憶長(zhǎng)遠(yuǎn).因?yàn)閷W(xué)生對(duì)通過探究得到的知識(shí)不僅“知其然”，而且還能“知其所以然”，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解和掌握.

（2）學(xué)會(huì)研究問題的一般方法

學(xué)生通過探究獲得知識(shí)的同時(shí)，將會(huì)經(jīng)歷一系列的活動(dòng)，在經(jīng)歷這些活動(dòng)的過程中，可積累研究問題的經(jīng)驗(yàn)，掌握研究問題的一般方法，這對(duì)于他們繼續(xù)學(xué)習(xí)直至將來的工作都具有重要的意義.

（3）有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

《課標(biāo)（2011年版）》倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識(shí)”，這種意識(shí)形成的前提是要具備一定的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力.學(xué)生通過開展探究活動(dòng)，能體驗(yàn)獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，能形成科學(xué)的態(tài)度和習(xí)慣，形成實(shí)事求是、精益求精、客觀公正、敢于創(chuàng)新的精神，這些都是學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)形成過程中不可或缺的因素，也是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教育教學(xué)的崇高目標(biāo).2精心設(shè)計(jì)探究問題

開展探究活動(dòng)，關(guān)鍵是設(shè)計(jì)好的問題，這樣的“問題”不同于一般的數(shù)學(xué)題.羅增儒教授認(rèn)為，這樣的數(shù)學(xué)題具有一些基本的特征，其中之一是“探究性”，即對(duì)于這樣的問題，我們“沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法”，學(xué)生不能簡(jiǎn)單地模仿現(xiàn)成的公式或沿用常規(guī)的解題套路，需要進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等探究活動(dòng)才能解決[3].設(shè)計(jì)這樣的問題，需要教師在備課中多下功夫，因此，許多老師感覺不如用傳統(tǒng)的講授法省時(shí)省力，下面的考題對(duì)于倡導(dǎo)實(shí)施探究教學(xué)具有“指揮棒”的作用.

2.1原題呈現(xiàn)

問題提出（2016年青島市中考數(shù)學(xué)第23題）如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指邊長(zhǎng)分別為a，b的矩形）？

問題探究我們先從簡(jiǎn)單的問題開始研究解決，再把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

探究一

如圖2①，當(dāng)n=5時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形.

如圖2②，當(dāng)n=6時(shí)，可將正方形分割為六個(gè)2×3的矩形.

如圖2③，當(dāng)n=7時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形.

如圖2④，當(dāng)n=8時(shí)，可將正方形分割為八個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形.

如圖2⑤，當(dāng)n=9時(shí)，可將正方形分割為九個(gè)1×5的矩形和六個(gè)2×3的矩形.

探究二

當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，分別將正方形按下列方式分割（圖3）：

所以，當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，均可將正方形分割為一個(gè)5×5的正方形、一個(gè)

（n-5）×（n-5）的正方形和兩個(gè)5×（n-5）的矩形.顯然，5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）的正方形是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

探究三

當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，分別將正方形按下列方式分割（圖4）：

請(qǐng)按照上面的方法，分別畫出邊長(zhǎng)為18，19的正方形分割示意圖.

由上圖，當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，均可將正方形分割為一個(gè)10×10的正方形、一個(gè)（n-10）×（n-10）的正方形和兩個(gè)10×（n-10）的矩形.顯然，10×10的正方形和10×（n-10）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-10）×（n-10）的正方形又是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

問題解決如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請(qǐng)按照上面的方法畫出分割示意圖，并加以說明.

實(shí)際應(yīng)用如何將邊長(zhǎng)為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割示意圖即可）

2.2分析解答

本題分為“問題提出——問題探究——問題解決——實(shí)際應(yīng)用”四個(gè)部分，題目敘述篇幅較長(zhǎng)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力.

第一部分提出“問題”：如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？這是核心目的，通過后面的一系列探究活動(dòng)，最終得到計(jì)算的通解（模型）：可分割成一個(gè)5m×5m的正方形，一個(gè)（n-5m）×（n-5m）的正方形和兩個(gè)5m×（n-5m）的矩形.

為了引導(dǎo)學(xué)生解決這個(gè)問題，題目給出了第二部分（問題探究），這部分是針對(duì)核心問題而精心設(shè)計(jì)的，它從n的最小值出發(fā)，采用逐漸增大的方法，由三個(gè)探究活動(dòng)構(gòu)成：

第一個(gè)，令n≥5，當(dāng)n=5，6，7，8，9時(shí)，直接給出了將正方形分割的情況（如圖2），這是第二部分整個(gè)探究活動(dòng)的關(guān)鍵和突破口，有了這個(gè)探究活動(dòng)作為基礎(chǔ)，后面的活動(dòng)就有了方向和思路.

第二個(gè)，直接給出當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)將正方形分割的情況（如圖3）

這兩個(gè)探究活動(dòng)是第二部分的關(guān)鍵，相當(dāng)于教科書中的“例題”，目的是讓學(xué)生探究分割一類圖形問題的通用方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累探究經(jīng)驗(yàn).

第三個(gè)，原題直接給出n=15，16，17時(shí)的分割結(jié)果（圖4的前三個(gè)圖），讓學(xué)生仿照這三個(gè)分割結(jié)果，給出當(dāng)n=18，19時(shí)的分割結(jié)果.對(duì)于這個(gè)問題只要學(xué)生真正領(lǐng)悟了前兩個(gè)探究活動(dòng)的“實(shí)質(zhì)”，仿照其方法，就能畫出當(dāng)n=18，19時(shí)的分割圖（如圖5）.

第三部分問題解決，回到本題的核心，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）時(shí)，按圖6的方式均可將正方形分割為一個(gè)5m×5m的正方形，一個(gè)（n-5m）×（n-5m）的正方形和兩個(gè)5m×（n-5m）的矩形.顯然5m×5m的正方形和5m×（n-5m）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5m）×（n-5m）的正方形又是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形.

第四部分實(shí)際應(yīng)用的答案如圖7所示.圖6圖7