霍云

摘 要： 解題方法是解題教學(xué)的重要內(nèi)容，其主要形式有直接轉(zhuǎn)化、降次轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化和數(shù)形轉(zhuǎn)化.在教學(xué)過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變的原則、提問的方法，并適時地將轉(zhuǎn)換觀念滲透到學(xué)生的思維中，使他們能夠正確地使用轉(zhuǎn)換方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)；解題思路；方法研究

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點在于充分挖掘教材中的知識，縮短教材和中考的差距，搭建起二者的聯(lián)系，所以，在教學(xué)中，教師要自覺地運用一題多解的方法，從教材的基礎(chǔ)知識出發(fā)，從多個方面切入，真正做到橫望成嶺，側(cè)望成峰.中考時經(jīng)常會將二次函數(shù)的性質(zhì)和定義結(jié)合起來，運用系數(shù)推理、性質(zhì)判斷等多種方法進行解題.掌握有關(guān)的解題方法和技術(shù)，可以讓學(xué)生靈活地使用數(shù)學(xué)知識，提高他們的計算效率和精確度.

1 掌握解題方法和技巧的重要性

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教給學(xué)生方法和技術(shù)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績和提高數(shù)學(xué)水平的重要保證.二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個重要而又困難的問題，從它的定義可以看出，它是一個復(fù)雜多變的知識，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中多加思考，掌握二次函數(shù)的解法和技巧，提高解題的準確度和效率，避免陷入解題的誤區(qū).正確的解題方式和技巧可以提高學(xué)生的解題效率，提高答題的準確率，增強學(xué)生的自信心，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

2 初中數(shù)學(xué)解題中常見的轉(zhuǎn)化思想

2.1 直接轉(zhuǎn)化

直接轉(zhuǎn)化就是通過運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式、理論，把那些看上去很難理解的問題，轉(zhuǎn)換為自己所熟悉的數(shù)學(xué)公式，從而能夠更好地解決問題.而對直接轉(zhuǎn)化的高效教學(xué)，則要通過對數(shù)學(xué)公式、理論進行深入的講解，使學(xué)生對數(shù)學(xué)公式、理論進行深入的理解和運用，進而了解這一部分的實質(zhì)，使學(xué)生能夠在面對問題時，將公式運用到解題中，以達到有效解題的目的.

比如，在計算圓的內(nèi)接四邊形角度時，教師要讓學(xué)生注意到“圓的內(nèi)接四邊形對角和為180度”“同弧對應(yīng)的圓周角相等”等定理，從而指導(dǎo)學(xué)生把角計算的方法轉(zhuǎn)換為一種新的方法.通過對角線的多邊形連接，構(gòu)成四邊形，把內(nèi)角的計算問題轉(zhuǎn)換為學(xué)生所熟悉的計算內(nèi)容，從而得到正確的解答［1］.

2.2 降次轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)方程教學(xué)中，學(xué)生常常會碰到解決高次方程的難題.高次方程的求解是一個很大的難題，而且一般不能直接求解.所以要運用降次轉(zhuǎn)化的思想，對原來的方程進行變形，使之成為學(xué)生熟悉的、能夠計算的形式.教師在講解時，要圍繞題目的類型，和學(xué)生一起討論，讓學(xué)生充分運用所學(xué)到的知識，把現(xiàn)有的算式進行降次轉(zhuǎn)化，加深對問題的認識，從而讓學(xué)生在遇到同一類問題時，能主動地進行降次轉(zhuǎn)換.

比如，“已知b是方程x2-x-1=0的根，計算b3-2b2+2 021的值”這一問題.因為x2-x-1=0的根數(shù)比較復(fù)雜，所以求解起來很困難，而這道題的目的在于對多項式進行變形和轉(zhuǎn)換，教師可以通過指導(dǎo)學(xué)生對問題的變化和降次來解決問題.例如：x2-x-1=0可以轉(zhuǎn)換成x2-x=1；b3-2b2+2 021可轉(zhuǎn)換為b3-b2-b2+2 021；b3-b2-b2+2 021再轉(zhuǎn)換成b（b2-b）-b2+2 021；代入b2-b=1，得到b-b2+2 021;-b2+b+2 021可以轉(zhuǎn)化成-（b2-b）+2 021，進而則得到b3-2b2+2 021=2 020.

教師要指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方法，通過降次變換達到求解題目的目的.

2.3 換元轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)中，使用換元變換是很普遍的.在教學(xué)中，教師要使學(xué)生充分了解換元變化在解決問題時的作用.在進行換元的過程中，要注意換元的對等，保證換元后的公式是合理的，不能改變原有的數(shù)學(xué)定義.

2.4 數(shù)形轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是一個很大的難題，一般需要學(xué)生把代數(shù)、文字轉(zhuǎn)換成圖形，并通過圖形來尋找解題的方法.在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖形，并用交點法等方法來解決問題.同時為確保學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，教師在安排習(xí)題時，還應(yīng)注重練習(xí)的難度，以滿足學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究欲望，從而有助于學(xué)生理順數(shù)形轉(zhuǎn)化的細節(jié)，從而達到對數(shù)形轉(zhuǎn)化的正確理解.

比如，圖1中的△ABC和函數(shù)圖象都是在第一象限，且函數(shù)圖象和△ABC有一個重疊的區(qū)域，那么在這個重疊區(qū)域中，k的數(shù)值是什么？這類問題的解題比較困難，在解題時，要尋找一個切入點，以使問題得到更好的解決.在已知的條件下，利用學(xué)生所學(xué)的反比例函數(shù)，對其進行解析，當(dāng)k大于0時，k的數(shù)值越大，則函數(shù)的曲線與y軸的偏差就越大.從曲線的運行來看，可以看到，在函數(shù)圖形的左側(cè)，A是一個臨界值，而在右側(cè)，當(dāng)函數(shù)圖形和BC邊相交時，這個問題就得到了解決.利用該方法，可以把問題從平面的交叉問題轉(zhuǎn)換成一個函數(shù)的交點問題，由A，B，C三點的坐標求出了三角形各邊的函數(shù).在獲得BC邊的函數(shù)解析式后，將兩個函數(shù)結(jié)合起來，最后把它們轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)相交時有解的問題.

3 ?初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧

3.1 基于根與系數(shù)的關(guān)系求解問題

根與系數(shù)的關(guān)系是求解一元二次方程問題的最常用的方法.例如，問題“存在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），滿足a-b+c=0，請寫出1個符合題目條件的方程”.由題意可得-1是方程的一個根，在根與系數(shù)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以迅速地解出- c a 是方程的另一根，可得出方程滿足（x+1） x+ c a ?=0，將a，c任意賦值便可得符合條件的方程.由此發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系的使用使得求解過程變得簡單，大大提高了求解的精度和效率［2］.

很多學(xué)生在解答這道方程時，都會被它所包含的大量的信息所震驚.在這個時候，如果用傳統(tǒng)的解法來解決問題，會讓學(xué)生陷入一個困境中，從而影響到解題準確性和效率.但如果能在解題中靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系，就能迅速地得出正確的結(jié)論.

與傳統(tǒng)的公式解法相比，韋達定理的靈活運用，能迅速地簡化問題的解法，并能得到正確的答案.所以在進行解題訓(xùn)練時，一定要把一元二次方程的解題方法和經(jīng)驗結(jié)合起來.

3.2 基于換元方法求解問題

在一元二次方程問題中，換元法也是一種常見的解法，它的優(yōu)點在于它可以簡化復(fù)雜的方程，讓解題速度更快.換元就是把一個方程中的一些相同的代數(shù)式當(dāng)作一個整體，用一個變量代替，讓問題的解法變得簡單，讓學(xué)生在解決問題時，更容易找到突破口［3］.

比如：64（x+4）2+x2+8x=32.解析：如果讓學(xué)生按照傳統(tǒng)的解法，先求判別式，然后解，這就意味著計算的工作量很大，很可能會犯錯誤，但如果讓他們仔細看題目的結(jié)構(gòu)，在等號的兩邊各加16，就有x2+8x+16=（x+4）2.這樣，可以將原方程對應(yīng)地轉(zhuǎn)化成64（x+4）2+（x+4）2=48.

換元法是一種高效的解決方程問題的方法，它的關(guān)鍵在于將對應(yīng)的解法中的有關(guān)式子做等價代換，從而使解題速度更快，更容易找到解題的突破口.

3.3 系數(shù)推理法

二次函數(shù)的解析式有三個很重要的系數(shù)，其中a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.三個因子與二次函數(shù)關(guān)系密切，二次函數(shù)圖的開口是由系數(shù)a確定的，而函數(shù)與y軸的交點是通過系數(shù)c來確定的.在二次函數(shù)知識點的考查中，通常會考查學(xué)生是否掌握了圖形的特性，因此，在遇到此類問題時，可以采用系數(shù)推理法來進行運算.在解決問題時，從系數(shù)出發(fā)，利用系數(shù)公式解決問題，可以節(jié)省大量的時間.

二次函數(shù)問題的解答需要學(xué)生熟悉和理解相關(guān)的知識，熟悉二次函數(shù)的特性和公式，并在最后的分析中選出正確的答案.

3.4 性質(zhì)判斷法

性質(zhì)判定方法也是解答二次函數(shù)問題的常用方法，它要求學(xué)生能夠全面地掌握二次函數(shù)的公式、性質(zhì)等，并利用二次函數(shù)的對稱性質(zhì)來解決問題.性質(zhì)判定以選擇題為主，需要將性質(zhì)判定與圖象相結(jié)合，選出正確的答案.例如，學(xué)生在判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性時，可以采用定性判定的方法，迅速找到正確的答案.對學(xué)生來說，性質(zhì)判定法是最基本的一種方法，它需要學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)理論知識的基礎(chǔ)上，與實際相結(jié)合，從而加快解題的速度［4］.

3.5 數(shù)形結(jié)合

在眾多的解題方法和技術(shù)中，數(shù)形結(jié)合是一種非常有效的解題方式，可以使學(xué)生把抽象的問題具體化，靈活地進行數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能夠有效地解決二次函數(shù)的解析式問題，從而提高學(xué)生的邏輯能力和運算能力.

3.6 三種表達方式的解析

3.6.1 一般式的解法

在二次函數(shù)的三種表達式中，通用方程是最基本的.在解一般方程時，必須將三組對應(yīng)的x，y代入解析公式，得到一個三元一次方程組，求解得到a，b，c的數(shù)值，盡管可以得到正確的答案，但計算的工作量很大，因此學(xué)生要找到更有效的解決辦法.雖然一般方程是學(xué)生必須要掌握的知識，但此解法并不是最好的方法，需要學(xué)生加強對廣義方程的理解，并將其融入解題中.

3.6.2 頂點式的解法

在二次函數(shù)的解題中，頂點方程也是很普遍的，它是由一個通用方程轉(zhuǎn)換而來的.它的解法有一個前提，那就是二次函數(shù)的頂點是（h，k），圖象經(jīng)過點（m，n），這樣學(xué)生就可以利用二次函數(shù)的頂點來解決問題了.首先，學(xué)生需要假設(shè)y=a（x-h）2+ k，再將另一個點的坐標代入所假設(shè)的表達式即可求解.采用頂點法進行解題，不僅可以節(jié)省運算時間，還可以簡化解題過程.

3.6.3 交點式解法

y=a（x-x 1）（x-x 2）是一種常用的二次函數(shù)交點式，它不需要知道二次函數(shù)的頂點，只需要知道圖象和x軸的交點，就能解決問題.二次函數(shù)圖象和x軸相交是解決問題的必要條件.該方法的基本思想是一個通用的公式，即y=ax2+a（-x 1-x 2）x+ax 1x 2.例如，二次函數(shù)圖象經(jīng)過的三個點是（1，0）、（2，0）、（3，4），則所假設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a（x-x 1）（x-x 2），將（1，0），（2，0）點代入可得y=a（x-1）（x-2），再把另外一個坐標代入解析式，即可得到a和解析式.

4 靈活運用

學(xué)生在學(xué)習(xí)了多個二次函數(shù)的解法和技術(shù)后，要靈活運用，以便根據(jù)不同的問題，選擇最簡單有效的解法，提高解題的效率和精確度.為了避免在解題過程中出錯，學(xué)生需要善于思考，能夠舉一反三.在實際操作中，教師首先要自己做一次示范，再讓學(xué)生根據(jù)自己的問題進行小組討論.而一些比較復(fù)雜的問題，既考查二次函數(shù)，又涉及其他的知識，這就需要學(xué)生將這些問題融會貫通，并掌握解題的基本原理，從而實現(xiàn)更復(fù)雜的綜合運用［5］.

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它不但在初中階段的考試中占有很大的比重，同時和許多學(xué)科有著密切的關(guān)系.近年來，從二次函數(shù)的考查傾向來看，主要以考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系為主.

5 結(jié) 語

函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，它對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、綜合運用能力、思維能力等起著舉足輕重的作用.因此，在初中階段，教師要讓學(xué)生正確地理解和掌握二次函數(shù)的解法，并能選擇和使用正確的解題方式，提高解題的準確度和效率.

參考文獻：

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［3］ 張秀連.初中數(shù)學(xué)中的解題思路與方法探究［J］.魅力中國，2018（49）：127.

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