金鵬 張阿南

摘 要： 以“三角函數(shù)的周期性”的課堂教學(xué)為例，立足問題解決，通過創(chuàng)設(shè)豐富的情境，緊扣問題開展探究活動，引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和抽象能力，促進(jìn)知識概念的自然生成，發(fā)展學(xué)生思維，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞： 情境；思維；問題解決；核心素養(yǎng)

1 ?問題提出

2003年的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已提出“提高數(shù)學(xué)的提出、分析和解決問題的能力”．2016年以來，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”備受矚目，且大體已有定論，即包括思維方式、關(guān)鍵能力和通過數(shù)學(xué)活動培養(yǎng)品格三部分．［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”［2］

那么指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)如何進(jìn)行呢？筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要把數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際相聯(lián)系，遵循學(xué)生的思維軌跡，通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境而讓學(xué)生產(chǎn)生“沖突”，設(shè)置層層遞進(jìn)的問題來思考“沖突”，并在化解“沖突”中積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，以達(dá)到問題解決，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的能力．本文以“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)為例，對照新課標(biāo)要求，深入思考，教學(xué)實(shí)踐后進(jìn)行了整理.

2 ?教學(xué)分析

2.1 內(nèi)容分析

在這一章的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)的定義是研究三角函數(shù)的基礎(chǔ)，單位圓中的三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的重要工具．由于周期現(xiàn)象一般與圓周運(yùn)動有關(guān)，教材中選擇用“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動”這個簡單又基本的例子作為研究對象（如圖1［3］）．在本節(jié)課之前，教材中與之相似的圖形前后共出現(xiàn)了30余處，可見其重要性．學(xué)生不斷地圍繞這個圖形展開研究，引導(dǎo)學(xué)生逐步刻畫、完善圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建問題解決模式．

本節(jié)內(nèi)容是 § 7．3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的第一節(jié)，主要內(nèi)容是周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性．前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了二節(jié)內(nèi)容，第一大節(jié)是角與弧度，第二大節(jié)是三角函數(shù)概念，后面將要研究學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用，這就需要應(yīng)用周期性來簡化函數(shù)圖象的作圖，所以三角函數(shù)的周期性是研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基石，為后面的學(xué)習(xí)構(gòu)建了范式．

2.2 學(xué)情分析

認(rèn)知結(jié)構(gòu)在遷移中起著決定性作用．從學(xué)生的知識儲備與能力水平兩個層面上來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)定義，三角函數(shù)線，誘導(dǎo)公式，具有一定的抽象歸納能力，并掌握了數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法．正是這些思想、方法、經(jīng)驗(yàn)等影響著新的學(xué)習(xí)，需要我們?nèi)チ私鈱W(xué)生在前面的知識領(lǐng)域中認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織特征，如清晰性、穩(wěn)定性、概括性等，從而間接地影響新的學(xué)習(xí)與遷移．同時，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生雖已經(jīng)歷過一些概念與定義的刻畫，如函數(shù)的概念、單調(diào)性與奇偶性的定義等，但過程中卻呈現(xiàn)不同程度的刻畫水平差異與能力不足，如對函數(shù)奇偶性的定義中只關(guān)注了 f（-x）＝f（x）與f（-x）＝-f（x）這種代數(shù)表示，而定義中的“定義域”“任意的x∈A，都有-x∈A”等關(guān)鍵語言的提煉與刻畫不完整、理解不到位．本節(jié)課，學(xué)生容易通過了解生活中的一些周期現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)一些基本特征，但如何用數(shù)學(xué)的方式去思考周期現(xiàn)象以及概念的抽象素養(yǎng)均有待提高．

2.3 思路分析

本節(jié)課用學(xué)生比較熟悉的“周期現(xiàn)象”作為具體的問題情境，突出“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”的必要性，［4］按照“創(chuàng)設(shè)情境—學(xué)生活動—數(shù)學(xué)建構(gòu)—數(shù)學(xué)運(yùn)用”的程序，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程．同時，從以下三點(diǎn)關(guān)注教學(xué)的達(dá)成與學(xué)生的反饋：

一是學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)感受周期現(xiàn)象中“循環(huán)往復(fù)的重復(fù)出現(xiàn)”這一變化規(guī)律的同時，能否用數(shù)學(xué)語言將規(guī)律中“每隔一定時間出現(xiàn)”“函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”精準(zhǔn)的刻畫并逐步抽象出函數(shù)周期性的定義．

二是周期變化的現(xiàn)象描述與模型刻畫中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力及特殊到一般的歸納能力．

三是提醒學(xué)生重視學(xué)科之間的聯(lián)系與綜合，在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時，注意運(yùn)用三角函數(shù)來分析和理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，并在應(yīng)用與創(chuàng)新中從更深層面上認(rèn)識到數(shù)學(xué)的科學(xué)、應(yīng)用和文化價值.

為了使學(xué)生通過生活中周期性現(xiàn)象，抽象歸納函數(shù)周期性的概念，總結(jié)求解函數(shù)周期的一般方法，力圖讓學(xué)生通過“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”達(dá)到“了解”“理解”的水平．

具體如表格：

3 ?教學(xué)實(shí)錄

3.1 教學(xué)片段1—問題情境

情境1 ???：（古詩欣賞）離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風(fēng)吹又生．

情境2 ???：（課件演示）摩天輪上任意一點(diǎn)轉(zhuǎn)動一圈后回到原來的位置．

情境3 ???：（實(shí)物展示）彈簧振子．

問題1 ????上面的幾個例子有什么共同特征呢？

生：周而復(fù)始、循環(huán)、重復(fù)出現(xiàn)．

師：說得很好，這些都是按照一定的規(guī)律周而復(fù)始、循環(huán)、重復(fù)出現(xiàn)，我們把這種現(xiàn)象叫做周期性現(xiàn)象，你們還能在舉一些例子嗎？

教師先引導(dǎo)學(xué)生分析后，讓學(xué)生找出生活中周而復(fù)始的現(xiàn)象如“日出日落”“寒來暑往”“四季輪回”“月亮從虧到盈的變化”“潮汐變化”等，進(jìn)一步體驗(yàn)生活中的周期性現(xiàn)象．然后引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行探尋，如已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識中是否有類似的周期性現(xiàn)象．

教學(xué)說明： 利用多媒體和實(shí)物展示引入3個問題情境，讓學(xué)生體驗(yàn)周而復(fù)始、循環(huán)、重復(fù)出現(xiàn)的直觀感受．而情境2與3又成為本節(jié)課自始至終的研究對象，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活.問題1的追問舉例，將學(xué)生的感受進(jìn)階擴(kuò)展，繼續(xù)追尋生活中及數(shù)學(xué)本身更多的相似體會，激發(fā)學(xué)生的探究欲和求知欲．構(gòu)建的“生活—數(shù)學(xué)—生活”這種解決問題的模式，為學(xué)生解決如何由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題及后續(xù)學(xué)習(xí)的思維遷移提供更好的幫助．

3.2 教學(xué)片段2—學(xué)生活動

探究活動1（通過情境2提出問題）

如圖2，點(diǎn)P從半徑為1的圓O上A點(diǎn)位置開始在圓周上按逆時針方向進(jìn)行勻速運(yùn)動，每4分鐘轉(zhuǎn)動一周．設(shè)點(diǎn)P 到A的距離為y，運(yùn)動時間為t，記 y=f（t）．那么當(dāng)點(diǎn)P每次回到點(diǎn)A位置時，你能發(fā)現(xiàn)什么？如何用函數(shù)形式表達(dá)？

生： f（0）＝f（4）=f（8）＝f（12）=…＝0．

師：P在其他位置呢？

生：無論點(diǎn)P從哪里開始，每隔4分鐘，都會到達(dá)的相同位置．

師：又能得到怎樣的函數(shù)表達(dá)式？

生： f（x）＝f（x+4）．

師：若點(diǎn)P按順時針方向運(yùn)動呢？

生： f（x）＝f（x－4）．

師：若T分鐘運(yùn)動一周呢？

生： f（x）＝f（x＋T）．

教學(xué)說明： 把情境2這一自然現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，提煉出點(diǎn)在圓周上運(yùn)動這個最基本的三角函數(shù)模型，再經(jīng)過巧妙問題串聯(lián)師生的合作討論，使影響運(yùn)動的元素與對應(yīng)變化的數(shù)學(xué)對象顯現(xiàn)出來，讓學(xué)生在充分的形象和表象支持下發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，感受觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的思維過程有利于學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握周期的概念.問題情境與探究活動獨(dú)具匠心，課堂的情境與問題、學(xué)生的情緒與思維相輔相成，互相助益，有助于教學(xué)過程完整而流暢，使課堂充滿了興趣、思維、情感和價值認(rèn)同等核心素養(yǎng)的元素．

3.3 教學(xué)片段3—數(shù)學(xué)建構(gòu)

問題2 ????如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)的周期性現(xiàn)象呢？

給學(xué)生一定時間進(jìn)行討論，這個過程很重要，要根據(jù)學(xué)生刻畫的方向、描述的準(zhǔn)確與否適時地給與引導(dǎo)，如前面學(xué)習(xí)過哪些類似知識，又有哪些類似的經(jīng)驗(yàn)或方法：是否可以類比借鑒呢？從而引導(dǎo)學(xué)生一步一步歸納出周期函數(shù)的定義．

問題3 ????請你談一談對周期函數(shù)定義的理解．

給學(xué)生一定時間進(jìn)行討論，并看討論的情況提出預(yù)設(shè)問題：

問題3 1 ????常數(shù)T有什么要求？

問題3 2 ?????在活動1中，我們也發(fā)現(xiàn) f（1）＝f（1＋2），那么能說明周期T＝2嗎？

問題3 3 ????一個周期函數(shù)的周期有多少個？

問題3 4 ????是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？

問題4 ????正弦函數(shù) y＝ sin ?x是周期函數(shù)嗎？

探究活動2 觀察三角函數(shù)線的變化規(guī)律，如圖3，能否找到非零常數(shù)T，使 ?sin ?x= sin （x+T）成立？

（給學(xué)生一定時間思考，引導(dǎo)對比誘導(dǎo)公式進(jìn)行討論，并根據(jù)討論的情況提出預(yù)設(shè)問題）

問題4 1 ????余弦函數(shù) y＝ cos ?x是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

問題4 2 ????正切函數(shù) y＝ tan ?x呢？

問題4 3 ????周期函數(shù)的圖象具有什么特征？

問題4 4 ????你是如何想到的？

教學(xué)說明： 從本單元知識體系與相應(yīng)核心素養(yǎng)進(jìn)行整體性教學(xué)設(shè)計(jì)，研究函數(shù)的周期性時復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，充分調(diào)動、引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識有機(jī)融合，同時引導(dǎo)學(xué)生思考誘導(dǎo)公式 ?sin （x＋2k π ）＝ sin ?x的代數(shù)表達(dá)，把正弦函數(shù)線“周而復(fù)始”的變化規(guī)律從形上的圖形認(rèn)知與從數(shù)的角度如何代數(shù)刻畫建立溝通的橋梁，這兩點(diǎn)對學(xué)生理解和掌握周期函數(shù)的概念是十分有益的， 同時這種代數(shù)式的認(rèn)識也為后面例2的研究做了很好的鋪墊；對于定義的理解采用了問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生合作探究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，敢于發(fā)表個人見解，學(xué)生在問題鏈的驅(qū)使下一步一步的探索解決問題的辦法，提高類比歸納與演繹推理能力， 學(xué)會合作、探究問題．

3.4 教學(xué)片段4—數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 ??回憶情境3中的實(shí)驗(yàn)，若彈簧振子對平衡位置的位移x（ cm ）與時間t（ s ）之間的函數(shù)關(guān)系如圖4所示，求：（1） 該函數(shù)的周期；（2） ?t=10.5 ?s 時彈簧振子對平衡位置的位移．

例2 ??求下列函數(shù)的周期．

（1） ?f（x）= sin ?x+ ?π ?6 ?.

（2） ?f（x）=2 sin ?x.

探究活動3

求函數(shù) f（x）=A sin （ωx+φ）及f（x）=A cos （ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0）的周期．

教學(xué)說明： 這節(jié)課的情境貫穿于整個課堂，支持了豐富的問題和探究的積極性．用情境3作為例1使整個教學(xué)過程充滿了生機(jī)和活力，學(xué)生易產(chǎn)生共鳴和期待．例題來源于生活，貼近生活，又立足于數(shù)學(xué)，拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，產(chǎn)生了良好的情感.例2的解決中為什么要整體換元也將是一個難點(diǎn)，同時例2是為了第3個小問做的鋪墊，使學(xué)生更容易掌握研究函數(shù)周期的方法，講評時要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的周期是針對自變量x而言．

4 ?教學(xué)感悟

4.1 ?創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，提出合理問題，加深數(shù)學(xué)理解

本節(jié)課共設(shè)計(jì)了3個情境、4個問題．課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)必要且恰當(dāng)?shù)那榫秤欣谡{(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，以梯度合理的問題鏈設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生在思維的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行思維活動，通過問題鏈形式進(jìn)行教學(xué)深入淺出、融會貫通．所設(shè)計(jì)的4個問題，緊扣主題，層次分明，條理清晰，符合循序漸進(jìn)的教學(xué)原則．而在課堂教學(xué)的過程中，并不滿足學(xué)生答對問題，而是通過追問，檢查學(xué)生的思考狀況，了解學(xué)生的理解程度，捕捉可能出現(xiàn)的疑惑，及時矯正問題．［5］從學(xué)生的視角解決問題，不僅能讓學(xué)生“知其然”，還能“知其所以然”，更要能“知何由以知其所以然”．通過問題3的思考既可以達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，又可以得到更多的“生成”，使學(xué)生建構(gòu)起自己的數(shù)學(xué)理解，找到思維的起點(diǎn)和問題的本源，更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正發(fā)展數(shù)學(xué)思維．

4.2 ?構(gòu)建學(xué)習(xí)模式，形成思維結(jié)構(gòu)，促進(jìn)問題解決

問題解決是由一定的情境引起的，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動、技能等，經(jīng)過一系列的心理操作，使問題得以解決的過程．深讀教材及教學(xué)參考，挖掘編寫者的設(shè)計(jì)意圖，對本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容整體規(guī)劃，厘清學(xué)習(xí)路徑，構(gòu)建“創(chuàng)設(shè)情境—學(xué)生活動—數(shù)學(xué)建構(gòu)—數(shù)學(xué)運(yùn)用”的學(xué)習(xí)模式，經(jīng)歷“一次次的提出、一次次的思考、一次次地修正、一次次地完善”的思維過程，對學(xué)生頭腦中已有的周期表象與研究知識的經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行整合、融合、更新、加工，用數(shù)學(xué)的方式提取和概括周期性現(xiàn)象特征和規(guī)律，揭示模型的本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系，構(gòu)建問題解決的模式．讓學(xué)生對函數(shù)周期性概念的內(nèi)涵與外延認(rèn)識得更加深刻．經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，完善學(xué)生的思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)問題解決及概念的整體理解．

4.3 ?開展有效探究，引導(dǎo)自主建構(gòu)，提升核心素養(yǎng)

本節(jié)課的3組探究活動均注重學(xué)生主體地位，教學(xué)的重心不是老師的教而是學(xué)生的學(xué)．在探究中問題3的提出是開放的，對答案沒有限制，也沒有刻意指示學(xué)生怎么探究．通過獨(dú)立思考、小組討論、代表發(fā)言、師生對話的形式展開探究教學(xué)，體現(xiàn)了課堂學(xué)習(xí)的自主性、過程性、實(shí)踐性與開放性．同時，探究也不能流于形式，要充分考慮學(xué)生已有的認(rèn)知，以學(xué)生的視角為起點(diǎn)，營造適合學(xué)生自主建構(gòu)知識的氛圍并創(chuàng)造條件，給學(xué)生的探究活動留足自由的時間，關(guān)注課堂生成特別是探究的方向、方式、進(jìn)程等要素，動態(tài)調(diào)整，不斷改變和重建教學(xué)預(yù)設(shè)，逐步完善個體知識的自主建構(gòu)．在注重?cái)?shù)學(xué)知識形成的過程中引發(fā)學(xué)生思維的共鳴和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中真正地落地生根．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 孔凡哲，史寧中．中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑［J］．教育科學(xué)研究，2017（6）：5 11．

［2］ 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］．北京：人民教育出版社，2017．

［3］ 高中數(shù)學(xué)必修第一冊［M］．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019．

［4］ 樊亞東，張乃達(dá)．高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修《數(shù)學(xué)4》（蘇教版）教學(xué)問答［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（6）：16 17．

［5］ 金鵬．問題引領(lǐng)課堂 探究促進(jìn)生成——“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)實(shí)錄與反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（3）：42 44．