嚴(yán)勇

[摘? 要] 隨著時(shí)代的進(jìn)步，現(xiàn)代教學(xué)中越來(lái)越重視學(xué)生獨(dú)立思考能力和自主探究能力的培養(yǎng)，而這些能力的培養(yǎng)離不開思維能力的培養(yǎng). 直覺思維和邏輯思維作為數(shù)學(xué)思維的兩種基本形式自然應(yīng)引起師生的足夠重視. 文章借助同課異構(gòu)課例的課堂教學(xué)活動(dòng)呈現(xiàn)了兩種基本形式的辯證關(guān)系，以期兩者可以相互補(bǔ)充、相互促進(jìn)，從而引導(dǎo)學(xué)生深入問(wèn)題本質(zhì)理解知識(shí)、理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維能力和學(xué)習(xí)能力的全面提升.

[關(guān)鍵詞] 直覺思維;邏輯思維;辯證關(guān)系

直覺感悟是邏輯分析、邏輯推理的起點(diǎn)和風(fēng)向標(biāo)，其為邏輯演繹提供了動(dòng)力源，不過(guò)直覺感悟所產(chǎn)生的結(jié)果有一定的模糊成分，存在一定的主觀性，因此需要借助邏輯思維進(jìn)行澄清和確認(rèn)，從而使直覺所產(chǎn)生的結(jié)果更加深入、具體、準(zhǔn)確. 同時(shí)，通過(guò)邏輯分析和推理往往可以挖掘出一些潛在的信息，其在一定程度上也為直覺思維的產(chǎn)生提供了必要的、可靠的條件. 可見，兩者形成了辯證的互補(bǔ)關(guān)系. 然在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，大多師生往往重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，而忽視了直覺思維的價(jià)值，從而使得學(xué)生在分析和解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)顯得力不從心. 正如新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的那樣，既要重視學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，又要重視學(xué)生觀察能力、直覺能力和想象能力的提升，可見直覺思維的培養(yǎng)已成為新課程的一項(xiàng)重要任務(wù).

筆者以具體解題教學(xué)為例，呈現(xiàn)了直覺思維與邏輯思維協(xié)同發(fā)展對(duì)深化數(shù)學(xué)知識(shí)理解、促進(jìn)解題能力提升的重要應(yīng)用，以期共鑒！

[?]同課異構(gòu)課例

學(xué)生思維能力的發(fā)展主要依賴“用”，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將直覺思維和邏輯思維應(yīng)用于具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，便于學(xué)生能夠更好地理解與把握問(wèn)題的本質(zhì)，從而順利求解問(wèn)題. 在具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，教師要認(rèn)真?zhèn)湔n，不僅要熟悉教材內(nèi)容，還要熟悉學(xué)生，結(jié)合具體學(xué)情有針對(duì)性地取舍、合理地安排，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生思維能力不斷提升. 筆者在一次公開課中，有幸地聽取了兩位教師關(guān)于同一問(wèn)題的講解過(guò)程，現(xiàn)呈現(xiàn)給讀者，希望各位在具體的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中能夠有所感悟，切身體會(huì)直覺思維與邏輯思維的辯證關(guān)系.

1. 師甲教學(xué)實(shí)錄

例1 求證：++…+

師甲：大家思考一下，看看例1這個(gè)不等式該如何證明.

（聽課班級(jí)學(xué)生的基礎(chǔ)較為薄弱，教師沒(méi)有任何鋪墊就讓學(xué)生完成本題的證明顯然遇到了障礙，教師給出問(wèn)題后，沒(méi)有得到學(xué)生的回應(yīng)）

師甲：在解題時(shí)大家都會(huì)受求簡(jiǎn)思維模式的影響，總是想將左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，你們是不是也是這樣想的呢？

生1：是的，不過(guò)沒(méi)有找到簡(jiǎn)化的方案，沒(méi)有得到具體的表達(dá)形式.

師甲：既然不能將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成我們想要的形式，那么接下來(lái)需要怎么辦呢？（學(xué)生深思，但并沒(méi)有找到合理的解決方案）

師甲：既然從左邊化簡(jiǎn)難以入手，我們不妨轉(zhuǎn)換一下思路，從右邊進(jìn)行建構(gòu)，那么lnn如何能夠轉(zhuǎn)化成形如左邊的表達(dá)式呢？如何將lnn進(jìn)行分解呢？如果將lnn分解為一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的形式，是否能夠?qū)崿F(xiàn)呢？（教師通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo)為學(xué)生逐漸掃清思維障礙）

生2：我認(rèn)為可以這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因?yàn)閘nn=ln

·

·

·…·

·=ln+ln+…+ln+ln，于是只要證明++…+

師甲：你們有好的方法來(lái)證明

生3：可以將不等式

1+

，設(shè)=x，則由n≥2，n∈N，知0

通過(guò)師生交流雖然解決了問(wèn)題，然從課堂反饋和課堂活動(dòng)來(lái)看，學(xué)生探究的積極性并沒(méi)有被激發(fā)，而且解決問(wèn)題的關(guān)鍵幾步都是教師通過(guò)灌輸?shù)姆绞浇o出的，這也就失去了問(wèn)題情境啟發(fā)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造性的價(jià)值了.

2. 師乙教學(xué)實(shí)錄

師乙在教學(xué)過(guò)程中，同樣讓學(xué)生獨(dú)立思考并尋找解題方案，然根據(jù)課堂反饋來(lái)看，對(duì)關(guān)鍵步驟的處理學(xué)生還是有些迷茫，因此師乙做了如下引導(dǎo)：

師乙：《西游記》大家看過(guò)嗎？

生齊聲答：看過(guò).

師乙：孫悟空與一群妖怪作戰(zhàn)時(shí)，用了什么技能？

生齊聲答：分身術(shù).

師乙：很好，他只要從身上拔下幾根猴毛一吹，就變成了同等的分身，這樣可以與妖怪一對(duì)一作戰(zhàn). 結(jié)合孫悟空打斗的場(chǎng)面聯(lián)想不等式，你會(huì)想到什么？

生4：我想到了既然剛剛的簡(jiǎn)化行不通，不如像悟空一樣把整體進(jìn)行分解. 即把不等式右邊的lnn看作悟空，左邊的各項(xiàng)看成妖怪，可以將lnn轉(zhuǎn)化為與，，…，同樣多的項(xiàng)數(shù)的和，然后一對(duì)一比較，最終證明不等式成立.

師乙：說(shuō)得非常好！那么生4的這個(gè)想法如何實(shí)現(xiàn)呢？悟空該如何分身呢？

生5：將lnn變形為一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的形式. 可設(shè)lnn=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知ln（n-1）=a+a+…+a，a=lnn-ln（n-1）=ln，于是lnn=ln+ln+…+ln+ln，即要證明

接下來(lái)的探究過(guò)程與上述基本雷同，這里就不再闡述了. 從以上課堂反饋來(lái)看，通過(guò)情境的引入，激發(fā)了學(xué)生探究的熱情，順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展，使不等式的得出更加順暢，有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展. 不過(guò)，值得注意的是，在師乙的教學(xué)過(guò)程中，其實(shí)生5的思維活動(dòng)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?所設(shè)的lnn=a+a+…+a+a共有n項(xiàng)，而原不等式是n-1項(xiàng)，因此并不是一對(duì)一的關(guān)系，可見思維活動(dòng)結(jié)果存在一定的瑕疵，師乙在此次教學(xué)中并沒(méi)有及時(shí)地指出來(lái)，使教學(xué)過(guò)程留有遺憾. 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，教學(xué)過(guò)程中要關(guān)注思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，切勿因?yàn)闆](méi)有影響解題效果就放之任之，久而久之容易造成思維混亂，不利于思維的發(fā)展.

基于以上問(wèn)題，師乙后來(lái)進(jìn)行了一些改變，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究：

例2 求證：++…+<（n≥2，n∈N）.

問(wèn)題給出后，大多數(shù)學(xué)生按照生5的思路求解，設(shè)不等式的右邊=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知=a+a+…+a，兩式相減得a=，代入原不等式，即證明++…+<++…+成立，即證明<成立. 分析至此，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式<顯然是不成立的.

生6：是不是題目出錯(cuò)了呢？（很多學(xué)生都有這樣的疑惑）

生7：原不等式是成立的，不過(guò)我沒(méi)有用生5的方法證明.

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么求解的？

生7：因?yàn)?=1-，<=-，…，<=-，將式子的左右兩邊分別相加，得++…+<1-+-+…+-=1-<1-=. 由此可知不等式是成立的.

師：很好，從生7的證明過(guò)程來(lái)看，題目是沒(méi)有問(wèn)題的，難道剛剛的解題方法失效了嗎？大家仔細(xì)想一想到底哪里出了問(wèn)題呢？（學(xué)生陷入沉思）

生8：我發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了，原來(lái)不等式的左邊是n-1項(xiàng)之和，而我們剛剛設(shè)的是n項(xiàng)之和.

生9：那證明例1的時(shí)候也是這樣設(shè)的怎么沒(méi)有問(wèn)題呢？

生8：因?yàn)槔?中l(wèi)nn=ln+ln+…+ln+ln沒(méi)有嚴(yán)格執(zhí)行l(wèi)nn=a+a+…a+a的形式，其實(shí)是從n=2開始取值的，依然是n-1項(xiàng). （聽到生8的解釋，大家恍然大悟）

師：那么例2是否可以按照剛剛的解題思路繼續(xù)求解呢？

生8：可以. 設(shè)=a+…+a+a，則由n≥2，n∈N，知=a+…+a，兩式相減，得a=. 又=++…++，且>0，所以++…+<，于是只要證明<（n≥2，n∈N）成立即可. 這個(gè)不等式顯然成立，因此原不等式成立.

這樣，借助反例引發(fā)了認(rèn)知沖突，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了在例1證明過(guò)程中存在的不足，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且在此過(guò)程中學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我探究、自我解決，培養(yǎng)了思維的深刻性，提升了學(xué)生實(shí)際解決問(wèn)題的能力.

[?]教學(xué)反思

在師甲的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用直覺思維通過(guò)觀察聯(lián)想到了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，從而將lnn分解成了n-1項(xiàng)的和;師乙的教學(xué)過(guò)程則是將直覺思維轉(zhuǎn)化為邏輯思維，運(yùn)用了逆向思維. 前者更有利于發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，而后者更具說(shuō)服力，兩種解法沒(méi)有優(yōu)劣之分，而是相輔相成. 在教學(xué)過(guò)程中教師要兩者兼顧，讓直覺思維與邏輯思維相伴而行，這樣既能讓學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，又能發(fā)散學(xué)生的思維，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)能力的不斷提升.

另外，在解題中發(fā)現(xiàn)，師甲在教學(xué)時(shí)采用了開門見山式的直接講授模式，其在關(guān)鍵步驟的處理上以師為主，這樣的解題活動(dòng)是機(jī)械的，只能培養(yǎng)學(xué)生解題技能和解題技巧，并沒(méi)有較好地啟發(fā)學(xué)生的思維. 對(duì)于師乙，當(dāng)學(xué)生遇到思維障礙時(shí)，借助故事情境誘發(fā)學(xué)生思考，促使學(xué)生采用逆向思維去分解lnn，在此過(guò)程中充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，然若細(xì)細(xì)品味會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)與師甲相同，也是一種奉獻(xiàn)的方法，探究的層次不夠清晰，對(duì)于一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)講依然是霧里看花. 其實(shí)，當(dāng)學(xué)生的思維受阻時(shí)，教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些小坡度的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去自主探究和發(fā)現(xiàn)，如讓學(xué)生解不等式+<，引導(dǎo)學(xué)生將變形為+=+，從而將不等式變形為+<+，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)典型特例的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，產(chǎn)生“分項(xiàng)比較大小”的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而通過(guò)由淺入深、由現(xiàn)象到本質(zhì)的逐層引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解并掌握解題方法，形成解題能力.

總之，在解題教學(xué)中，技能與技巧固然重要，然讓學(xué)生在解題過(guò)程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)觀念、形成數(shù)學(xué)思想方法更為重要，因此在具體教學(xué)活動(dòng)中，教師要改變灌輸式的教學(xué)模型，善于從問(wèn)題的本源出發(fā)，通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)讓學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)，從而形成正確的解題方法，促進(jìn)解題能力提升.