李祎，林晴嵐

摘要：從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，“講道理”的教學(xué)才能促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生；從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展是自然而然的、合情合理的，數(shù)學(xué)知識(shí)之間是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因而更?yīng)該“講道理”、更容易“講道理”；從我國數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀來看，“講道理”的教學(xué)可以有效解決“會(huì)而不懂”的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，要從深入理解數(shù)學(xué)和善于稚化思維兩方面入手做到“講道理”?！跋蛄考捌溥\(yùn)算”的教學(xué)，要認(rèn)識(shí)到數(shù)和向量內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性和一致性，通過類比遷移、從特殊到一般、“降維”轉(zhuǎn)化等思想，讓學(xué)生理解向量運(yùn)算法則（乃至定義）的合理性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；講道理；向量及其運(yùn)算；問題串；“降維”轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)是理性的科學(xué)，并因理性而讓人感到解放、有力和震撼。理性精神的培育，離不開“講道理”。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講道理”應(yīng)是常識(shí)，但在應(yīng)試教育的背景下，似乎成了一種奢望。在聽中學(xué)數(shù)學(xué)課的過程中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)中“不講道理”的現(xiàn)象普遍存在，新知教學(xué)“多快好省”地灌輸，重結(jié)果、輕過程，重記憶、輕理解，把課堂上大量的時(shí)間花在習(xí)題操練上。究其原因，表面上看與“應(yīng)試”高壓有關(guān)，實(shí)則可能還是與教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)及教師的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有關(guān)。以下先闡述對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中“講道理”重要性的認(rèn)識(shí)，再談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中怎樣才能做到“講道理”，并以高中“向量及其運(yùn)算”的教學(xué)為例詳細(xì)說明。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中“講道理”的重要性

首先，從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，“講道理”的教學(xué)才能促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生。奧蘇貝爾曾把學(xué)習(xí)分為有意義學(xué)習(xí)和機(jī)械性學(xué)習(xí)。所謂有意義學(xué)習(xí)，是指“符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)概念能夠建立起非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”。那么，什么是“非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”呢？這就是指，新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的聯(lián)系不是任意的、字面上的聯(lián)系，而是具有某種合理的或邏輯基礎(chǔ)上的本質(zhì)性聯(lián)系。“講道理”的教學(xué)就是要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)、循循善誘地啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)（建立聯(lián)系）的心向，并通過揭示新舊知識(shí)之間的連接點(diǎn)，打通新舊知識(shí)之間的邏輯通道，在新舊知識(shí)之間建立起各種縱橫聯(lián)系。這樣，才能真正促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生；否則，填鴨式的被動(dòng)接受、囫圇吞棗式的機(jī)械學(xué)習(xí)的發(fā)生就不可避免了。實(shí)際上，有意義的學(xué)習(xí)就是理解性的學(xué)習(xí)。而大量經(jīng)驗(yàn)、研究證明，只有理解了的東西才不會(huì)被遺忘，尤其是在所學(xué)習(xí)的內(nèi)容越來越多的情況下。

其次，從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展是自然而然的、合情合理的，數(shù)學(xué)知識(shí)之間是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模蚨鼞?yīng)該“講道理”、更容易“講道理”。正如弗賴登塔爾的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)。也如人教版高中數(shù)學(xué)教材曾在“主編寄語”中所言：“數(shù)學(xué)是自然的……數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！边@里，需要特別辨析一下“推理”與“道理”的關(guān)系。張奠宙先生很早就指出過，數(shù)學(xué)“要講推理，更要講道理”。其中的“推理”主要指邏輯推理，特別指演繹推理，如解方程的步驟；“道理”則主要指來龍去脈，并包括合情推理，如為什么要學(xué)習(xí)方程、如何用方程解決問題。實(shí)際上，以現(xiàn)代而非傳統(tǒng)的觀點(diǎn)（由波利亞首先大力倡導(dǎo)而被廣泛認(rèn)可）來看，數(shù)學(xué)中的（邏輯）推理不限于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，也包括靈活的合情推理，即具有傳遞性的推理形式⑤?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2022年修訂）》便持有這樣的認(rèn)識(shí)，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》更強(qiáng)化了這樣的認(rèn)識(shí)。所以，在解讀新課標(biāo)的有關(guān)理念時(shí)，課標(biāo)修訂組組長史寧中教授多次提到，新概念和新方法的引入必須讓學(xué)生體會(huì)到必要性⑤；核心成員孫曉天教授指出，作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理，即廣義的，將各種形式相互協(xié)調(diào)、熔于一爐的，由“思考現(xiàn)實(shí)世界”的需要所決定的推理。而這種廣義的推理就可以理解為“講道理”（建聯(lián)系）。簡單來講，就是傅仲孫先生所講的“示以思維之道”：不僅知其然，而且知其所以然，知何由以知其所以然；不僅知道每一個(gè)數(shù)學(xué)概念和結(jié)論是什么，而且知道它們是怎么來的，它們有什么用處，它們之間有什么聯(lián)系等。

再次，從我國數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀來看，“講道理”的教學(xué)可以有效解決“會(huì)而不懂”的問題。為了應(yīng)對(duì)升學(xué)考試，數(shù)學(xué)教學(xué)中“對(duì)題型，套解法”的機(jī)械刷題現(xiàn)象很普遍。由此出現(xiàn)了一種“會(huì)而不懂”的現(xiàn)象，即學(xué)生“會(huì)”做題，但不懂?dāng)?shù)學(xué)，也就是學(xué)生能夠用現(xiàn)成（記住）的基本（核心）知識(shí)做題，但不理解基本（核心）知識(shí)的來龍去脈與相互聯(lián)系以及其中蘊(yùn)含的本質(zhì)與思想——其實(shí)，學(xué)生“會(huì)”做的往往只是缺少“原創(chuàng)性”、不能充分考查思維能力、以記憶模仿為主就能解決的“練習(xí)題”。這種現(xiàn)象比“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象（能聽懂但不會(huì)做題）更可怕：學(xué)生不懂?dāng)?shù)學(xué)的問題被“會(huì)”做題的表象掩蓋了。丘成桐先生曾在杭州與一群高考數(shù)學(xué)“尖子生”見面。結(jié)果，他大為失望，并一針見血地指出：“大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本沒有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是做習(xí)題的機(jī)器。這樣的教育體系難以培養(yǎng)出什么數(shù)學(xué)人才?！蔽覀?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“講道理”，就是要求學(xué)生要把“會(huì)”建立在“懂”的基礎(chǔ)上，先“懂”再“會(huì)”，并在“會(huì)”中不斷深化“懂”，從而做到既“懂”又“會(huì)”，不能“懂而不會(huì)”，更不能“會(huì)而不懂”。這就要求我們做好數(shù)學(xué)概念、公理、定理、公式和法則等新知的教學(xué)。

此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀是長期逐漸養(yǎng)成的。如果教師在教學(xué)中經(jīng)常不講道理，習(xí)慣于照本宣科地“填鴨”，學(xué)生便會(huì)逐漸喪失質(zhì)疑問難的精神，從而采取理所當(dāng)然的態(tài)度，習(xí)慣于拿來主義和被動(dòng)接受，認(rèn)為數(shù)學(xué)先天這樣、本來如此，只管照搬和接受即可。顯然，這種數(shù)學(xué)觀的危害是極大的，也是造成目前“會(huì)而不懂”現(xiàn)象的根源。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣才能做到“講道理”

數(shù)學(xué)教學(xué)中，要從深入理解數(shù)學(xué)和善于稚化思維兩方面入手做到“講道理”。

（一）深入理解數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“教什么”比“怎么教”更為重要，因?yàn)榍罢哧P(guān)涉教學(xué)內(nèi)容，后者關(guān)涉教學(xué)形式，而內(nèi)容決定形式。數(shù)學(xué)教師如果沒有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，沒有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)體系的通透理解，是不可能真正做好數(shù)學(xué)教學(xué)工作的。正如美國數(shù)學(xué)家赫斯所言：“問題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么；如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)的爭議?！闭陆ㄜS先生曾經(jīng)提出數(shù)學(xué)教學(xué)的“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)。在這三者中，無疑“理解數(shù)學(xué)”更為重要，它是“理解學(xué)生”和“理解教學(xué)”的基礎(chǔ)。

要真正理解數(shù)學(xué)，不僅要從微觀上準(zhǔn)確把握每個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理的來龍去脈以及本質(zhì)特征，而且要從宏觀上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的縱橫聯(lián)系以及結(jié)構(gòu)體系；不僅要揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的顯性聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之“形”，而且要揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之“神”。單墫教授曾經(jīng)指出學(xué)好數(shù)學(xué)要經(jīng)歷的幾個(gè)“會(huì)”：首先是“學(xué)會(huì)”，其次是“領(lǐng)會(huì)”，最后是“融會(huì)”。所謂的“融會(huì)”，就是要做到觸類旁通、舉一反三，如此方能講出道理，并運(yùn)用自如。

如果教師不清楚學(xué)科內(nèi)容的研究對(duì)象和方法、研究思路和線索，不清楚學(xué)科知識(shí)的來龍去脈、縱橫聯(lián)系、背景和意義、地位和作用，那么教學(xué)就會(huì)具有一定的盲目性和機(jī)械性，更勿論給學(xué)生講清楚道理了。比如，教學(xué)“向量的概念”時(shí)，很多教師認(rèn)識(shí)不到數(shù)和向量內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性和一致性，只通過與數(shù)的區(qū)別來介紹向量。這樣，“向量的運(yùn)算”的教學(xué)，就難以引導(dǎo)學(xué)生采用“降維”思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也就難以讓學(xué)生理解向量運(yùn)算法則（乃至定義）的合理性。

（二）善于稚化思維

教學(xué)既不能“淺入深出”“淺入淺出”，也不能“深入深出”，而要“深入淺出”。能否“深入”，取決于教師的學(xué)科知識(shí)水平；在“深入”的基礎(chǔ)上能否“淺出”，則取決于教師的教學(xué)水平。優(yōu)秀的教師在教學(xué)中要善于懸置自己已有的知識(shí)，設(shè)身處地地站在學(xué)生的角度思考，設(shè)想自己在“一無所知”的情況下面臨新的問題情境時(shí)，會(huì)怎樣思考問題、分析問題、解決問題。概括來講，也就是要“思學(xué)生之所思”“難學(xué)生之所難”“錯(cuò)學(xué)生之所錯(cuò)”。這樣，教師的思維與學(xué)生的思維才不會(huì)出現(xiàn)脫節(jié)或錯(cuò)位，教師所講的道理才容易被學(xué)生理解和接受，有意義學(xué)習(xí)才可能真正發(fā)生。

要做到稚化思維，一方面，要準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，即學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是什么，新知識(shí)的生長點(diǎn)和固著點(diǎn)是什么，新舊知識(shí)之間存在怎樣的聯(lián)系和落差，應(yīng)該如何給學(xué)生搭建認(rèn)知的“腳手架”；另一方面，要善于揣摩學(xué)生的思維方式，即學(xué)生面對(duì)陌生問題在尋找解決策略時(shí)可能采取的思維方式有哪些，可能會(huì)存在哪些認(rèn)知困難，應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生尋找合理的解決策略。在稚化思維的基礎(chǔ)上設(shè)置引導(dǎo)性問題，教學(xué)就不會(huì)出現(xiàn)“越位”現(xiàn)象了。

比如，無論教學(xué)“向量的加法運(yùn)算”，還是教學(xué)“向量的數(shù)量積運(yùn)算”，當(dāng)學(xué)生面對(duì)“平面上既有大小又有方向的量”的陌生問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生采用從特殊到一般的解決策略，便是減少思維落差、化解教學(xué)難點(diǎn)的方法。因?yàn)楣簿€向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算更靠近學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，是連接數(shù)的運(yùn)算和向量運(yùn)算的橋梁，更容易被學(xué)生同化、接納。基于這一認(rèn)識(shí)設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生思考，便符合了稚化思維的教學(xué)理念。正如波利亞所言：“讓你的學(xué)生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題；讓你的學(xué)生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答。”

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中“講道理”的一個(gè)具體案例

下面詳細(xì)闡述上文提及的“向量及其運(yùn)算”的教學(xué)。

（一）“向量的概念”教學(xué)診斷與改進(jìn)

1.傳統(tǒng)教學(xué)診斷

在“向量的概念”的教學(xué)中，很多教師都是結(jié)合生活實(shí)例，并通過如下導(dǎo)語來引入向量概念的：“我們之前學(xué)習(xí)的量叫數(shù)量，數(shù)量只有大小、沒有方向；今天我們新學(xué)習(xí)的量叫向量，向量不僅有大小，而且還有方向。”

采用這種方式導(dǎo)入，就把數(shù)量與向量人為地割裂了，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為數(shù)量和向量是兩個(gè)完全不同的概念，它們之間沒有任何聯(lián)系。聰明的學(xué)生就會(huì)想到：之前學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，為了表示相反意義的量，我們引進(jìn)了負(fù)數(shù)，“相反”不就有方向的含義嗎？怎么說數(shù)量沒有方向？

其實(shí)，數(shù)量也是有方向的，只不過數(shù)量是從一維角度來考慮方向的。從本質(zhì)上看，實(shí)數(shù)可視作一維向量。在數(shù)軸上，如果讓一維向量的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則其終點(diǎn)就會(huì)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的點(diǎn)和實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是一維向量的大?。撮L度或模），實(shí)數(shù)的正負(fù)號(hào)就是一維向量的方向，于是，就可以在一維向量與實(shí)數(shù)之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此可以說，平面向量就是實(shí)數(shù)的推廣，而且在推廣中，大小、方向、數(shù)乘運(yùn)算等都是一脈相承的，本質(zhì)均保持不變。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)

可以通過問題串引導(dǎo)學(xué)生理解向量概念引入的“道理”，具體設(shè)計(jì)如下：

問題1為了表示大小、多少等，我們引入了數(shù)量，并抽象出數(shù)的概念。最開始，我們學(xué)習(xí)了正數(shù)。其后，為了表示相反意義的量，我們引入和學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)。你能在數(shù)軸上解釋正負(fù)數(shù)的意義嗎？

正負(fù)數(shù)的絕對(duì)值表示大小，體現(xiàn)了“數(shù)”的特征；正負(fù)數(shù)的符號(hào)表示方向，體現(xiàn)了“形”的特征。所以，“數(shù)量”即一維向量，也是集數(shù)和形為一體的量，只不過它是在兩種特定的方向——相反方向上考慮的。結(jié)合數(shù)軸解釋正負(fù)數(shù)的意義，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)量的大小特征和方向意義。

問題2正負(fù)數(shù)的概念從一維角度體現(xiàn)了數(shù)量的方向性。除了在直線上研究數(shù)量的方向性，可以在平面上研究數(shù)量的方向性嗎？你能從生活實(shí)例中舉出一些具有方向性的數(shù)量嗎？

通過列舉物理學(xué)中的位移、速度、力等矢量，學(xué)生認(rèn)識(shí)到還有一種具有方向性的量，它無法通過正反兩個(gè)方向來區(qū)分，其方向在平面上具有不確定性。這種在平面上既有大小又有方向的量叫作平面向量，簡稱向量。由此，順利實(shí)現(xiàn)了從數(shù)量學(xué)習(xí)到向量學(xué)習(xí)的遷移。

（二）“向量的加法”教學(xué)診斷與改進(jìn)

1.傳統(tǒng)教學(xué)診斷

翻閱大量教案不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“向量的加法”的教學(xué)，很多教師均采取了如下方式：基于物理學(xué)中的位移模型，抽象出向量加法的三角形法則；基于物理學(xué)中力的合成模型，抽象出向量加法的平行四邊形法則；根據(jù)數(shù)學(xué)中自由向量的特點(diǎn)，結(jié)合實(shí)例說明兩種法則的等價(jià)性。

采用這種方式教學(xué)，學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生疑惑：為何僅根據(jù)一個(gè)位移模型的物理學(xué)實(shí)例，就可以直接抽象出一個(gè)三角形法則？為何僅根據(jù)一個(gè)力的合成模型的物理學(xué)實(shí)例，就可以直接抽象出一個(gè)平行四邊形法則？向量加法法則的合理性在哪里？其數(shù)學(xué)意義是什么？再退一步，從根本上講，向量的加法究竟是什么？它與以往的數(shù)量的加法有什么區(qū)別與聯(lián)系？

2.教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)

可以通過問題串引導(dǎo)學(xué)生理解向量加法法則（定義）的“道理”，具體設(shè)計(jì)如下：

問題1對(duì)于兩個(gè)數(shù)，依據(jù)運(yùn)算法則，可以進(jìn)行加減乘除等各種運(yùn)算。對(duì)于兩個(gè)向量，是否也可以進(jìn)行類似的運(yùn)算呢？我們從最簡單的加法運(yùn)算開始研究。

類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)量和向量都是關(guān)于“量”的概念，而運(yùn)算是它們的共同特征，因此，這里采取類比方式導(dǎo)入，便是自然而然的事情了。

問題2對(duì)于在平面上既有大小又有方向的兩個(gè)向量而言，什么是它們的“加法”？該怎樣把它們“加”在一起呢？不妨從兩個(gè)特殊的向量——共線向量開始研究。

通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道了向量既有大小又有方向，并且它的大小和方向可以用有向線段來表示。對(duì)于這種用幾何方式表示的量，什么是其加法？該如何相加？這是學(xué)生面臨的新挑戰(zhàn)。對(duì)此，可從特殊情形開始研究。這也是數(shù)學(xué)慣用的研究思路。

問題3兩個(gè)共線的向量又可分為方向相同和方向相反兩種情況。對(duì)于這樣兩種情況，分別應(yīng)該如何相加呢？

結(jié)合生活實(shí)例不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)共線向量的方向相同時(shí)，就可以不考慮方向，把兩個(gè)向量的大小直接相加，和向量的方向保持不變；當(dāng)兩個(gè)共線向量的方向相反時(shí)，和向量的大小是這兩個(gè)向量大小的差的絕對(duì)值，和向量的方向與大小較大的向量的方向保持一致。這時(shí)，兩個(gè)向量的加法完全類似于初中有理數(shù)（實(shí)數(shù)）的加法，或者說它們相加就轉(zhuǎn)化成了有理數(shù)（實(shí)數(shù)）相加，從而學(xué)生很容易利用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)同化新的知識(shí)。

問題4你能用幾何方式概括地表示出兩個(gè)共線向量相加的運(yùn)算法則嗎？

如果令A(yù)B=a，BC=b，當(dāng)A、B、C在同一條直線上時(shí)，無論向量a與b的方向相同還是相反，都有AB+BC=AC。這便是特殊情形下的三角形法則，為下一步一般性地概括出向量加法的三角形法則做好了鋪墊。

問題5對(duì)于兩個(gè)不共線的向量a與b，當(dāng)它們首尾相接時(shí)，令A(yù)B=a，BC=b。這時(shí)，它們相加是否仍滿足AB+BC=AC呢？讓我們從物理學(xué)中位移的合成開始研究。

根據(jù)物理學(xué)中位移的合成，兩次位移AB、BC的結(jié)果等效于一次位移AC，可以用AB+BC=AC來表示。這能夠讓學(xué)生在得到向量加法的三角形法則的同時(shí)，體會(huì)向量相加的含義，即把兩個(gè)向量共同作用的結(jié)果稱為兩個(gè)向量的和向量，求兩個(gè)向量的和向量的過程叫作兩個(gè)向量的加法。

問題6以上是通過物理學(xué)實(shí)例概括得到兩個(gè)向量相加的三角形法則。你能從數(shù)學(xué)的角度解釋兩個(gè)向量相加的三角形法則的合理性嗎？

兩個(gè)共線的向量相加本質(zhì)上就是兩個(gè)數(shù)相加。對(duì)于兩個(gè)不共線的向量，由于方向不同，無法直接相加。一個(gè)自然的想法是：能否轉(zhuǎn)化成兩個(gè)共線的向量相加？事實(shí)上，如圖1，要計(jì)算AB+BC，由于向量AB在直線AC上的投影向量是AD，向量BC在直線AC上的投影向量是DC，顯然AD+DC=AC，因此通過投影把兩個(gè)不共線的向量轉(zhuǎn)化成共線向量，便可以相加了。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想。物理學(xué)的具體實(shí)例，只是提示我們應(yīng)該向哪條直線上作投影。

問題7物理學(xué)中，除了位移的合成之外，還有速度的合成、力的合成等，它們是否也遵循向量相加的三角形法則呢？

不能僅通過一個(gè)實(shí)例，就直接歸納出運(yùn)算法則，還需要再舉出一個(gè)以上的實(shí)例來進(jìn)行歸納概括。以力的合成為例，物理學(xué)實(shí)驗(yàn)的等效原理表明，力的合成遵循平行四邊形法則。由此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突與困惑——

問題8向量相加的平行四邊形法則與三角形法則是否等價(jià)？向量相加的平行四邊形法則的合理性又是什么？

由于數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，因此通過向量的平移，可以發(fā)現(xiàn)向量相加的平行四邊形法則與三角形法則是等價(jià)的，只是適用條件和范圍不同。如下頁圖2，要計(jì)算AB+AD，由AB在直線AC上的投影向量是AE，AD在直線AC上的投影向量是AF，且AF=EC（即AD平移得到的BC在直線AC上的投影向量），因此向量AB與AD的和向量AC仍然等于它們的投影向量之和。不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩個(gè)不共線而共起點(diǎn)的向量相加，仍然是通過投影向量轉(zhuǎn)化成兩個(gè)共線的向量相加，只不過此時(shí)是投影到以AB和AD為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上。

（三）“向量的數(shù)量積”教學(xué)診斷與改進(jìn)

1.傳統(tǒng)教學(xué)診斷

對(duì)于“向量的數(shù)量積”的教學(xué)，無論是各個(gè)版本的教材，還是常見的教學(xué)設(shè)計(jì)，均采用“力對(duì)物體做功”的實(shí)例，即當(dāng)力的方向與位移方向不一致時(shí)，通過對(duì)力在位移方向上的分解來求功，引出兩個(gè)向量數(shù)量積的定義。

這里，學(xué)生同樣會(huì)產(chǎn)生困惑：為何僅根據(jù)一個(gè)物理學(xué)實(shí)例，就可以抽象概括出一個(gè)數(shù)學(xué)概念？可以舉出更多的實(shí)例嗎？如果不能，這樣定義兩個(gè)向量數(shù)量積的合理性在哪里？其數(shù)學(xué)意義是什么？它與兩個(gè)實(shí)數(shù)相乘有什么區(qū)別與聯(lián)系？

在實(shí)際教學(xué)中，幾乎所有的教師在通過一個(gè)物理學(xué)實(shí)例直接歸納出向量數(shù)量積的定義后，都未能從數(shù)學(xué)的角度解釋定義的合理性，特別是從聯(lián)系的角度認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積定義和實(shí)數(shù)乘法定義之間的關(guān)系。顯然，這非常不利于學(xué)生形成整體性認(rèn)識(shí)。

最新的人教版高中數(shù)學(xué)教材（根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫）明確引入并強(qiáng)化了投影向量的概念，為我們重新建構(gòu)對(duì)向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)提供了極大的方便。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)

可以通過問題串引導(dǎo)學(xué)生理解向量數(shù)量積定義（法則）的道理，具體設(shè)計(jì)如下：

問題1類似于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，向量之間除了有加減法運(yùn)算之外，是否也存在乘法運(yùn)算呢？如果存在的話，又該如何定義呢？

實(shí)數(shù)是一維向量，通過與實(shí)數(shù)類比引出向量的乘法運(yùn)算，合情合理。這是因?yàn)?，盡管向量的乘法運(yùn)算較為復(fù)雜，又可分為數(shù)量積運(yùn)算和向量積運(yùn)算，但是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性與一致性。

問題2類似于向量的加法運(yùn)算，我們同樣從兩個(gè)特殊的向量——共線向量開始研究。如果是兩個(gè)共線的向量，應(yīng)該如何相乘才比較合理？這時(shí)，向量的乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算存在本質(zhì)上的差異嗎？

從特殊到一般是解決問題的常用策略。當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，如果它們的方向相同，那么它們相乘只要把大小相乘，所得結(jié)果為正數(shù)，本質(zhì)上就是實(shí)數(shù)運(yùn)算中的“同號(hào)相乘得正”；如果它們的方向相反，那么它們相乘也只要把大小相乘，所得結(jié)果為負(fù)數(shù)，本質(zhì)上就是實(shí)數(shù)運(yùn)算中的“異號(hào)相乘得負(fù)”。這樣，兩個(gè)共線向量的數(shù)量積運(yùn)算就轉(zhuǎn)化成了一維向量的乘法運(yùn)算，其本質(zhì)就是實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算。

問題3如果是兩個(gè)不共線的向量，它們?cè)谄矫嫔系姆较蚣炔幌嗤膊幌喾矗虼藷o法“直接”相乘，那么應(yīng)該如何定義它們的乘法才比較合理呢？

在小學(xué)學(xué)習(xí)正數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，遇到的數(shù)只有大小、沒有方向，因此，兩個(gè)數(shù)可以直接相乘。在初中學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，遇到的數(shù)不僅有大小，而且有方向相同或相反的區(qū)分，但是，相乘的結(jié)果只需要用正負(fù)就可以區(qū)分了。如果是平面上帶有方向的數(shù)，該如何相乘呢？這是學(xué)生從未遇到過的巨大挑戰(zhàn)，其最棘手的地方在于如何定義“方向”的運(yùn)算規(guī)則才比較合理。

問題4讓我們先看一個(gè)物理學(xué)實(shí)例。一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移為s。當(dāng)力F與位移s的方向一致時(shí)，力對(duì)物體所做的功為多少？當(dāng)力F與位移s的方向不一致時(shí)，設(shè)力F與位移s的夾角為θ，這時(shí)力對(duì)物體所做的功又為多少呢？

根據(jù)物理學(xué)知識(shí)可以知道：當(dāng)力F與位移s的方向一致時(shí)，力對(duì)物體所做的功W=|F||s|，即力的大小與位移的大小直接相乘；當(dāng)力F與位移s的方向不一致時(shí)，力對(duì)物體所做的功W=|F||s|cos θ，這時(shí)功的大小變小，即力的功效出現(xiàn)了損耗。兩種不同的情形正是引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算過渡到向量數(shù)量積運(yùn)算的典例。

問題5當(dāng)力F與位移s的方向不一致時(shí)，真正使物體前進(jìn)的力是什么？它的大小是多少？它的方向具有什么特征？你能給出|F|cos θ的物理意義嗎？

通過對(duì)力F與位移s方向不一致的情況的進(jìn)一步分析，讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)力在位移方向上分解的目的，認(rèn)識(shí)到位移方向上分力的大小和方向特征，從而為學(xué)生下一步更好地理解投影和投影向量的概念，進(jìn)而理解向量數(shù)量積定義的合理性做好鋪墊。

問題6力和位移都是向量，功是由力和位移兩個(gè)向量確定的。如果我們把功看作兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果，受此啟發(fā)，我們是否可以給出兩個(gè)向量相乘的定義？

受物理學(xué)實(shí)例的啟發(fā)進(jìn)行類推，由此給出兩個(gè)向量數(shù)量積的定義便顯得合乎情理了，因?yàn)檫@樣定義在某種程度上符合了事物的客觀規(guī)律。但是，學(xué)生仍然會(huì)存在一定的困惑：還可以舉出更多的實(shí)例嗎？如果不能，那么，這樣定義的數(shù)學(xué)意義是什么？一般情形下的合理性體現(xiàn)在哪里？

問題7平面向量在平面上不僅有大小，而且有方向。因此，定義兩個(gè)向量相乘的運(yùn)算法則，關(guān)鍵是解決“方向”的問題。你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這樣定義向量數(shù)量積運(yùn)算的合理性嗎？

當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，它們無法直接相乘。這時(shí)，把其中一個(gè)向量投影到另一個(gè)向量所在直線上，所得投影向量與后一向量就共線了，就可以相乘了，相乘的方法完全類似于兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘法。具體來講，如圖3，當(dāng)向量a和b的夾角θ為銳角時(shí)，投影成方向相同的兩個(gè)共線向量，這時(shí)a·b=|a′||b|，而|a′|=|a|cos θ，因此a·b=|a||b|cos θ；當(dāng)向量a和b的夾角θ為鈍角時(shí)，投影成方向相反的兩個(gè)共線向量，這時(shí)a·b=-|a′||b|，而|a′|=|a|cos（π－θ），因此a·b=|a||b|cos θ。

問題8兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？從中我們能得到哪些啟示呢？

通過向量的投影和投影向量，把非共線向量轉(zhuǎn)化成共線向量，把二維平面向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成一維共線向量的數(shù)量積。而一維共線向量數(shù)量積運(yùn)算的本質(zhì)就是實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，由此實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“降維”思想。