沈丹，潘小梅

摘要：綜合與實踐活動是培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識和方法解決實際問題能力的重要載體。在學(xué)生學(xué)完浙教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第1章《解直角三角形》后，基于真實的生活情境，布置有一定挑戰(zhàn)性的綜合與實踐活動任務(wù)“生活中物體的高度測量”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索簡易測量方法、了解現(xiàn)代測量工具、改進簡易測量方法（工具）以及實地測量獲得結(jié)果等過程，并對活動過程實施評價。這不僅提高了學(xué)生的綜合運用能力和實踐創(chuàng)新能力，而且豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，內(nèi)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；綜合與實踐；高度測量

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）依然將“綜合與實踐”作為與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”并列的課程內(nèi)容的四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一。新課標(biāo)指出：“綜合與實踐以培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識和方法解決實際問題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計情境真實、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識與方法解決問題。”②“進一步加強綜合與實踐”活動，“著力培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、實踐能力、社會擔(dān)當(dāng)?shù)绕焚|(zhì)”，教學(xué)時要“明確教學(xué)目標(biāo)”，“設(shè)計教學(xué)活動”（包括活動任務(wù)的設(shè)計布置與完成引導(dǎo)等），“關(guān)注教學(xué)評價”②。

筆者在多年的日常教學(xué)中，積極踐行綜合與實踐的課程理念。本文介紹一個活動案例：“生活中物體的高度測量”。

一、教學(xué)設(shè)計與實施

（一）明確教學(xué)目標(biāo)

浙教版初中數(shù)學(xué)教材在九年級上冊“4.5 相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用”的例6中給出了測量樹高的兩種方法，要求學(xué)生依據(jù)所給測量數(shù)據(jù)計算求解樹高，并延伸提問：還有其他測量樹高的方法嗎？在九年級下冊“1.3 解直角三角形”后的“設(shè)計題”中介紹了可用來測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角的測傾儀，要求學(xué)生說明測量原理并展開測量實踐。

據(jù)此，我們在學(xué)生學(xué)完九年級下冊第1章《解直角三角形》之后，嘗試組織學(xué)生開展綜合與實踐活動“生活中物體的高度測量”，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷觀察測量對象、探索測量方法、選擇或制作測量工具、構(gòu)建測量模型、擬定測量方案、實際測量以及完成測量報告、交流測量報告的過程。具體的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.了解物體高度測量的不同方法與原理，能利用相似三角形、解直角三角形等數(shù)學(xué)知識，選用不同的方法測量特定物體的高度，提高數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)應(yīng)用意識；

2.通過動手設(shè)計和制作測量工具，了解測量原理，并在使用中改進測量工具；學(xué)會實地測量，記錄數(shù)據(jù)，撰寫報告，評估結(jié)果，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，增強實踐能力，發(fā)展問題提出能力，促進反思性思維與批判性思維；

3.通過小組合作學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識運用于真實問題的解決中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力、手腦結(jié)合能力；了解古今中外高度測量的方法，滲透數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)情感。

（二）布置活動任務(wù)

我們設(shè)計并布置了如下活動任務(wù)：

同學(xué)們，秋天來了，校園的銀杏葉開始凋落，你是否駐足思考過：這棵銀杏樹有多高？校園中和學(xué)校外還有哪些可望不可即的物體的高度？你能想辦法測量它們嗎？

請自行組合3—5位同學(xué)為一組，完成以下任務(wù)：

1.上網(wǎng)搜索測量物體高度的方法；（建議關(guān)注金字塔、樹高等）

2.了解測量物體高度的相關(guān)工具；（建議了解測傾儀、測高器等）

3.確定待測物體，規(guī)劃測量方法；（建議關(guān)注校園中的銀杏樹和旗桿、學(xué)校附近的住宅樓等，自制測量工具）

4.實地測量，記錄數(shù)據(jù)并撰寫報告；（建議多次測量并估算測量誤差）

5.展示測量結(jié)果和分享體會。

（三）引導(dǎo)完成任務(wù)

1.探索簡易測量方法

學(xué)生上網(wǎng)搜索歷史上與生活中利用簡易工具測量樹高或樓高等的一些方法，教師引導(dǎo)學(xué)生理清背后的原理，然后基于相應(yīng)的原理拓展得到更多的方法。

學(xué)生搜索得到的方法主要有：

（1）影子法。古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯利用這一方法測金字塔的高度：如圖1所示，因為斜射的太陽光是平行光，再利用豎直和水平的兩組對應(yīng)邊，便可得到兩個相似的三角形ABC和A′B′C′。其中，AC是金字塔的高度，AB是金字塔的影長加底面邊長的一半，A′C′是標(biāo)桿的高度，A′B′是標(biāo)桿的影長。

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，只要測得AB、A′C′、A′B′的長度，便可算出AC的長度。泰勒斯為了計算方便，特地以自己為標(biāo)桿，并選擇在自己的影長等于身高時測量金字塔的影長。

（2）標(biāo)桿法。如圖2所示，在地面上立一根標(biāo)桿EF，沿著直線BF后退到點D，使眼睛C、標(biāo)桿頂端E、物體頂部A在同一條直線上，量出人到標(biāo)桿的水平距離CG和人到物體的水平距離CH，結(jié)合人的身高CD和標(biāo)桿的高度EF，利用三角形CHA和CGE相似，就可以求出物體的高度AB?；蛘撸鐖D3所示，用手舉一根標(biāo)桿EF，使之與地面垂直，并恰好擋住物體（即眼睛C、標(biāo)桿頂端E、物體頂部A在同一條直線上，且眼睛C、標(biāo)桿底端F、物體底部B也在同一條直線上），量出人到標(biāo)桿的水平距離CG和人到物體的水平距離CH，結(jié)合標(biāo)桿的高度EF，利用三角形CBA和CFE相似，也可以求出物體的高度AB。

（3）三角板法。如圖4所示，手持含30°角的三角板，使得與30°角相鄰的直角邊保持水平；調(diào)整人的位置，使得眼睛從斜邊恰好看到樹頂；再量出人到樹的水平距離AD，然后利用30°角（∠FAG，即∠CAD）的正切值，即可求得人眼以上的樹高CD；加上眼高AB，即可得到樹高CE。

教師引導(dǎo)學(xué)生理清方法1、方法2的原理：將要測物體的高度放在一個三角形（可以但不必是直角三角形）中，使得其中至少有一條線段可以量出，再尋找一個與之相似的三角形，使得其中與前一個三角形中需要求出和可以量出的兩條線段對應(yīng)的線段都可以量出，由此根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)，便可求出要測物體的高度。再理清方法3的原理：將要測物體的高度放在一個直角三角形中（通常作為一條直角邊），使得其中有一個銳角和一條邊（通常是另一條直角邊）可以量出，由此利用相應(yīng)的三角函數(shù)值，便可求出要測物體的高度。

由此，學(xué)生在充分認(rèn)識了相似三角形模型和銳角三角函數(shù)模型的現(xiàn)實意義和相互關(guān)系的基礎(chǔ)上發(fā)散思維，拓展得到更多的方法：

（4）鏡子法。如圖5所示，利用激光筆進行鏡面反射，因為入射角等于反射角，得到分別以人高和樹高為一條直角邊長的兩個相似的直角三角形……

（5）刻度尺法。如圖6所示，用可以讀出刻度量出不固定長度的直尺代替方法2中的標(biāo)桿……

（6）量角器法。如圖7所示，用可以讀出刻度量出不固定角度的量角器代替方法3中含30°角的三角板……

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從理論層面分析這些方法的優(yōu)劣。學(xué)生普遍認(rèn)為三角板法和量角器法比較簡單。教師引導(dǎo)學(xué)生進一步認(rèn)識到，相似三角形主要是基于角相等（形狀相同）的定性的數(shù)學(xué)模型，而銳角三角函數(shù)則是基于角大小的定量的數(shù)學(xué)模型，同時前者是后者的基礎(chǔ)，所以后者使用更方便。

2.了解現(xiàn)代測量工具

探索測量方法及其原理后，教師帶領(lǐng)學(xué)生了解現(xiàn)代測量高度的工具，為學(xué)生進一步認(rèn)識測量方法及其原理的應(yīng)用提供支撐，并為自制測量工具（改進簡易測量方法）提供借鑒。

首先是相對簡單的測傾儀（如圖8所示），可以用來測量觀察目標(biāo)的仰角和俯角。測量前，先將支桿插入地面，并使度盤直徑PH處于水平位置，此時支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0刻度線重合。測量時，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑PH對準(zhǔn)測量目標(biāo)頂端，這時鉛垂線指向的刻度線即為仰角或俯角的度數(shù)。可見，這就是一個能更精準(zhǔn)（更容易掌控水平和垂直）地測量仰角和俯角的量角器。

其次是更為復(fù)雜的測高器（如圖9所示），可以直接測量觀察目標(biāo)的高度，使用起來比測傾儀方便。觀測筒中的目測孔與準(zhǔn)星構(gòu)成了一條觀測線；表盤上有六圈刻度，最里面一圈是仰角或俯角的度數(shù)，外面五圈分別是到測量目標(biāo)的水平距離為8 m、15 m、20 m、30 m、40 m（五條“基線”）的情況下各仰角或俯角對應(yīng)的測量高度。測量前，先用卷尺量取一條“基線”。測量時，讓觀測線對準(zhǔn)測量目標(biāo)頂端，這時不僅可以在表盤上讀出仰角或俯角的度數(shù)，還可以由“基線”直接讀出仰角或俯角對應(yīng)的測量高度；加上測量者的眼高，即可得到物體高度。顯然，這一儀器使用的測量方法就是上述量角器法，只不過設(shè)計者事先根據(jù)測量原理算出了不同水平距離下各個仰角或俯角對應(yīng)的高度，將其標(biāo)示在了表盤上。

最后是較為高級的激光（超聲波）測高（測距）儀。它用激光（超聲波）發(fā)送和接收信號測量長度和角度。設(shè)計者根據(jù)解直角三角形知識，將高度計算公式（算法）植入儀器中。使用時，只要分別瞄準(zhǔn)測量目標(biāo)的低點和高點，由內(nèi)置算法的計算器自動計算，屏幕就能顯示高度。

3.改進簡易測量方法（工具）

在初步的測量嘗試中，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步從實踐層面分析上述方法的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)每一種方法都有一些缺陷：影子法對天氣要求較高；使用鏡子法時，用激光筆定位的操作困難；使用標(biāo)桿法、三角板法時，很難保證三點一線以及豎直或水平；使用刻度尺法、量角器法時，讀取長度、角度的誤差較大。

對此，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試改進這些方法，并重點改進基于銳角三角函數(shù)知識的三角板法和量角器法。

首先，改進三角板法。為了保證三點一線，學(xué)生先想用激光筆，但發(fā)現(xiàn)在室外的遠處確定光點比較困難。怎么辦呢？學(xué)生聯(lián)系測高器觀測筒的構(gòu)造，想到可以在三角板的斜邊上制作兩個準(zhǔn)星。為了保證與30°角相鄰的直角邊水平，學(xué)生想到放置水平儀。由此，學(xué)生設(shè)計出改進的測量工具（如下頁圖10所示），并且在教師的幫助下，利用木條或金屬線制作出這一工具。此外，受到測高器等工具能直接讀出或快速顯示高度的啟發(fā)，學(xué)生進一步利用銳角三角函數(shù)知識，得到根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算所求高度的公式H=h0l0l+h（其中，測量者的眼高h隨時可以測得，改進工具的豎直高度h0和水平寬度l0在工具制作完成后即可測得，在實際測量中，只要測出測量者到待測物體的水平距離l，即可算出待測物體的高度H），并且畫出測量操作示意圖（如圖11所示）。

其次，優(yōu)化量角器法。為了減少讀數(shù)誤差，學(xué)生聯(lián)系測傾儀的構(gòu)造，想到利用大量角器（教師用的）和跳高支架制作改良版測量工具——測角儀。他們用一根鐵釘穿過大量角器的圓心，并在鐵釘上系一根細線，細線的另一端系一個小重物，然后把帶有鐵釘?shù)拇罅拷瞧鞴潭ㄔ谔咧Ъ苌希ㄈ鐖D12所示）。同樣地，學(xué)生進一步利用銳角三角函數(shù)知識，得到根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算所求高度的公式H=ltan（α-90°）+h（其中，測角儀的高度h在工具制作完成后即可測得，在實際測量中，只要測出測角儀到待測物體的水平距離l和大量角器零刻度線指向待測物體頂端時鉛垂線指向的角度α，即可算出待測物體的高度H），并且畫出測量操作示意圖（如圖13所示）。

4.獲得實地測量結(jié)果

改進測量方法（工具）后，教師帶領(lǐng)學(xué)生利用自制工具，實地測量校園中的銀杏樹和旗桿、學(xué)校附近的住宅樓的高度。通過多次測量取平均值，學(xué)生得到了測量結(jié)果，生成了數(shù)據(jù)報告。一組學(xué)生的測量結(jié)果與實際高度的誤差如表1所示。

可見，自制測量工具不僅使用較為方便，而且誤差較小。但隨著物體高度的增加，誤差也在增加。當(dāng)然，這和物體頂端不明確有一定的關(guān)系。比如，旗桿的最高處是一個小球體，最高點較難確定；住宅樓的最上方也沒有固定的瞄準(zhǔn)點。

（四）實施教學(xué)評價

本次綜合與實踐活動的評價包括學(xué)生自評和教師評價兩部分。

學(xué)生自評采取定量和定性相結(jié)合的評價方式，分細目進行。定量評價的內(nèi)容如下頁表2所示。

定性評價的內(nèi)容如下：

1.你在項目活動中運用到哪些數(shù)學(xué)知識和能力？請詳細列舉。

2.請你用文字進一步描述在這項目活動過程中，你的收獲：_____________________________；

你的困惑：_____________________________；

你的建議：_____________________________。

教師評價采用等級制，從數(shù)學(xué)交流、問題提出、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等幾方面綜合評價，各等級的主要指標(biāo)如下：

優(yōu)：參與積極性高；善于思考和提出問題，能輸出有價值的觀點；能通過多種途徑搜集資料，并研判適切性；能利用電腦制作用于展示的課件，畫出的圖形準(zhǔn)確精美；動手制作能力強，計算精準(zhǔn)，是小組活動中出色的組織者或得力干將。

良：參與積極性較高；樂于思考，能在討論中說出自己的觀點；搜集資料能力較強；能利用電腦查找資料或畫圖；動手制作能力較強，是小組活動中重要的一分子。

合格：參與積極性一般，表現(xiàn)普通；在他人要求下能說出自己的觀點；能利用電腦查找資料或畫圖；動手制作能力一般。

不合格：參與積極性不高，表現(xiàn)較為被動；在討論中很少有自己的觀點；需要同學(xué)的催促、提醒，才能勉強完成自己承擔(dān)的任務(wù)。

二、教學(xué)啟示

“生活中物體的高度測量”綜合與實踐活動，是由真實問題驅(qū)動的學(xué)習(xí)探究活動：學(xué)生在一個真實的問題情境中產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要，通過小組合作提出問題，綜合運用相似三角形和解直角三角形等知識，靈活選擇或制作測量工具，經(jīng)歷方案的設(shè)計、實施、總結(jié)，提升“做”數(shù)學(xué)、“用”數(shù)學(xué)的能力，體會問題解決的快樂。

本次綜合與實踐活動，取材自生活和教材，給學(xué)生創(chuàng)造了一個完整、真實的問題情境，使學(xué)生產(chǎn)生問題解決的需要，并綜合運用多個初中數(shù)學(xué)核心知識，融合科學(xué)中的光學(xué)知識（平行投影和鏡面反射），在生活體驗、資料查閱和實物制作中深化對數(shù)學(xué)知識的理解（比如，各種方法的一些缺陷都是測量實踐中才發(fā)現(xiàn)的），體會數(shù)學(xué)知識源于生活又服務(wù)于生活，化“外驅(qū)”為“內(nèi)需”，化“封閉”為“開放”，化“孤立”為“融合”。這樣的綜合與實踐活動顯然能有效地激發(fā)學(xué)生的探究熱情，提升他們的應(yīng)用意識，提高他們的綜合運用能力和實踐創(chuàng)新能力。

此外，本次綜合與實踐活動豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式：在真實的情境下，學(xué)生以小組為單位，以學(xué)習(xí)共同體的形式經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證，親身體驗問題提出、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)交流。這是一個主動的、生動活潑和富有個性的過程，學(xué)生通過自主探索、動手實踐、合作交流等方式進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，具體學(xué)習(xí)方式如圖14所示。其中特別值得一提的是，學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)查閱資料，下載富有參考價值的照片和實例，搜集解決問題需要的信息資料，幫助自己形成解決問題的基本策略和方法；使用有效的數(shù)學(xué)軟件繪制圖形，呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計與制作用于展示的課件。因此，電腦和互聯(lián)網(wǎng)是學(xué)生從事數(shù)學(xué)探究的輔助性工具，它進一步豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

本次綜合與實踐活動還內(nèi)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：學(xué)生進行了交流、表征、作圖、觀察、測量、分析、論證、簡化、建模、計算、反思等活動；為了分析各種方法的數(shù)學(xué)原理，查閱資料、開動腦筋；優(yōu)化設(shè)計了測量工具，應(yīng)用到實際情境中，建立模型；最終完成了實物制作和報告撰寫，進行了成果展示，從而各數(shù)學(xué)素養(yǎng)成分均得到了提升，具體如圖15所示。

當(dāng)然，本次綜合與實踐活動的設(shè)計和實施仍有遺憾和不足。比如，成果展示環(huán)節(jié)安排的時間不夠，導(dǎo)致小組之間的分享、交流不充分。另外，因為活動是以小組為單位展開的，存在個別學(xué)生懈怠的情況。如何有效組織成果展示、實施評價，鼓勵所有學(xué)生積極參與，需要繼續(xù)研究。