陳玉蓮 令狐泓 嚴艷華

[摘 ?要] 范希爾幾何理論是重要的數(shù)學學習理論，對培養(yǎng)學生幾何直觀有著重要的教學意義. 深入研究分析其理論內涵和五個教學階段，并以“正弦定理”為例設計教學，基于案例提出三點教學思考：一是厘清范希爾的五個教學階段，二是有效結合信息技術，三是以學生為主，旨在更好地指導教學.

[關鍵詞] 范希爾幾何理論;教學設計;正弦定理

[?]問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》不僅將幾何直觀作為課標十個核心關鍵概念之一，而且把“圖形與幾何”劃分到四大課程內容當中[1]，其充分體現(xiàn)了幾何圖形學習的重要性. 2018年，教育部頒布了《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，將直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一[2]. 可見，加強學生幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性不言而喻.幾何內容作為數(shù)學學習的重要內容之一，無論是在實際教學內容，還是在高考的考查中，都占據(jù)著相當大的比重. 然而，從目前教學現(xiàn)狀來看，絕大多數(shù)學生的幾何水平并不理想，這不僅暴露了學生直觀想象能力的缺乏，而且阻礙了學生邏輯推理能力的發(fā)展. 針對學生的幾何學習困境，積極探索解決方法，以發(fā)展學生幾何推理能力，刻不容緩.范希爾幾何理論自提出以來，一直是幾何教與學的關注點，是數(shù)學教育界研究的熱點話題. 因此，基于范希爾幾何理論框架，對“正弦定理”教學進行分析和設計，以期為幾何教學提供參考.

[?]范希爾幾何理論

范希爾幾何理論主要包含兩個內容：一是幾何思維的五個水平，既可用來判斷學生幾何思維現(xiàn)狀，也可指導教學活動設計;二是與五個水平對應的五個教學階段，這就為幾何教學搭建了一種模式和框架[3]. 研究基于五個教學階段，完成幾何教學設計，以起到提升學生幾何直觀能力的作用. 五個教學階段分別如下：

階段1：學前咨詢. 對于學習對象，教師與學生雙向了解，教師幫助學生如何認知指導語，并闡述和厘清要學習的課堂內容，為熟悉相應知識做鋪墊.

階段2：引導定向. 教師合理設計教學活動細節(jié)和順序，明確學生的學習方向，讓學生認識到整個活動過程的結構特征.

階段3：闡明. 經(jīng)歷了前面的探究活動過程，教師給予啟發(fā)誘導，學生增長學習經(jīng)驗，并明確詞匯的含義和意義，能夠充分表達個人對該結構的意見，逐步形成學習的關聯(lián)體系.

階段4：自由定向. 面對相對復雜的作業(yè)習題能夠用不同的方法完成任務，在積極探索解決方案和方法中，收獲活動經(jīng)驗.

階段5：整合. 學生回顧自己解決問題的過程，形成一定的思想和方法，并將相關對象和內容進行內化處理，從而進入一個全新的思維領域，得到成長.

[?]正弦定理的教學設計

階段1：學前咨詢.

設計1：設置情境，激發(fā)興趣.

如圖1所示，設A，B兩點在河的兩岸，在A的河岸同一側取一點C，已知AC=450 m，如何測出A，B兩地的距離？

學生：測出角A和角C.

教師：假如現(xiàn)在測出∠A=75°，∠C=45°，怎么求解A，B兩地的距離呢？

學生：利用初中相似三角形知識，畫出三角形A′B′C′，其中A′C′=4.5 cm，∠A′=75°，∠C′=45°，通過測量，可以得出A′B′=3.67 cm，再利用相似三角形性質可得AB=367 m.

教師：做得不錯. 通過初中相似三角形知識，能夠幫助我們解決該問題.我們初中也學過直角三角形相關知識，能否利用直角三角形知識求解呢？

學生：過A作AD⊥BC于D.此時，將△ABC分成兩個三角形，接著能夠利用直角三角形相關知識解決此類問題（過程略）.

教師：很棒！上述方法都是基于初中知識而來的，那么這類問題還可以用什么方法來解決呢？（設置懸念）

設計2：回顧初中“邊與角”關系.

教師：對于一個三角形，我們如何判斷哪個是最小角、哪個是最大角？哪個是最短邊、哪個是最長邊？能否總結其中蘊含的規(guī)律？

學生：可以利用“大邊對大角，小邊對小角”來判斷.

教師：大邊、大角，小邊、小角！這僅僅是直觀的定性描述，到底如何準確量化邊和角的關系呢？對此，這節(jié)課我們不得不重新研究三角形.

設計意圖：一方面，通過情境導入，利用實際生活問題，復習初中所學相關內容，起到“溫故知新”的作用，同時培養(yǎng)學生解決實際問題的能力.另一方面，利用問題引出正弦定理，讓學生對本節(jié)課的學習內容產(chǎn)生興趣.

階段2：引導定向.

設計3：直角三角形中“邊與角”的關系.

教師：在RT△ABC中，已知∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，∠C所對的邊為c. 我們學過正弦、余弦、正切，今天我們從正弦出發(fā)，在圖2中，我們能發(fā)現(xiàn)∠A，∠B，∠C，a，b，c之間有何數(shù)量關系嗎？

學生：可以得到sinA=和sinB=，即==c.

教師：根據(jù)式子形式，能夠發(fā)現(xiàn)什么問題？c與sinC和上式能否建立等式關系？

學生：等式左右兩邊具有一定的對稱關系.由上式可知==，而sinC=sin90°=1，因此==.

教師：非常棒！

教師：通過上述分析，我們發(fā)現(xiàn)三角形中居然蘊含著這種邊角關系.既然我們已經(jīng)找出了這個正弦定理，那么這節(jié)課就上到這里了，下課！

學生：（學生感到困惑——為何早早下課，并發(fā)現(xiàn)了問題）不對！我們僅僅針對直角三角形發(fā)現(xiàn)了該關系式.

教師：其他三角形是否具備這樣的關系式？

此時學生處于疑惑當中，教師利用幾何畫板，通過拖動A點，改變三角形形狀，使邊與角不斷變化，如圖3所示. 學生通過觀察，能夠發(fā)現(xiàn)各邊與其對角的正弦值之比是相等的，即說明上式在直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中都成立.

設計意圖：通過引導使學生猜想得出等式==，以直角三角形為研究對象，實現(xiàn)特例分析，經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程. 同時，通過幾何畫板動態(tài)演示，讓抽象的內容可視化，學生由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低學生對抽象問題的理解難度.

階段3：闡明.

設計4：探究銳角三角形、鈍角三角形.

通過設計3的內容展現(xiàn)，學生能夠得出==對所有三角形都是成立的，但為了加深學生的認知，讓學生認識到數(shù)學的嚴謹性，接下來，基于銳角三角形和鈍角三角形對上述式子進行論證.

教師：前面我們是通過直角三角形得到的==，那么在銳角三角形中怎么去證明它是成立的呢？

學生：繼續(xù)利用直角三角形！

教師：具體怎么做？

學生：通過圖4所示，我們發(fā)現(xiàn)sinC=，sinB=，即AD=bsinC=csinB，即=.

教師：那么怎么找？

學生：同樣地，如圖5所示，過點B作BE⊥AC于E，能夠得到sinC=，sinA=，BE=asinC=csinA，即=，因此==.

教師：非常好. 接下來，大家試著在鈍角三角形中進行證明.

學生：如圖6所示. 延長CB，過A點作AD⊥CD，垂足為D，可得AD=bsinC=csin∠ABD=csin（180°-∠ABC）=csin∠ABC，即=. 同理可得=. 故==.

即可得出正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.

設計意圖：通過對銳角三角形和鈍角三角形中正弦定理的證明，體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.在證明過程中，教師適當啟發(fā)誘導，讓學生經(jīng)歷正弦定理的證明過程，養(yǎng)成獨立思考的習慣，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力.

階段4：自由定向.

設計5：正弦定理的應用探索.

問題1：解三角形.一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.

題1：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A∶B∶C=1∶2∶3，則a∶b∶c等于（ ?）

A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4

C. 3∶4∶5D. 1∶∶2

題2：在△ABC中，A=60°，a=，b=，則B等于（ ?）

A. 45°或135°B. 60°

C. 45° D. 135°

題3：在△ABC中，b=1，c=，C=，則a=________.

問題2：正弦定理的使用條件.

教師：通過上面的例題，發(fā)現(xiàn)正弦定理能夠幫助我們解決哪種類型的三角形問題？

學生：已知三角形任意兩角及一邊，可解出其余邊和角.

教師：還有嗎？

學生：已知三角形任意兩邊和其中一邊的對角，可解出其余邊和角.

教師：回答得很好. 通過習題訓練，大家都明確了正弦定理的相關應用.那么已知兩邊和夾角，怎么解三角形？

（學生陷入沉思）

教師：這個問題現(xiàn)在我們還無法解決，需要下節(jié)課學習余弦定理后來解決該問題.

設計意圖：問題1的提出，學生能夠在實際解題中體驗正弦定理的應用，并鞏固所學知識. 問題2基于問題1的習題訓練，讓學生通過學習活動，提出并歸納正弦定理的使用條件. 同時，設置懸念問題，為下節(jié)課學習做好鋪墊，激發(fā)學生對下節(jié)課學習的興趣.

階段5：整合.

設計6：以問答形式總結反思.

通過問答形式讓學生歸納和總結本節(jié)課的內容，回顧正弦定理的證明過程.總結其中涉及的知識點、思想和方法，并強調正弦定理的使用條件.

提出課后思考問題：（1）還有沒有其他方法可以證明正弦定理？（2）已知兩邊和夾角，怎么解三角形？

設計意圖：通過學生自己歸納和總結，以鞏固和復習這節(jié)課內容，收獲思想和方法，并提升學生學習的積極性.利用課后思考問題，增強學生課后探索求知的興趣.

[?]教學反思

基于范希爾幾何理論設計正弦定理這節(jié)課，能夠更好地引導教學方向，促進高質量教學課堂的構建，提升學生幾何直觀能力，以下是幾點教學思考.

1. 厘清五個教學階段，使教學內容更具系統(tǒng)性、層次感

結合范希爾幾何理論的五個教學階段，教師能夠充分把握教學進度，合理設計教學，如情境創(chuàng)設、“問題串”設計、自主探究活動等環(huán)節(jié)，這樣既能夠讓教師在課堂教學中做到游刃有余，也能關注到學生的發(fā)展和探究能力的培養(yǎng)，促進教學質量的提升，真正做到在教學中教思考、教體驗、教表達. 重視情境問題的創(chuàng)設，情境要貼合學生認知發(fā)展水平.設計“問題串”，能夠激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣和求知欲. 在解決問題過程中，培養(yǎng)學生的獨立思考能力，增強學生問題提出和解決的能力. 在新課程背景下，要求增加學生自主探究環(huán)節(jié)，旨在強調學生基于情境，獨立解決問題，積累豐富的學習活動經(jīng)驗，在探究中習得關鍵的數(shù)學思想和方法. 基于范希爾幾何理論設計教學內容，更具系統(tǒng)性、層次感. 一方面，教學知識規(guī)劃更系統(tǒng)，對應范希爾幾何理論的五個教學階段來設計教學內容，使得教學時間分配和教學環(huán)節(jié)設計上更為合理. 另一方面，教學過程更具層次感. 知識學習應遵循循序漸進的原則，能夠做到由淺到深、由簡到繁，更好地滿足學生的認知發(fā)展.

2. 有效結合信息技術，讓教學更加生動直觀

在正弦定理教學中，在探究各邊與其對角正弦的比值中，適當借助幾何畫板，將常見的三種三角形的邊與對角正弦值之比表示出來，學生通過觀察圖形變化，能夠發(fā)現(xiàn)其比值始終是相等的，從而得出正弦定理，這樣做不僅將復雜、抽象的內容具體化，而且能夠加深學生對正弦定理的理解，幫助學生構建完整的、嚴謹?shù)闹R體系，在今后的正弦定理使用中，能夠做到厘清知識誤區(qū)，準確應用于實際解題中.

3. 以學生為主體，促進“三教”的生成

無論是情境問題的創(chuàng)設，還是教學中正弦定理證明的探索過程，都強調學生為主體的教學觀，具體應從以下三點出發(fā)：一是要教會學生“思考”. 教學要做到“不憤不啟，不悱不發(fā)”，目的是在嚴格要求學生的同時，適時啟發(fā)誘導學生思考，給予學生足夠的思考時間，讓學生經(jīng)歷思考的過程，培養(yǎng)學生獨立思考的能力. 二是要教會學生“體驗”. 著名教育家杜威提倡“做中學”，目的就是要求學生在課堂中，通過經(jīng)歷實踐活動，在探究問題的過程中，能夠積累豐富的知識及活動經(jīng)驗，這樣有助于構建較為系統(tǒng)的、完整的知識體系，對于學生后期學習是十分有益的.三是教會學生表達. 培養(yǎng)學生的表達能力并非一蹴而就，因此要落實到教學的各個環(huán)節(jié)中. 教學是師生、生生互動的過程，在教學問答中，要關注學生表達的方式和語言的準確性，適時糾正學生表達的誤區(qū). 在探究環(huán)節(jié)中，要倡導學生間的合作交流，積極營造良好的活動氛圍，讓每個學生都能參與其中，積極表述各自對問題的看法.

參考文獻：

[1] ?中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3] ?鮑建生，周超. 數(shù)學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.