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以問題驅(qū)動(dòng)探究 促學(xué)生自主建構(gòu)

2022-05-30 08:24:49楊書剛
關(guān)鍵詞:課堂探究自主建構(gòu)問題驅(qū)動(dòng)

楊書剛

[摘 ?要] “問題”“自主”“高效”等詞語,是新課改實(shí)施后的流行詞,以問題驅(qū)動(dòng)探究,促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)的教學(xué)模式,是如今數(shù)學(xué)教學(xué)改革的主要取向. 文章以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用(單調(diào)性)”教學(xué)為例,具體從“情境創(chuàng)設(shè),提出問題”“問題驅(qū)動(dòng),合作探究”“驗(yàn)證猜想,建構(gòu)新知”“拓展延伸,深化理解”“實(shí)際應(yīng)用,鞏固提升”“及時(shí)反思,總結(jié)提煉”等方面,談?wù)劷虒W(xué)實(shí)施過程與思考.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動(dòng);自主建構(gòu);課堂探究

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)中,感知知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程,讓學(xué)生自主建構(gòu)完整的認(rèn)知體系,以促進(jìn)各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展[1]. 實(shí)踐證明,“問題引領(lǐng),自主建構(gòu)”的教學(xué)模式,能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究意識(shí),讓學(xué)生在深度思維中突破自主建構(gòu)的瓶頸階段,成為數(shù)學(xué)信息的加工主體和知識(shí)的建構(gòu)者.

然而調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐中,教師設(shè)計(jì)的問題有的過于簡(jiǎn)單、膚淺,缺乏探究價(jià)值,課堂表面上欣欣向榮,而學(xué)生的思維卻得不到有效訓(xùn)練;有的過于深?yuàn)W,超越了大部分學(xué)生的認(rèn)知水平,學(xué)生無從下手,只能以“注入”的方式實(shí)施知識(shí)教學(xué),導(dǎo)致主動(dòng)建構(gòu)過程缺失. 這兩種情況都無法讓學(xué)生建構(gòu)完整、穩(wěn)固的認(rèn)知體系.

究竟該如何設(shè)計(jì)具有實(shí)際教學(xué)意義的問題,引發(fā)學(xué)生的自主探究,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主建構(gòu)呢?本文以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用(單調(diào)性)”教學(xué)為例,談幾點(diǎn)思考.

[?]教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 情境創(chuàng)設(shè),提出問題

新課標(biāo)高度重視教學(xué)中問題情境的創(chuàng)設(shè),但教材中所呈現(xiàn)的情境常具有較大的跳躍性,對(duì)學(xué)生而言稍顯粗糙. 為了驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)新知的探究興趣,教師應(yīng)在教材編者的思路與知識(shí)邏輯的基礎(chǔ)上,結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知需求,進(jìn)行問題情境的整理與重構(gòu),以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,啟發(fā)思維,為探究奠定基礎(chǔ).

問題1 某地區(qū)的氣溫變化數(shù)據(jù)顯示凌晨2時(shí)到5時(shí)的溫度f(x)和時(shí)間x接近函數(shù)f(x)=,請(qǐng)分析一下這段時(shí)間的氣溫f(x)隨著時(shí)間x的變化,出現(xiàn)了怎樣的趨勢(shì).

生1:或許可以將該問題轉(zhuǎn)化為研究f(x)=(x∈[2,5])單調(diào)性的問題?

師:大家還記得如何判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性嗎?

生2:可以用定義法或描點(diǎn)法來判斷.

師:這個(gè)問題是否能用這兩種方法解決呢?

生3:貌似不行,用描點(diǎn)法畫圖時(shí),存在的誤差比較大,而用定義法運(yùn)算,對(duì)f(x)-f(x)的符號(hào)又難以確定.

問題2 也就是說我們現(xiàn)在遇到了一個(gè)無法用單調(diào)性定義的“老方法”解決的新問題,此時(shí)該怎么辦呢?

生4:或許可以尋找一種新的突破方法.

設(shè)計(jì)意圖 與學(xué)生生活相關(guān)的問題情境,讓學(xué)生感知“數(shù)學(xué)源自生活,數(shù)學(xué)知識(shí)又為生活服務(wù)”的理念. 隨著問題的探索,學(xué)生發(fā)現(xiàn)用原有的認(rèn)知無法解決新的問題. 隨著認(rèn)知沖突的產(chǎn)生,順利地激發(fā)了學(xué)生深入探究的興趣.

2. 問題驅(qū)動(dòng),合作探究

知識(shí)意義的建構(gòu)與問題的形成與探究是同步推進(jìn)、相伴相隨的關(guān)系. 隨著核心問題的提出,接下來就是對(duì)問題的探究. 俗話說:“單絲不成線,孤木不成林.”一個(gè)人的智慧是有限的,而團(tuán)體的智慧卻是無窮的. 因此,面對(duì)一個(gè)學(xué)生認(rèn)知之外的問題,最好的方式就是合作探究,發(fā)揮團(tuán)體的力量,展開對(duì)知識(shí)的探索.

問題3 接下來我們?cè)俅位氐胶瘮?shù)單調(diào)性的定義,以小組合作交流的方式,看看是否有新的收獲.

(小組合作交流)

組1:觀察增函數(shù)的定義,其中有“若x,x為區(qū)間A上的任意兩個(gè)值,當(dāng)x

師:這是一個(gè)不錯(cuò)的發(fā)現(xiàn). 它們同號(hào),能表達(dá)什么?你們有什么想法?

組2:從這個(gè)規(guī)律來看,這兩個(gè)式子的積或商必定為正,也就是>0,由此可確定在區(qū)間A上,連接任意兩點(diǎn)的割線的斜率為正,由此可確定其為增函數(shù).

組3:組2是從圖形上得到為割線斜率的結(jié)論,我們組是從“數(shù)”的角度進(jìn)行分析的,得到了平均變化率,也就是在區(qū)間A上,任意兩點(diǎn)的平均變化率為正,可得增函數(shù)這個(gè)結(jié)論.

師:還有其他方法能尋找到割線斜率為正的結(jié)論嗎?

組4:是否可以用瞬時(shí)變化率?(不確定)

組5:曲線的平均變化趨勢(shì)可以用割線的斜率來反映,若其中的一點(diǎn)與另一點(diǎn)無限逼近時(shí),割線則為該點(diǎn)處的切線,而切線的斜率能反映出曲線的瞬時(shí)變化情況,貌似可從這個(gè)角度來分析.

師:從“逼近”的思路來分析非常好!如果函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)可導(dǎo),那么說明函數(shù)f(x)在該點(diǎn)附近的圖像與一次函數(shù)的圖像近似,也就是曲線在某一點(diǎn)附近的圖像可視為一條切線,這就是典型的“以直代曲”. 如果該點(diǎn)處的切線斜率是正的或負(fù)的,可從圖像變化趨勢(shì)上發(fā)現(xiàn)什么嗎?

組6:可看到函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處是上升還是下降的變化趨勢(shì).

師:若函數(shù)f(x)在區(qū)間A內(nèi)的任何點(diǎn)都具備相同的變化趨勢(shì),則函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的整體變化趨勢(shì)與單調(diào)性是怎樣的?

如圖1—4所示,在學(xué)生思考的同時(shí),教師借助幾何畫板,結(jié)合學(xué)生舉例進(jìn)行展示,要求學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn).

組7:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間A內(nèi)的任意點(diǎn)處都呈一種趨勢(shì)(上升或下降),那么說明函數(shù)f(x)的圖像也呈一種趨勢(shì)(上升或下降),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減. 因此,區(qū)間A內(nèi)函數(shù)切線的斜率對(duì)判斷函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)有直接影響,即對(duì)判斷函數(shù)的單調(diào)性有直接影響. 也就是說切線斜率大于0,說明函數(shù)單調(diào)遞增;切線斜率小于0,說明函數(shù)單調(diào)遞減.

師:這是一個(gè)看似很有道理的猜想,現(xiàn)在我們一起驗(yàn)證一下這個(gè)猜想. 請(qǐng)各位同學(xué)填寫表1,并舉例驗(yàn)證.

學(xué)生經(jīng)過自主驗(yàn)證與合作釋疑后,各組展示相關(guān)結(jié)論. 教師從中選擇有代表性的結(jié)論進(jìn)行展示、交流.

問題4 通過以上探究,我們得到了怎樣的結(jié)論?

生5:通過探究,我們猜想如下:函數(shù)f(x),若在某區(qū)間上f′(x)>0,則f(x)是該區(qū)間上的增函數(shù);若在某區(qū)間上f′(x)<0,則f(x)是該區(qū)間上的減函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:通過結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系來看,探究過程并不簡(jiǎn)單,以學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)為起點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)聯(lián)系到一起,從不同角度去分析,讓學(xué)生在自主探究、合作交流中,從“數(shù)”的角度轉(zhuǎn)化函數(shù)的單調(diào)性定義,探尋出>0成立的條件;再從“形”的視角,動(dòng)態(tài)演示函數(shù)切線的變化情況,鼓勵(lì)學(xué)生在觀察、比較中分析導(dǎo)數(shù)正負(fù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

史寧中教授認(rèn)為,數(shù)學(xué)結(jié)論的探尋常常是“看”出來的[2]. 此教學(xué)過程中獲得的所有結(jié)論,都是學(xué)生經(jīng)過自主分析、探索而非教師“灌輸”而來的,這種模式與史教授提出的“數(shù)形結(jié)合思想”相契合. 學(xué)生在探究過程中,親歷問題的發(fā)生過程,“看”到結(jié)論的形成與發(fā)展情況,有效提升了數(shù)學(xué)抽象能力,培養(yǎng)了轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合思想,為核心素的形成奠定了基礎(chǔ).

3. 驗(yàn)證猜想,建構(gòu)新知

探究活動(dòng)的開展,學(xué)生獲得了一定的猜想,而這些猜想是否合理呢?這就需要用一定的手段進(jìn)行驗(yàn)證. 猜想的證明過程能啟發(fā)學(xué)生的思維,讓學(xué)生在新的感悟中建構(gòu)新知.

問題5 如圖5所示,觀察函數(shù)f(x)在區(qū)間A內(nèi)的圖像,若x,x(x,x∈A)為兩個(gè)確定的值,P(x,y),Q(x,y)為兩個(gè)定點(diǎn),割線PQ的斜率是否為>0?

生6:?jiǎn)螐膱D像來看,這個(gè)說法是成立的.

師:有沒有辦法來確定?

生7:如圖6所示,平移割線PQ,使它與曲線在點(diǎn)S處相切,可得k==f′(x),由于區(qū)間A內(nèi)f′(x)>0,x∈A,因此可得f′(x)>0.

問題6 若P,Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的任意兩點(diǎn),還能確保f′(x)>0成立嗎?

生8:若P,Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的任意兩點(diǎn),因?yàn)閰^(qū)間A內(nèi)f′(x)>0,可確定f′(x)=>0恒成立. 雖然點(diǎn)S會(huì)隨著點(diǎn)P,Q的變化而改變,無法確定點(diǎn)S的具體位置,但它一直存在.

師:太精辟了!的確,雖然不知道點(diǎn)S的位置具體在哪里,但它確實(shí)存在. 現(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)以上驗(yàn)證情況,說說你們的結(jié)論.

生9:對(duì)于函數(shù)f(x),在某個(gè)區(qū)間上若f′(x)大于零,則f(x)是這個(gè)區(qū)間上的增函數(shù);在某個(gè)區(qū)間上若f′(x)小于零,則f(x)是這個(gè)區(qū)間上的減函數(shù);若f′(x)恰巧為零,則f(x)是這個(gè)區(qū)間上的常數(shù)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:證明猜想的結(jié)論有一定難度,有些教師怕麻煩,就讓學(xué)生直接記住結(jié)論,而后引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用結(jié)論. 如此,或許課堂氛圍也和諧,學(xué)生的正確率也不錯(cuò),但學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解會(huì)永遠(yuǎn)停留在表淺階段,對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一知半解,這為后期解決綜合性問題埋下了隱患.

缺乏驗(yàn)證的結(jié)論,用起來就像無源之水. 而循循善誘、由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想,不僅能突破教學(xué)難點(diǎn),也能啟發(fā)思維,挖掘出該結(jié)論真正意義上的教學(xué)價(jià)值,為后期微積分的學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ).

4. 拓展延伸,深化理解

問題7 同學(xué)們總結(jié)得很到位,那么該結(jié)論的逆命題是否成立呢?即若f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),則在此區(qū)間上f′(x)>0是否成立?

生10:不成立,借助幾何畫板能夠發(fā)現(xiàn)f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù),但是f′(0)=0.

師:也就是說,若f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),則在此區(qū)間上f′(x)≥0. 反之,若在某個(gè)區(qū)間上,已知f′(x)≥0,則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù). 這種說法合理嗎?

生11:這種說法不合理,f′(x)≥0存在f′(x)>0和f′(x)=0兩種情況,而f′(x)=0說明f(x)為常數(shù)函數(shù),并不具備單調(diào)性特征.

問題8 我們應(yīng)該怎么表述,才能讓命題成立?

生12:在某個(gè)區(qū)間上,如果f′(x)≥0,同時(shí)此區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間上的f′(x)≠0,那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù). 其中有一個(gè)特殊情況,即若干個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是可以為零的.

設(shè)計(jì)意圖:引領(lǐng)學(xué)生在親自觀察、交流與體驗(yàn)中參與問題的設(shè)計(jì),在對(duì)逆命題的研究中,促進(jìn)學(xué)生逆向思維的發(fā)展,從而使其有效地深入理解問題的本質(zhì),提升思辨能力.

5. 實(shí)際應(yīng)用,鞏固提升

練習(xí)1:函數(shù)f(x)=2x3-5x2+7位于哪些區(qū)間上是增函數(shù)?

練習(xí)2:怎么確定函數(shù)f(x)=sinx(x∈(0,3π))的單調(diào)遞減區(qū)間?

練習(xí)3:思考函數(shù)f(x)=(x∈[2,5])具備怎樣的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖:課堂練習(xí)是深化學(xué)生對(duì)知識(shí)理解與應(yīng)用的過程,讓學(xué)生在練習(xí)中通過模仿、辨識(shí)建構(gòu)認(rèn)知. 練習(xí)逐層深入,由淺入深,使學(xué)生深切體會(huì)在問題驅(qū)動(dòng)下,探究的實(shí)際價(jià)值.

6. 及時(shí)反思,總結(jié)提煉

師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),大家有什么收獲?

生13:本節(jié)課中,我們應(yīng)用了以直代曲、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,這幾個(gè)數(shù)學(xué)思想方法能簡(jiǎn)化問題,為后繼的解題服務(wù).

[?]教學(xué)思考

1. 將教學(xué)目標(biāo)作為問題的出發(fā)點(diǎn)

教學(xué)活動(dòng)都是圍繞教學(xué)目標(biāo)而開展的,教學(xué)目標(biāo)是一節(jié)課的方向目標(biāo),它決定著本節(jié)課教師該教些什么,學(xué)生要學(xué)些什么,對(duì)知識(shí)的理解應(yīng)達(dá)到怎樣的程度,獲得怎樣的能力,等等. 只有深刻理解教學(xué)目標(biāo),才能精準(zhǔn)設(shè)計(jì)問題,讓學(xué)生明確探究方向.

本節(jié)課揭示的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的概念比較抽象,而且是教學(xué)重點(diǎn)之一. 因此,教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧原有的知識(shí),然后結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,引導(dǎo)學(xué)生開展深入、有效的探究活動(dòng),為知識(shí)的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).

2. 將最近發(fā)展區(qū)作為問題的著力點(diǎn)

最近發(fā)展區(qū)是維果斯基的經(jīng)典理論之一,對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義. 以學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)作為問題的著力點(diǎn),既讓學(xué)生感知問題的挑戰(zhàn)性,又能有效激發(fā)學(xué)生思考. 學(xué)生在自主探究中,抽絲剝繭,獲得探究的成就感,從而形成良性循環(huán).

比如本節(jié)課中證明猜想的結(jié)論時(shí),教師先降低難度,以推動(dòng)所有學(xué)生參與探究,讓學(xué)生以“P,Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的定點(diǎn)”為探究起點(diǎn),隨著探究的深入,思維拾級(jí)而上,新的結(jié)論隨著P,Q在曲線上的變化而誕生.

3. 將數(shù)學(xué)思想方法作為問題的落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)與技能的教學(xué),更是數(shù)學(xué)思想方法的滲透過程[3]. 數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中概括、提煉出來的精華,對(duì)學(xué)習(xí)具有重要的幫助. 鑒于此,教師設(shè)計(jì)問題時(shí),應(yīng)想方設(shè)法挖掘知識(shí)背后蘊(yùn)含的思想方法,并將它們巧妙地融合到學(xué)生的探究活動(dòng)中,引導(dǎo)學(xué)生自主體驗(yàn)、感悟.

總之,以問題驅(qū)動(dòng)探究,促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)的教學(xué)模式,能有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式的缺陷,為課堂帶來新的生命力. 但這種教學(xué)模式有它自身的特點(diǎn)與應(yīng)用范圍,并非時(shí)時(shí)處處可用,不能將這種教學(xué)模式代替所有的教學(xué)模式. 教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的實(shí)際情況,選擇搭配教學(xué)模式,從真正意義上優(yōu)化課堂教學(xué),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn):

[1] ?龐維國.論學(xué)生的自主學(xué)習(xí)[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版),2001(02):78-83.

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[3] ?戴銅. 促進(jìn)自主學(xué)習(xí),體驗(yàn)成長快樂——基于學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的學(xué)校文化生態(tài)建設(shè)[J]. 江蘇教育,2010(32):51-52.

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