農(nóng)桂香 王守峰

[摘 ?要] 函數(shù)作為貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材中占有較大的比重. 基于此，文章以“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一小節(jié)為例，探究新教材與舊教材在知識(shí)結(jié)構(gòu)等各方面的異同，并為新教材的使用提出幾點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);新教材;函數(shù);比較研究

2019年5月，基于《普通高中課程方案和數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫的高中數(shù)學(xué)新教材正式發(fā)布，并在2019年秋季學(xué)期開始在全國(guó)范圍內(nèi)正式使用.本次修訂的高中數(shù)學(xué)新教材與舊教材相比在內(nèi)容分布、知識(shí)呈現(xiàn)方式、例習(xí)題等方面有較大的變化.新教材的使用對(duì)數(shù)學(xué)教師而言不僅是一次嘗試更是一個(gè)挑戰(zhàn)，為了便于數(shù)學(xué)教師更好地開展教學(xué)，對(duì)新教材與舊教材進(jìn)行研究、分析、比較就顯得尤為重要.本文選取2019年人教版（A版）高中數(shù)學(xué)教材（簡(jiǎn)稱新教材）[1]和2004年人教版（A版）高中數(shù)學(xué)教材（簡(jiǎn)稱舊教材）[2]的“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一小節(jié)作為研究對(duì)象，主要從內(nèi)容分布、知識(shí)呈現(xiàn)方式、例習(xí)題變化這幾方面展開. 通過對(duì)新舊人教版高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的基本性質(zhì)”內(nèi)容進(jìn)行回顧和梳理，對(duì)其變化的特點(diǎn)及經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)和歸納，期望對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教和學(xué)生的學(xué)有借鑒意義.

[?]內(nèi)容分布比較

人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材的“函數(shù)的基本性質(zhì)”內(nèi)容的分布如表1所示.

從表1可以看出，新舊版本教材在“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容上保持一致，知識(shí)點(diǎn)并無增加或刪改，變化在章節(jié)的編排上.舊教材的“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一部分內(nèi)容分布在第一章，而新教材的“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一部分內(nèi)容分布在第三章.

[?]知識(shí)呈現(xiàn)方式比較

1. 節(jié)首內(nèi)容的比較

首先，新教材對(duì)“性質(zhì)”的含義做了進(jìn)一步解釋，提出“變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)”. 其次，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探究時(shí)，新舊教材的表述方式也有所不同.舊教材的表述是“函數(shù)在什么時(shí)候遞增或遞減”，而新教材的表述是“隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小”. 相比之下，新教材的表述更為準(zhǔn)確，因?yàn)閷W(xué)生在初中階段已經(jīng)利用函數(shù)圖像研究過函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的性質(zhì)，而沒有學(xué)過遞增或遞減的概念.新教材的表述與學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)更為貼切.

2. 新舊教材內(nèi)容變動(dòng)分析

新舊教材在研究函數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)，都采用了圖像語言—文字語言—符號(hào)語言的方式，但是兩個(gè)版本教材的探究方式有所不同.

舊教材通過研究一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的單調(diào)性進(jìn)而引出函數(shù)單調(diào)性的概念. 首先，舊教材先給出一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的圖像，讓學(xué)生觀察一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的上升和下降情況;其次，以二次函數(shù)f（x）=x2為例，列出x和f（x）=x2的對(duì)應(yīng)值表，當(dāng)學(xué)生對(duì)圖像和對(duì)應(yīng)值表進(jìn)行觀察后，再給出函數(shù)單調(diào)性的一般定義.在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)，舊教材同時(shí)給出了相應(yīng)圖像和部分函數(shù)值，讓學(xué)生進(jìn)行觀察.

新教材研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，主要借助二次函數(shù)f（x）=x2的圖像進(jìn)行分析.與舊教材不同的是，新教材并沒有列出x和f（x）=x2的對(duì)應(yīng)值表，而是通過對(duì)f（x）=x2圖像的觀察，用文字語言和符號(hào)語言去描述. 在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)，新教材先給出了相關(guān)函數(shù)的圖像，接著設(shè)置探究環(huán)節(jié)，再取自變量的一些特殊值，觀察函數(shù)值的情況.

此外，新舊教材對(duì)于函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)的表述也不相同，以“函數(shù)的單調(diào)性”為例，相互對(duì)比如表2所示.

通過對(duì)比可知，新教材對(duì)于函數(shù)單調(diào)性概念的描述更加符號(hào)化，這是因?yàn)樾陆滩脑诘谝徽轮邪才帕恕凹吓c常用邏輯用語”這一內(nèi)容.

3. “思考”“探究”欄目的對(duì)比

舊教材主要包括“思考”“探究”“觀察”欄目;新教材刪去了“觀察”這一欄目，主要包括“思考”“探究”欄目.新舊教材“思考”“探究”欄目數(shù)量分布情況如表3所示.

由表3可知，新舊教材欄目的變化主要體現(xiàn)在“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”這兩部分內(nèi)容上.

舊教材在“函數(shù)的單調(diào)性”這一部分內(nèi)容中設(shè)置了一個(gè)思考題和一個(gè)探究題.設(shè)置思考題的目的是引導(dǎo)學(xué)生利用解析式f（x）=x2去描述隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）的變化情況，從而引出函數(shù)單調(diào)性的概念;設(shè)置探究題有助于加強(qiáng)學(xué)生用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用能力.

在探究“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，舊教材給出了兩個(gè)觀察題和一個(gè)探究題. 設(shè)置兩個(gè)觀察題的目的是為了讓學(xué)生通過對(duì)函數(shù)圖像以及函數(shù)值對(duì)應(yīng)表的觀察，去描述函數(shù)圖像的特征，從而引導(dǎo)學(xué)生理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念. 在得到奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念后，讓學(xué)生繼續(xù)思考——“思考”欄目中的兩個(gè)小問對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念有促進(jìn)作用.

新教材對(duì)“函數(shù)的單調(diào)性”進(jìn)行探究時(shí)給出了兩個(gè)思考題.對(duì)函數(shù)f（x）=x2的單調(diào)性進(jìn)行探究后，給出了“思考一”，設(shè)置“思考一”是為了讓學(xué)生類比函數(shù)f（x）=x2的單調(diào)性表述方式，對(duì)函數(shù)f（x）=x和f（x）=-x2的單調(diào)性進(jìn)行表述，從而引出函數(shù)單調(diào)性的概念. 給出函數(shù)單調(diào)性的概念后，設(shè)置了“思考二”，“思考二”中的第一小問引入錯(cuò)例，讓學(xué)生舉出反例，幫助學(xué)生從另一個(gè)角度形成對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到函數(shù)單調(diào)性概念中哪些因素是重要的，起著關(guān)鍵作用. “思考二”中的第二小問讓學(xué)生舉出例子，目的是讓學(xué)生清楚在定義域上的單調(diào)與在區(qū)間上的單調(diào)的區(qū)別.

在探究“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，新教材設(shè)置了兩個(gè)探究題和一個(gè)思考題. 兩個(gè)探究題的設(shè)置旨在讓學(xué)生類比函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語言表述方式去描述相關(guān)函數(shù)圖像的有關(guān)特征. 在“思考”欄目中，新教材比舊教材多設(shè)置了一個(gè)小問，第三小問讓學(xué)生思考“如果知道y=f（x）為偶（奇）函數(shù)，怎樣簡(jiǎn)化對(duì)它的研究”，引導(dǎo)學(xué)生利用偶（奇）函數(shù)的圖像及性質(zhì)去解決問題，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，對(duì)學(xué)生的思維起著很好的鍛煉作用.

[?]新舊教材例習(xí)題的對(duì)比

1. 例習(xí)題數(shù)量對(duì)比

新舊教材例習(xí)題數(shù)量對(duì)比如表4所示.

新舊教材例習(xí)題數(shù)量相差不大，新舊教材在“函數(shù)的最大（?。┲怠焙汀昂瘮?shù)的奇偶性”中設(shè)置的例題數(shù)量持平，在“函數(shù)的單調(diào)性”中新教材比舊教材多設(shè)置了一個(gè)例題.

2. 例習(xí)題內(nèi)容對(duì)比

例題內(nèi)容的變化主要體現(xiàn)在“函數(shù)的單調(diào)性”這部分內(nèi)容上. 舊教材的例1讓學(xué)生通過圖像觀察對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行描述，以及對(duì)函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)進(jìn)行判斷. 新教材的例1讓學(xué)生根據(jù)定義，對(duì)函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性進(jìn)行研究. 新舊教材的例2內(nèi)容相同，新教材多設(shè)置了例3，讓學(xué)生根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

通過對(duì)新舊教材的習(xí)題比較可知，新教材將習(xí)題分為三個(gè)部分——復(fù)習(xí)鞏固部分、綜合運(yùn)用部分以及拓廣探索部分，分層次設(shè)置相關(guān)題目. 新教材對(duì)舊教材的大部分習(xí)題有所保留，對(duì)部分習(xí)題進(jìn)行了刪減，同時(shí)增加了一些新題目.教材刪去了舊教材習(xí)題A組中的第1、6、8題以及習(xí)題B組中的第1、3題，新增了“復(fù)習(xí)鞏固”的第4題，“綜合運(yùn)用”的第7、8、9題以及“拓廣探索”的第13題.

3. 例習(xí)題難度水平對(duì)比

由前面的分析可知，新教材對(duì)舊教材的大部分例習(xí)題都有所保留，故進(jìn)行例習(xí)題難度水平對(duì)比時(shí)，將舊教材刪掉的那部分例習(xí)題（如例1，A組中的第1、6、8題，習(xí)題B組中的第1、3題）與新教材新增的那部分例習(xí)題（如例1、例3，“復(fù)習(xí)鞏固”的第4題，“綜合運(yùn)用”的第7、8、9題以及“拓廣探索”的第13題）作為比較對(duì)象. 采用鮑建生教授提出的綜合難度模型，測(cè)定所選擇樣本的難度水平[3]. 綜合難度模型的難度因素、水平以及賦值情況如表5所示.

根據(jù)鮑建生教授提出的綜合難度模型對(duì)所選樣本的難度水平進(jìn)行評(píng)定，由評(píng)定結(jié)果畫出如圖1所示的雷達(dá)圖：

通過對(duì)雷達(dá)圖的觀察可知，新教材在“函數(shù)的基本性質(zhì)”這一節(jié)中的例習(xí)題的綜合難度整體大于舊教材. 具體來看，新教材中例習(xí)題的探究水平、推理水平、知識(shí)水平以及運(yùn)算水平都是大于舊教材的，而新教材在例習(xí)題的背景水平上要明顯低于舊教材.

[?]總結(jié)與建議

通過對(duì)新舊教材中“函數(shù)的基本性質(zhì)”內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析可知，新教材與舊教材相比有如下特點(diǎn)：①在概念的探究上更加注重概念形成過程;②在知識(shí)的呈現(xiàn)上滲透著多種數(shù)學(xué)思想;③在知識(shí)的應(yīng)用上更加注重概念的直接運(yùn)用.為了在教學(xué)中更好適應(yīng)新教材的這些變化特點(diǎn)，本文提出如下教學(xué)建議.

首先，教師要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解.新教材與舊教材相比，對(duì)概念的生成以及理解更為注重.教師實(shí)施教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷諸如類比探究、抽象概括等一系列思維活動(dòng)，經(jīng)歷從個(gè)別到一般、從具體到抽象的探究活動(dòng)，幫助學(xué)生搭建起已有概念和新概念之間的橋梁，從而把握新概念的本質(zhì). 此外，教師引導(dǎo)學(xué)生得出新概念后，還應(yīng)對(duì)概念中的關(guān)鍵因素進(jìn)行解釋. 教師在教學(xué)過程中可以通過舉反例的方式，讓學(xué)生對(duì)概念的理解更為深入.

其次，教師要在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)思想作為一種普遍適用的方法，它以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體內(nèi)容. 諸如轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等都是常用的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中無形地滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)所學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也有很大的促進(jìn)作用.

最后，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維鍛煉，提升學(xué)生的綜合能力. 通過對(duì)例習(xí)題內(nèi)容的分析可知，新教材的例習(xí)題難度大于舊教材，但新教材中有生活背景的習(xí)題較少，大多是純粹的數(shù)學(xué)題，這說明新教材更加注重概念的形式化應(yīng)用.此外，新教材對(duì)學(xué)生的探究能力、推理能力、知識(shí)儲(chǔ)備、運(yùn)算能力等方面提出了更高的要求. 為適應(yīng)新教材的這些特點(diǎn)，教師講解例習(xí)題時(shí)可以更換題目的條件或結(jié)論讓學(xué)生求解，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的方法，提高學(xué)生的綜合能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書A版：數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)（必修1）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] ?鮑建生. 中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J]. 全球教育展望，2002，31（09）：48-52.