摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)，要盡量讓兒童能自己“悟”出來，引導(dǎo)和啟發(fā)兒童多悟數(shù)學(xué)的知識本質(zhì)、思想精髓、問題關(guān)鍵和學(xué)科價值。讓兒童悟得數(shù)學(xué)，需要遵循兒童先行、悟創(chuàng)結(jié)合、整體建構(gòu)三項原則，運用“體驗在前，反思在后”“建構(gòu)與解構(gòu)兼?zhèn)洹眱煞N模式。

關(guān)鍵詞：兒童悟得數(shù)學(xué)；感悟；體悟；頓悟

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（課題編號：DHA200370）階段性研究成果。

“悟”是形聲字，“忄”（心）表意，“吾”表聲。古人認為心是思維的器官，“悟”字代表著心的覺醒。“悟”在《現(xiàn)代漢語詞典》（第 7 版）中的解釋為“了解；領(lǐng)會；覺醒”。本文所講的“悟”，特指由模糊而清晰、由迷惑而明白的求索狀態(tài)，表現(xiàn)為想清楚、想明白、想通。多年來，我在數(shù)學(xué)教學(xué)中主張“讓兒童悟得數(shù)學(xué)”，指讓兒童以悟的方式獲得新的數(shù)學(xué)感受與認識。學(xué)習(xí)貴在悟，數(shù)學(xué)教學(xué)中要盡量讓兒童自己多悟，但“多悟”并不是放任兒童自悟。于是，“為何讓兒童多悟”“讓兒童多悟什么”“如何啟發(fā)兒童多悟”自然成了必須厘清的三個關(guān)鍵問題。

一、為何讓兒童多悟

“悟”是一種意識，是一段思維過程，更代表著一種學(xué)習(xí)精神。教育者的任務(wù)不只是給兒童賦能，還應(yīng)是激發(fā)兒童自主發(fā)揮出潛能。讓兒童悟得數(shù)學(xué)，追求更多地讓兒童能自己“悟”出來。讓兒童多悟，是從以下三個方面的因素考慮得出的結(jié)果。

（一）現(xiàn)實所迫

數(shù)學(xué)是學(xué)生感覺到較難、問題較多的一門學(xué)科。一方面，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)者有一定的抽象思維、邏輯思維能力作為支撐，而小學(xué)生的思維正處于形象思維向抽象思維發(fā)展的過渡期，往往不能理解頗為抽象的邏輯推理，這就需要有較多從具體到抽象，從感知、運用到推理、明理的“悟”的過程。另一方面，一直存在兩個可能未引起大家足夠重視并需要努力去解決的問題，一是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認同存在障礙；二是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的貫通存在困難。這兩個問題的解決，都需要教師通過適時適量的引導(dǎo)啟發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)由內(nèi)心的質(zhì)疑、思考、理解、接受，直至領(lǐng)悟。但實際教學(xué)中往往是“少悟多教”，這就會導(dǎo)致學(xué)生“得而不悟”“悟而不得”“淺悟淺得”等學(xué)習(xí)現(xiàn)象，并間接導(dǎo)致學(xué)生所獲數(shù)學(xué)知識往往是缺少根基、游離于自己的認知結(jié)構(gòu)之外的，學(xué)到的多是浮于表面、支離破碎的數(shù)學(xué)，甚至不是真正的數(shù)學(xué)。知識的學(xué)習(xí)，只學(xué)不悟，難得真諦；只練不悟，難有進步；而悟之不多，則可能悟而不得、悟而不深。

（二）學(xué)理所致

讓學(xué)生“多悟”遵循了教學(xué)的基本準則。葉圣陶認為，“自己摸索得來比向別人學(xué)更重要”；蘇格拉底曾說過，“唯有發(fā)自內(nèi)心的知識，才能夠變成人的智慧”；波利亞認為：學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這樣發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系；伽利略則更是提醒教師“你不能去教別人，只能幫助他自悟而已”。這幾位先賢都強調(diào)讓學(xué)生“自悟”，而自悟是常常會走彎路，需要多摸索、多思考、多領(lǐng)會的。

讓學(xué)生“多悟”回應(yīng)了心理學(xué)、教育學(xué)的研究成果。心理學(xué)家韋特墨基于學(xué)校實踐研究學(xué)生的頓悟?qū)W習(xí)，強調(diào)通過整體進行思維；建構(gòu)主義理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者通過意義建構(gòu)的方式而獲得；情境教育理論認為，“人對事物的認識是整體性的、情境化的，是自我建構(gòu)的，因而也是內(nèi)化的”；生本教育理論強調(diào)借助人的悟感，在活動中發(fā)展悟感，從而使人的認識發(fā)生遷移和頓悟，更強有力地認識事物的本體。無論是“頓悟”“悟感”，還是“建構(gòu)”“內(nèi)化”，都不是一蹴而就、輕松可得的，都需要學(xué)生經(jīng)歷較長的自主摸索和思考過程，才能悟有所得，或突然領(lǐng)悟。

（三）時代所需

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022版）》明確了核心素養(yǎng)的導(dǎo)向性，并指出：“核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。小學(xué)階段側(cè)重對經(jīng)驗的感悟，初中階段側(cè)重對概念的理解”。知識只有在長期悟、邊學(xué)邊悟的“多悟”過程中，才能真正被納入認知結(jié)構(gòu)；悟有所得，悟而能用，久而久之，知識才能轉(zhuǎn)化為能力、品格，體現(xiàn)為操作、行為，才能成為素養(yǎng)。史寧中教授說：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己‘悟出來的……”這個“形成和發(fā)展”的過程，自然是需要多“悟”的。

二、讓兒童多悟什么

人的感受及認識與經(jīng)歷有關(guān)。教育不在于教師講了多少，而在于兒童自己悟出多少?！皟和虻脭?shù)學(xué)”的根本任務(wù)，是在“悟”中實現(xiàn)數(shù)學(xué)認知的躍升和突圍。讓兒童“多悟”但不是盲目地悟，可以從以下幾個方面著手。

（一）悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和聯(lián)系

領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的過程是一個由表及里的過程，把握數(shù)學(xué)知識聯(lián)系的過程是一個由此及彼的過程。在由表及里、由此及彼的過程中，學(xué)生需要往深處想，往遠處想，這是“多悟”的過程，也是數(shù)學(xué)認識躍升的過程。例如，長方形的面積計算方法“長×寬”，表面上看只是乘法計算，其實質(zhì)卻是測量長方形里面有多少個相同的面積單位的過程。如何讓學(xué)生相信和貫通這樣的認識？這要有一個從“數(shù)面積單位的個數(shù)”到“算面積單位的個數(shù)”，從“用面積單位直接測量長方形的面積”到“用直尺間接測量并計算長方形的面積”的逐步領(lǐng)悟過程。

（二）悟數(shù)學(xué)思想的精髓和妙用

在“有形”的數(shù)學(xué)知識中，蘊含著“無形”的數(shù)學(xué)思想。在表層的解題步驟或“套路”背后是數(shù)學(xué)方法與技巧，而方法技巧的獲得、運用則需依靠數(shù)學(xué)思想來引導(dǎo)。要讓學(xué)生觸摸并感受到數(shù)學(xué)思想的精髓和妙用是不易的，需要引導(dǎo)他們在活動中慢慢感悟。例如，轉(zhuǎn)化思想的精髓是變通，極限思想的妙用是領(lǐng)悟無限過程（無限靠近）的結(jié)果為真。在探索圓面積計算公式時，學(xué)生在教師的點撥下，親歷了把圓剪拼成近似長方形的操作過程，但想要學(xué)生領(lǐng)悟“近似的長方形的面積在無限分割的情況下就等于圓的面積”這里面的極限思想較難，因此，教師可以通過讓學(xué)生聯(lián)想、類比“循環(huán)小數(shù)0.999…=0.333…×3=1÷3×3=1”來幫助理解。

（三）悟數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生和解決

一道生活問題里面包含哪些數(shù)學(xué)知識？這道生活問題可以歸結(jié)為哪種類型的數(shù)學(xué)問題（模型）？解決此類數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是什么？我在解決問題的過程中，是在哪個地方出現(xiàn)偏差導(dǎo)致解題失敗的？……這些疑問是學(xué)生對自己學(xué)習(xí)過程的監(jiān)控與調(diào)整，直接關(guān)乎其元認知能力的培養(yǎng)和提升。解決實際問題時，學(xué)生需要悟得數(shù)學(xué)問題是如何產(chǎn)生以及怎樣得到解決的。例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊“平均數(shù)的認識”，教材提供了男、女生套圈成績統(tǒng)計圖，要求學(xué)生思考“男生套得準一些還是女生套得準一些”。教師不宜急于介紹比較男、女生套中個數(shù)所用的平均數(shù)概念，而要先讓學(xué)生自主感悟到“比較男、女生套中的總個數(shù)”“比較男、女生的最好個人成績”等方法的不足。關(guān)于求平均數(shù)的計算方法，教師也不必多講，而平均數(shù)的意義應(yīng)著力多讓學(xué)生感悟。

（四）悟數(shù)學(xué)學(xué)科的價值和魅力

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。鄭毓信教授認為，我們應(yīng)從單純強調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維”走向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來都不只是知識的學(xué)習(xí)。我們倡導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的知識本質(zhì)、思想精髓和問題關(guān)鍵的同時，還要有意識地讓學(xué)生感悟如何思維的經(jīng)驗，體悟數(shù)學(xué)的文化價值，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)活動中經(jīng)由合乎邏輯的推理、審辯式的理性思考和簡潔精準的表達等思維歷練，以及言之有理、敢于質(zhì)疑、寬容失敗的文化熏陶，必然會體悟到數(shù)學(xué)學(xué)科的價值和魅力。

三、如何啟發(fā)兒童多悟

兒童的悟性是潛在的，也是有限的。高效的、有價值的“兒童悟得數(shù)學(xué)”活動，還要依靠教師的教學(xué)智慧。那么，如何啟發(fā)兒童多悟？教學(xué)中需要遵循“三項原則”，運用“兩種模式”。

（一）三項原則

1.兒童先行，引發(fā)感悟

兒童有所感受和實踐，方能有所悟、有所得。兒童先行表現(xiàn)為兒童的學(xué)習(xí)先于教師的傳授，兒童想法的表達先于成人想法的表達。數(shù)學(xué)教學(xué)中，探索新的數(shù)學(xué)知識，解決新的數(shù)學(xué)問題，不妨讓學(xué)生先嘗試著說一說，做一做。教師要精心創(chuàng)設(shè)引發(fā)學(xué)生感悟的情境，提供切近學(xué)情、啟發(fā)思考的學(xué)習(xí)材料和恰當問題，讓學(xué)生先嘗試、先思考，讓他們多一些自主感悟。這有助于悟出學(xué)習(xí)的必要性，悟出知識的來龍去脈，悟出問題的障礙在哪里，悟出知識的難點在何處。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，教師循著學(xué)生的想法和思維展開教學(xué)，在學(xué)生冥思苦想仍不得其解時進行啟發(fā)，在學(xué)生想說卻說不出來時提供幫助，才能以“少教”在關(guān)鍵處、學(xué)生需要處起到指點迷津之效，激活學(xué)生的思維，開啟學(xué)生的悟性。

2.悟創(chuàng)結(jié)合，催發(fā)醒悟

兒童積極主動地進行同化或順應(yīng)等認知心理活動，領(lǐng)會新知與已有認知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，這是一種悟的表現(xiàn)；兒童創(chuàng)造性地建立或調(diào)整自己的認知結(jié)構(gòu)和觀念，讓知識具有個人意義和新的闡釋，進而以新的眼光和思維看待和解決問題，這是一種創(chuàng)的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生悟得新知識的豐富內(nèi)涵，創(chuàng)造性地運用經(jīng)驗和智慧，往往需要同時伴有或交叉進行悟與創(chuàng)的心理活動。在學(xué)習(xí)新知識或解決新問題時，學(xué)生通常有一定的知識儲備和經(jīng)驗積累，但不能自主突破已有的知識框架或觀念局限，給“悟”“創(chuàng)”帶來困擾和障礙。為此，教師以“少教”為學(xué)生提供聯(lián)系舊知、探索新知，以及分享交流、回顧反思的機會；同時，在學(xué)生觀察、思考、表達過程中的困惑處、卡殼處和瓶頸處，教師適時地做一定的視角拓展、路徑提示，努力實現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念的更新與提升，從而催發(fā)學(xué)生“醒悟”，最終實現(xiàn)學(xué)生“心靈的轉(zhuǎn)向”。

3.整體建構(gòu)，激發(fā)頓悟

格式塔心理學(xué)認為，整體大于部分之和。頓悟?qū)W習(xí)的核心是“要從整體上把握事物的本質(zhì)，而不是無關(guān)的細節(jié)”?？梢?，整體建構(gòu)符合人們認識事物的一般規(guī)律，有助于學(xué)生通過整體進行思維，獲得自我頓悟。為此，我們要深度發(fā)掘教材的知識內(nèi)核、整體結(jié)構(gòu)和豐富內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生整體思考、結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的素材和情境，使學(xué)生形成對知識的深刻理解，建構(gòu)起有生命力、可遷移的知識，進而悟得數(shù)學(xué)課程的知識體系和學(xué)科思想。尤其要在學(xué)生探索思考的基礎(chǔ)上，立足整體的理解和分析，抓住精要講解，瞄準關(guān)鍵點、薄弱點、連接點和突破點進行引導(dǎo)啟發(fā)，幫助學(xué)生跨越思維障礙，實現(xiàn)知識貫通，從而為“頓悟”做好準備、創(chuàng)造條件。學(xué)生在多次頓悟之后，積“小悟”成“大悟”，拾級而上，其知識理解水平、思維品質(zhì)就會實現(xiàn)躍升。

（二）兩種模式

模式1：體驗在前，反思在后。

真正的感悟來源于人們的親身經(jīng)歷與感受。只有體驗足，才能悟得透。為了將抽象的知識化為記憶，兒童需要多參與一些體驗活動，并在活動中進行反思，為 “多悟”創(chuàng)造條件。如看一看、摸一摸、擺一擺、比一比、量一量、畫一畫、想一想，說一說、寫一寫等。為此，教師要精心設(shè)計，通過“少教”“精教”達到更好的活動效果，如優(yōu)選最貼近兒童原初想法、最值得體驗的活動內(nèi)容，并借助反思和評價來提高學(xué)生對知識的認同程度和貫通程度。

模式2：建構(gòu)與解構(gòu)兼?zhèn)洹?/p>

“悟”，常需領(lǐng)會知識的聯(lián)系和貫通，進行整體建構(gòu)；“悟”，往往需要概念、觀念的突破或躍升，需對已有認知結(jié)構(gòu)作調(diào)整、解構(gòu)，實現(xiàn)重組和再建構(gòu)。經(jīng)歷“建構(gòu)—解構(gòu)—再建構(gòu)”的過程，學(xué)生的內(nèi)心會因此而澄明，建構(gòu)后的知識也更易于遷移和轉(zhuǎn)化，并能用于陌生的情境。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第48頁例題，先教學(xué)小數(shù)加法，再教學(xué)小數(shù)減法。部分學(xué)生列豎式計算“4.75+3.4”時，會下意識地先把小數(shù)的末位對齊，但一旦他們想到或教師提醒他們“數(shù)可代表錢數(shù)”時，便會頓悟到如此列式不正確，因為不同貨幣單位的錢數(shù)不能直接相加。由此，列加法豎式時先把小數(shù)點對齊的正確想法自然地可以遷移到減法計算“4.75-3.4”中去。離開具體情境的依托，部分學(xué)生嘗試做小數(shù)加減計算時，仍然會犯這樣的錯誤。這時，需要引導(dǎo)他們回到小數(shù)的組成，感悟并領(lǐng)會算理“相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減”。概而言之，從整數(shù)加減法計算“跳”到小數(shù)加減法計算，這樣的認知躍升既有計算形式（算法）的解構(gòu)，也有計算本質(zhì)（算理）的建構(gòu)。學(xué)生需要充分地經(jīng)歷解構(gòu)和建構(gòu)的過程，才能夠獲得深刻的領(lǐng)悟和理解，而不是機械地記憶算法，也不是盲目地提高計算速度。

參考文獻：

[1]朱小平，魏光明.兒童悟得：探索與聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)世界的通途[J].江蘇教育研究（實踐版），2015（12）.

（朱小平，特級教師，江蘇省揚州市梅嶺小學(xué)，郵編：225009）