劉紹洲

摘 要 我國(guó)的教育事業(yè)在不斷改革和推進(jìn)，在深化義務(wù)教育改革的過(guò)程中，注重對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育培養(yǎng)，數(shù)學(xué)作為課程素質(zhì)教育改革的重要學(xué)科，要注重學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等，還要引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，可以充分運(yùn)用頓悟的方法，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中進(jìn)行分析和思考，從而啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智力，提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 頓悟 數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.10.052

Abstract Education in our country in continuous reform and progress， in the process of deepening the reform of compulsory education， pay attention to students quality education and training， mathematical as an important subject of curriculum reform of quality education to pay attention to student learning in Mathematics in mathematical thinking ability in the process of training， teachers should not only teach mathematics knowledge and mathematics concepts， laws， should guide students in mathematics learning and thinking in Mathematics， can make full use of Epiphany， guide the students in mathematical thinking in the process of analysis and reflection， so as to inspire the students mathematical intelligence， improve students inquiry ability and innovation spirit.

Keywords junior high school mathematics； epiphany； mathematics thinking

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，它體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的直覺(jué)感知和邏輯思維。這兩個(gè)思維過(guò)程是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提和基礎(chǔ)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)頓悟的基礎(chǔ)，它可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中起到一個(gè)引導(dǎo)的作用，對(duì)學(xué)生的抽象邏輯思維能力和想象力都有較高的要求，在應(yīng)用頓悟的過(guò)程中，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知架構(gòu)不斷由低到高，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。

1 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中頓悟的功用

數(shù)學(xué)教學(xué)中的頓悟是指在數(shù)學(xué)解題和知識(shí)教學(xué)的過(guò)程中，突然獲得了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和思路，而這個(gè)方法和思路并不是憑空產(chǎn)生的，不是想象而來(lái)的，而是在特定的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境下因偶然的因素而造成的，也可以認(rèn)為是創(chuàng)造性思維的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活躍性和開(kāi)放性有重要的推動(dòng)作用。頓悟在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的功用主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

（1）頓悟可以提升中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言材料的理解和感悟。在初中數(shù)學(xué)的解題和知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，漢語(yǔ)材料可以幫助學(xué)生進(jìn)行理解和感悟。在一些數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，有時(shí)不須嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維和推斷，可以根據(jù)數(shù)學(xué)習(xí)題中的語(yǔ)言，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提升初中生對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題的讀題速度，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言材料的感悟能力。

（2）頓悟可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和開(kāi)放性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的參與程度，在較大程度上影響了數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)效能，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)概念和規(guī)律的傳授，而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培育較少，而頓悟可以讓學(xué)生的主動(dòng)性合理地調(diào)動(dòng)，并且可以在一定程度上活躍數(shù)學(xué)課堂氛圍，增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)思維的能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

（3）頓悟有助于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培育。初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力，運(yùn)用頓悟式教學(xué)方法，可以讓學(xué)生進(jìn)行手腦并用的思考和分析問(wèn)題，在不經(jīng)意間產(chǎn)生頓悟，培育出學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

2 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中頓悟的開(kāi)放性研究及探索

2.1 注重學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中進(jìn)行多層次的數(shù)學(xué)解答

在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要具有良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，要具備足夠靈活的雙向產(chǎn)生式知識(shí)和層次分明的解題意識(shí)，在條件前提和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識(shí)儲(chǔ)備之下，進(jìn)行多層次、多角度的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答和探索。在運(yùn)用頓悟的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)多層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答，需要從以下幾個(gè)方面加以考慮：

2.1.1 要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的觸發(fā)條件

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理可以用于解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然而，這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理在情景條件發(fā)生變化的情況下，學(xué)生不會(huì)靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和定理。這就需要考慮數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的觸發(fā)條件，在多層次的知識(shí)產(chǎn)生鏈的結(jié)果之下，要注重每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的觸發(fā)條件，要建立數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的豐富聯(lián)結(jié)，并將數(shù)學(xué)知識(shí)鑲嵌在具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境之中，試探學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題情境之中對(duì)條件信息的識(shí)別狀態(tài)，并由此引發(fā)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

例如：在對(duì)已知條件得知三角形是直角三角形的識(shí)別產(chǎn)生條件下，學(xué)生可以作出反應(yīng)，并判定：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和，在這個(gè)勾股定理的檢索信息之中，學(xué)生還沒(méi)有將其具體應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，還需要溶入個(gè)體數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)，并在數(shù)學(xué)問(wèn)題信息提取、分析和整理的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。

2.1.2 要建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的組塊體系

在運(yùn)用頓悟策略和方法的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要將學(xué)生長(zhǎng)時(shí)記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)存在有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析的過(guò)程中，要從不同角度對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題進(jìn)行梳理，在逐步完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的條件下，形成數(shù)學(xué)知識(shí)組塊體系，為多角度、多層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答提供條件和前提。

2.1.3 探索開(kāi)放性數(shù)學(xué)問(wèn)題情境之中的多層次解答

在數(shù)學(xué)頓悟教學(xué)的方法之中，要以探索為數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線，在開(kāi)放性的答案解答過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證和修正，使學(xué)生在探究性的數(shù)學(xué)研究過(guò)程中進(jìn)行多層次的解答，體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”，并實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“再創(chuàng)造”。

例如：有一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-EFGH（圖1），在底部的A處有一只貓，在A的對(duì)角頂點(diǎn)處有一只老鼠，貓可以沿著什么路線前進(jìn)，可以在最短的時(shí)間內(nèi)抓住老鼠（假設(shè)前提條件為老鼠在G處不動(dòng)），試畫出有多少條路徑？

習(xí)題解答：教師可以啟發(fā)學(xué)生將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)計(jì)成由A-G處的最短路徑問(wèn)題，學(xué)生思考后對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答：在A和G處的兩點(diǎn)之間的連線最短，它們之間連線的路徑可以進(jìn)行計(jì)算得知。

T：這條路徑雖然最短，然而，我們的前提條件是貓不會(huì)飛，這條路徑事實(shí)上并不存在。

S：可以沿著正方體的對(duì)角線和棱邊往前行，有A-B-G，A-E-G，A-D-G……將其進(jìn)行路徑的計(jì)算可以得出最短路線。如圖2所示：

T：為了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟能力，教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)：沿著正方體面比沿著棱進(jìn)行前行的距離更短，學(xué)生請(qǐng)思考，還有什么更佳的選擇？

S：（停頓、領(lǐng)悟并思考）

T：讓學(xué)生預(yù)備好正方體紙盒，做好相應(yīng)的字母標(biāo)注，觀察并交流，當(dāng)學(xué)生在正方體上畫線或者將正方體紙盒沿底面展開(kāi)之時(shí)，學(xué)生獲得了頓悟：原來(lái)將正方體沿底面展開(kāi)，可以使解題思路變得豁然開(kāi)朗。

S：從A處到G處的路徑，明顯在平面上可以看出AG的路徑小于A-C-G的路徑，也即由A到CD的中點(diǎn)再到G點(diǎn)是最短的路徑。

T：由此可以進(jìn)行規(guī)律性的總結(jié)：由A處—G處的路徑在以A和G為頂點(diǎn)的兩個(gè)正方形的表面上且經(jīng)過(guò)這兩個(gè)相鄰正方形的公共邊的中點(diǎn)。

2.2 注重初中數(shù)學(xué)思想和方法在學(xué)習(xí)中的運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生的頓悟

數(shù)學(xué)思想和方法是重要的教學(xué)內(nèi)容，它可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，領(lǐng)悟到這些關(guān)鍵數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐應(yīng)用，并在獨(dú)立自主思考的前提下，進(jìn)行新知的探究和發(fā)現(xiàn)、分析，從而創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。為了正確地運(yùn)用好數(shù)學(xué)思想和方法在實(shí)踐解題中的應(yīng)用，要遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，分層次地滲透歸納和演繹等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩和概括數(shù)學(xué)思想和方法的能力。

2.2.1 分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)分類思想滲透于數(shù)學(xué)概念性的內(nèi)容以及數(shù)學(xué)證明題和計(jì)算題中，它在代數(shù)和幾何的教學(xué)中，可以極大地提升學(xué)生的條理性思維和數(shù)學(xué)邏輯思維。從幾何角度而言，分類思想可以運(yùn)用于比較線段的大小問(wèn)題。

例如：在兩條線段之中，可以討論并比較線段AB和CD的大小。運(yùn)用分類思想，進(jìn)行三種不同情況的分類討論：（1）當(dāng)點(diǎn)B在CD線段之上時(shí)，ABCD。

2.2.2 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，通常運(yùn)用數(shù)與形的結(jié)合，在“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的過(guò)程中，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象的問(wèn)題直觀化，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，從而快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的圖形感和數(shù)感有極大的輔助作用，并在學(xué)生的形象思維和抽象思維的綜合利用方面，有一定的促進(jìn)作用。

例如：“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合。如圖3，有一根12m長(zhǎng)的鐵絲，圍成一個(gè)矩形空地，如何才能使圍成的面積最大？圍出面積的長(zhǎng)寬度如何？

解題思路：要從“最多”的條件中進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行頓悟，結(jié)合二次函數(shù)，以面積為等量關(guān)系，解決這道最值問(wèn)題，在數(shù)形結(jié)合的解答過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題思維。

即：當(dāng)面積的長(zhǎng)為3，寬為6時(shí)，面積最大，透光最多。

2.2.3 函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用

函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維具有深遠(yuǎn)的影響，它在探索、歸納、提煉的解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，在掌握這些數(shù)學(xué)思想的特性的前提下，進(jìn)行反復(fù)的滲透和訓(xùn)練，在適當(dāng)?shù)囊M(jìn)策略下，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的頓悟和體會(huì)，從而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行反思、提煉和歸納。

解題思路2：運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，要讓學(xué)生在方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化的頓悟之中，借助于兩者之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)求方程 + = 0的解也即二次函數(shù) = + 的圖像與軸的交點(diǎn)，同時(shí)，由于拋物線開(kāi)口向上，因而只要滿足 = 1時(shí)，<0即可，即 + <0，得<2。

2.3 從學(xué)生的直覺(jué)思維角度，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的頓悟

數(shù)學(xué)頓悟的產(chǎn)生需要學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備前提和良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)前提，在此條件之下，教師才能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象、聯(lián)想、發(fā)散和求異，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)頓悟。在初中生的思維結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平之中，可以首先從學(xué)生的直覺(jué)思維角度，進(jìn)行頓悟的激發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)理解能力和運(yùn)用能力。

例如：如圖4，已知在 ABC之中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB邊上的中線，G是重心，AG = 6，BG = 8，CG = 10，試求 ABC的面積為多少？

教師在教學(xué)過(guò)程中，可以利用學(xué)生的直覺(jué)思維，明白這個(gè)習(xí)題中的實(shí)質(zhì)即：三個(gè)數(shù)據(jù)6、8、10也正是勾股數(shù)，在這個(gè)直覺(jué)思維的導(dǎo)向之下，使學(xué)生產(chǎn)生頓悟，獲得解題思維的訓(xùn)練和強(qiáng)化，以6、8、10為長(zhǎng)的三線段構(gòu)造一個(gè)直角三角形，延長(zhǎng)線段GD至G，并使GD=GD，連結(jié)GC，這樣可以較為容易地獲得證明：GG=AG=6， GDB≌ GDC，由此可得，GC=BG=C， GGC是直角三角形， GGC的面積為6€？€？=24， ABC的面積為72。

2.4 從學(xué)生的邏輯思維角度，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的頓悟

在數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生過(guò)程中，學(xué)生的邏輯思維較直覺(jué)思維而言，具有更高、更為復(fù)雜的層次，為了揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征和規(guī)律性聯(lián)系，可以引導(dǎo)學(xué)生在邏輯思維的構(gòu)建中，產(chǎn)生數(shù)學(xué)頓悟，提升數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

例如：請(qǐng)解析下列方程組：

解題思路1：方程①去分母，再采用代入消元法，進(jìn)行解題，顯然這是一種較為繁瑣的解題方法。

解題思路2：兩個(gè)方程的左邊系數(shù)相同，因而可以考慮將+（9/）和+（4/）視同為一個(gè)整體，將方程②的左右兩邊都除以，并把方程②變形為（+9/）（+4/）=24，然后再將方程①變形為（+9/）+（+4/）=10，假設(shè)+9為A，+4/為B，這樣，方程組就可以轉(zhuǎn)化為A+B=10，A€譈=24，后續(xù)的解方程組就變得容易許多了。

在上述的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，對(duì)“兩個(gè)方程的左邊系數(shù)相同”的敏感思維也即頓悟過(guò)程，在強(qiáng)化邏輯訓(xùn)練的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的頓悟，提升數(shù)學(xué)解題能力。

2.5 充分挖掘?qū)W生的猜想和聯(lián)想能力，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的頓悟

在數(shù)學(xué)的頓悟產(chǎn)生過(guò)程中，要經(jīng)歷一個(gè)初步認(rèn)識(shí)—逐步提高—進(jìn)一步深化的過(guò)程，也即數(shù)學(xué)猜想和聯(lián)想的過(guò)程，由數(shù)學(xué)條件或結(jié)論的外表猜想到內(nèi)在的定理或圖形，從而獲得頓悟，尋找到解題靈感。

例如：有一條流水線上的N臺(tái)機(jī)床在工作，要設(shè)計(jì)一個(gè)零件供應(yīng)站點(diǎn)P，為了使N臺(tái)機(jī)床與零件供應(yīng)站點(diǎn)P之間的距離總和最小，可以將P點(diǎn)設(shè)置于何處？

解題思路：在這個(gè)解題過(guò)程中，由于N是一個(gè)抽象值，要引導(dǎo)學(xué)生獲取具體值，就需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正確的解法進(jìn)行猜想和假設(shè)：

當(dāng)N=2時(shí)，P點(diǎn)應(yīng)位于何處呢？當(dāng)N=3時(shí)，P點(diǎn)又位于何處？N=4，N=5呢？

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納的同時(shí)，可以得到怎樣的猜想？

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，P點(diǎn)在第（N+1）/2臺(tái)處時(shí)，距離之和最小。

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，P點(diǎn)在第N/2和（N/2+1）臺(tái)之間的任何一點(diǎn)時(shí)，距離之和最小。

3 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主思維的能力，要結(jié)合學(xué)生的形象思維和抽象邏輯思維，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的主動(dòng)探索和創(chuàng)新，在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行知識(shí)分析、推理和歸納、概括的過(guò)程中，啟發(fā)學(xué)生的頓悟，從多角度對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索，可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維中的靈活性、獨(dú)立性，增加對(duì)數(shù)學(xué)解題的深度和廣度，運(yùn)用頓悟教學(xué)的原則，全面提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

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