福建省福清第一中學(xué)(350300)葉誠理 林品玲

福建省福清進(jìn)修學(xué)校(350300)林新建

中點(diǎn)弦問題是圓錐曲線中的一種常見題型,教師一般會(huì)通過點(diǎn)差法解決問題.教師應(yīng)圍繞點(diǎn)差法解決問題的思維過程進(jìn)行多角度表征,挖掘其背后隱含的教學(xué)資源,加深學(xué)生對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的系統(tǒng)認(rèn)識(shí),拓展解題思路,凝練思想方法,提高復(fù)習(xí)教學(xué)的效率.

以下就多元表征解決中點(diǎn)弦相關(guān)問題的教學(xué)設(shè)計(jì)作一闡釋,以饗讀者.

問題如圖1,已知一條直線與橢圓C:交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1),求直線AB的斜率.

圖1

1.解題方法表征,引領(lǐng)感悟

問題1 解決中點(diǎn)弦問題的方法有哪些?

問題2 運(yùn)用何種方法能有效簡(jiǎn)化運(yùn)算?

設(shè)計(jì)意圖通過解題方法表征,學(xué)生初步感悟到運(yùn)用“點(diǎn)差法”比常規(guī)的代入法具有優(yōu)勢(shì),因?yàn)椤包c(diǎn)差法”的“設(shè)而不求”避免了繁瑣的代入與計(jì)算過程,啟發(fā)學(xué)生要合理運(yùn)用幾何條件,優(yōu)化運(yùn)算思路,為接下去的深入探究提供思維依據(jù).

2.問題條件表征,引領(lǐng)探究

問題3 能否對(duì)問題中的條件作些改變,得到一般性的命題?

為此,現(xiàn)將命題一般化:

已知一條直線與橢圓C:交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,y0),求直線AB的斜率.

解析設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則有

設(shè)計(jì)意圖通過問題條件表征,讓學(xué)生經(jīng)歷橢圓中點(diǎn)弦問題從特殊到一般的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)合情推理能力,即從特殊到一般地歸納,與一般到特殊地推理的邏輯推理核心素養(yǎng).

3.結(jié)論擴(kuò)展表征,引領(lǐng)體悟

問題4 直線AB與OM的斜率之間是否存在某種關(guān)系? 這個(gè)關(guān)系是什么?

設(shè)計(jì)意圖通過結(jié)論擴(kuò)展表征,讓學(xué)生體驗(yàn)解析幾何問題中變化中的不變性,培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的能力,和從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

4.思想策略表征,引領(lǐng)內(nèi)化

問題5 依常規(guī)方法,如何求解橢圓C:=1(a>b>0)在其上一點(diǎn)M(x0,y0)處的切線方程?

圖2

解析設(shè)切線方程為y ?y0=k(x ?x0),代入橢圓方程,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,令?=0,得出k的值,再帶回切線方程.顯然,這樣計(jì)算量太大了.

問題6 你能否基于上述結(jié)論,并基于極限思想和極限化策略簡(jiǎn)化切線方程的求解?

解析基于極限思想和極限化策略,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到橢圓上時(shí),弦AB為橢圓C在其上點(diǎn)M(x0,y0)處的切線.如圖3,由知,切線AB的斜率為所以切線AB的方程為,結(jié)合點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓上,化簡(jiǎn)得到.

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過思想策略表征,讓學(xué)生基于有限和無限思想和極限化策略解決問題,體會(huì)哲學(xué)中運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生利用圖形分析數(shù)學(xué)問題的能力,和構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型求解問題的直觀想象核心素養(yǎng).

5.結(jié)論致用表征,引領(lǐng)應(yīng)用

問題7 你能基于以上結(jié)論,解決以下問題嗎?

圖4

例4 如圖5 是一個(gè)殘缺的橢圓,你能用尺規(guī)作圖找到它的對(duì)稱中心嗎? (保留作圖痕跡)

圖5

解析提示意學(xué)生,根據(jù)例3 結(jié)論的逆用,任意做橢圓的兩條平行弦,橢圓中心在平行弦中點(diǎn)連線上,做兩對(duì)平行弦即可.

設(shè)計(jì)意圖通過結(jié)論致用表征,讓學(xué)生運(yùn)用相關(guān)結(jié)論解決問題,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,體會(huì)數(shù)學(xué)探究的樂趣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)反思本節(jié)課圍繞橢圓的中點(diǎn)弦問題,應(yīng)用多元表征,從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯關(guān)系對(duì)結(jié)論進(jìn)行了深入探究,層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,凸顯圓錐曲線知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一性,彰顯數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)的重要性.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師要精心創(chuàng)設(shè)問題情境,圍繞教學(xué)目標(biāo)在多元表征下引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),同時(shí)要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,低起點(diǎn)高落點(diǎn),從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從具體到抽象,打造出容量小但思維量大的小身材大容量課堂,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到錘煉,核心素養(yǎng)得到真正發(fā)展.