廣東省廣州市真光中學(510380)蘇國東

1 問題提出

定弦定角問題是中考的熱點問題之一,是中考專題復習的重要課程內容.其指的是題目圖形中含有一條定線段(定弦),其所對的角度數(shù)一定(定角),則該線段的兩個端點及該角的頂點共圓,即該角的頂點在以該線段為弦的某個圓(弧)上運動.

定弦定角問題具有一定難度,著重考查學生的聯(lián)想、構造、分析、建模等能力.教學中需要明確課堂主線,精選例題習題,注重內容銜接,設計變式題組,體現(xiàn)通性通法,滲透數(shù)學思想,發(fā)展高階思維.

2 方法淺析

已知線段BC的長度為定值,∠BAC的度數(shù)為定值α.

(1)當α為直角時,如圖1,以BC為直徑作圓,則點A在半圓上運動;

圖1

(2)當α為銳角時,如圖2,以BC為底邊向同側構造頂角為2α的等腰?BOC,以點O為圓心,BO為半徑作圓,則點A在優(yōu)弧上運動;

圖2

(3)當α為鈍角時,如圖3,在BC的異側作∠A的補角∠A′,按照(2)的方法構造即可.實際上,即是以BC為底邊向異側構造頂角為(360??2α)的等腰?BOC,以點O為圓心,OB為半徑作圓,則點A在劣弧上運動.

圖3

在此基礎上,將定弦定角問題轉化為求解與圓相關的最值問題,運用圓的基本性質、垂徑定理、點或直線與圓的位置關系等知識予以解決.

3 變式題組設計

變式題組教學,是通過改變條件或結論,揭示一類數(shù)學問題本質的教學方法.通過對基本圖形不斷深挖,靈活變式,串聯(lián)整合,設計具有啟發(fā)性、層次性、現(xiàn)實性和開放性的系列變式題組,體現(xiàn)知識的橫向發(fā)展,縱向遷移,讓學生加深對問題本質的認識,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和辯證思維.

3.1 創(chuàng)設情境,熟練通法

將圖3 作為初始圖形,降低難度編制出問題1,初步引入對圓中最值問題的思考,體現(xiàn)基本的解題方法.

問題1 如圖4,?BCD為等邊三角形,BD=∠BAD=120?,連接AC,求線段AC長度的最大值.

圖4

解因為,∠BAD=120?,所 以 點A在以BD為弦,∠BAD為圓周角的圓上運動(劣弧部分),記為⊙O,如圖5.因為?BCD為等邊三角形,∠BCD=60?,∠BCD+∠BAD=180?,所以點C也在⊙O上.當AC是⊙O的直徑時,AC最大.連接BO,因為,所以BO=2,此時AC的最大值為4.

圖5

保留定弦定角圖形部分,將問題一般化,對結論變式,提升對圖形的識別能力,形成問題2.

問題2 如圖6,在?ABC中,,∠BAC=120?,求BC邊上的高的最大值.

圖6

解因為,∠BAC=120?,所以點A在以BC為弦,∠BAC為圓周角的圓上運動(劣弧部分),記為⊙O,如圖7,其中∠BOC=120?.連接AO交BC于點H,當AO⊥BC時,AH最大.此時AB=AC,∠ABC=30?,,所以AH=1,故BC邊上的高的最大值為1.

圖7

3.2 橫向變式 深化技能

隱藏∠BPC的度數(shù),提升轉化能力,考查圓外一點到圓上的點的距離最值問題,形成問題3.

問題3 如圖8,?ABC為等邊三角形,.點P為?ABC內一動點,∠PBC=∠PCA,求線段PA長度的最小值.

圖8

解因為?ABC是等邊三角形,所以∠BCA=60?,因為∠PBC=∠PCA,所以 ∠PBC+∠PCB=∠PCA+∠PCB=60?,所以∠BPC=120?,因為.所以點P在以BC為弦,∠BPC為圓周角的圓上運動(劣弧部分),記為⊙O,如圖9.

圖9

連接OA,當點P落在線段OA上時,PA最小,最小值為OA ?OP.在等邊?ABC中,OA⊥BC,AB=,∠BPC=120?,所以PH=1,AH=3,所以PA=AH ?PH=2.

變換定角度數(shù),考查圖1 的情形,并將所求結論與三角形面積最值相結合,形成問題4.

問題4 如圖10,在?ABC中,BC=2,∠BAC=45?,求?ABC面積的最大值.

圖10

解因為BC=2,∠BAC=45?,所以點A在以BC為弦,∠BAC為圓周角的圓上運動(優(yōu)弧部分),記為⊙O,如圖11,其中∠BOC=90?.連接并延長AO交BC于點H,當AH⊥BC時,AH最大.因為BC=2,所以此時?ABC的面積取得最大值,最大值為

圖11

將圖形置于矩形背景之中,變換定角度數(shù)并隱性化,考查圖2 的情形,面積最值的求解從三角形推廣到四邊形,形成問題5.

問題5 如圖12,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,M,N分別為邊AD和CD上的兩個動點,連接BM、AN相交于點P,AN⊥BM,連接CP,求四邊形ABCP面積的最大值.

圖12

解因為AB=4,AN⊥BM,∠APB=90?,所以點P在以AB為直徑的上半圓上運動,記為⊙O,如圖12.連接AC,PO相交于點H,S四邊形ABCP=S?AP C+S?ABC,S?ABC==6,所以要使四邊形ABCP的面積最大,就要?APC的面積最大.因為AC=5,即要點P到AC的距離最大.當PO⊥AC時,P到AC的最大距離即為PH.

圖13

3.3 縱向遷移 應用創(chuàng)新

注重知識的應用性,結合實際背景可形成創(chuàng)新問題,突出數(shù)學與生活生產的緊密聯(lián)系.以矩形為背景圖形,編制出以下探究性問題.

問題6 如圖14,某展覽室的平面示意圖為矩形ABCD,AB=10m,BC=12m,為了監(jiān)控展覽室的內部情況,現(xiàn)需要在最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測,并且要求能觀測到前端墻面AB區(qū)域,同時為了觀測效果達到最佳,還需要從點M出發(fā)的觀測角∠AMB等于45?,請問在墻面CD上是否存在點M滿足要求? 若存在,求出MC的長度;若不存在,請說明理由.

圖14

圖15

再以矩形為背景圖形,將定弦定角通過兩次對稱巧妙隱藏,獨具創(chuàng)新性,加以探究性設問,形成了問題7.

問題7 如圖16,某農場欲規(guī)劃出一個如圖所示的矩形田地ABCD,其中BC=22m,點P在邊AD上,E,F為BC邊上兩點(含端點),在?PEF區(qū)域內種植新型農作物,并沿?PEF的三邊鋪設圍欄,圍欄總長為(即?PEF的周長為),圍欄PE與PF的夾角為60?(即∠EPF=60?),為了盡可能多的種植農作物,要求矩形ABCD的面積盡可能的大,請問能否設計出這樣一個符合要求的矩形ABCD田地? 若能,求出其面積的最大值;若不能,請說明理由.

圖16

圖17

回歸基本的三角形背景,編制出問題8.需要由已知條件聯(lián)想到構造合適的輔助線,還原圖形,綜合運用全等、相似、平行線的相關知識解決問題.

問題8 如圖18,四邊形ABCD是一個規(guī)劃中的果園,四條邊是果園的圍墻,其中墻體BC緊挨公路,,點F是大門的位置且CF=2BF,墻體AB、CD與BC的夾角均為60?(即∠ABC=∠DCB=60?),且AB+CD=BC,AC和BD是果園內的兩條小路,在AC與BD的交點E處建一個涼亭,要使涼亭E到大門F的距離最小,請求出EF取最小值時墻體AB的長.

圖18

解如圖19,延長BA,CD相交于點M,因為∠ABC=∠DCB=60?,所以?MBC是等邊三角形.可得，點E在以BC為弦的圓上運動(劣弧部分),記為⊙O,其中∠BOC=120?.連接OF,當點E落在OF的延長線上時,EF最小.作OH⊥BC于點H,可求得，

圖19