江蘇省蘇州市太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)(215400) 江海華

受課堂時(shí)間及學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備(缺乏整體觀)的限制,教師很難在課堂中完整的展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的真實(shí)過(guò)程和知識(shí)概念間的橫縱聯(lián)系,必然會(huì)造成教師在課堂中“不會(huì)說(shuō),不宜說(shuō),不敢說(shuō)”的尷尬局面,說(shuō)課就是為了突破這一局限而產(chǎn)生的教研改革手段.需要指出的是,數(shù)學(xué)新概念教學(xué)說(shuō)課不同于其他類型的說(shuō)課,它考驗(yàn)教師對(duì)本學(xué)科知識(shí)脈絡(luò)的認(rèn)知水平,更能展現(xiàn)教師在教授新知識(shí)過(guò)程中突破重難點(diǎn)背后不易發(fā)覺(jué)的小心思(思考與設(shè)計(jì)).雖然說(shuō)教無(wú)定法,但是,數(shù)學(xué)新概念說(shuō)課需要以“理”引領(lǐng),富有數(shù)學(xué)味道,絕非單純的教授課本中正確的知識(shí)概念,而需把主要精力放在突破概念發(fā)生、發(fā)展、形成的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)之上,使其教學(xué)更加生動(dòng)、自然、饒有趣味,讓最終的課堂教學(xué)成果不再是繁雜的知識(shí)片段和拼湊的零碎概念,使學(xué)生能夠自主構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu),理解最本質(zhì)的規(guī)律方法.雖然科學(xué)是基于事實(shí)的,正確講授也是必要的,但是缺乏邏輯關(guān)聯(lián)的事實(shí)的堆積并不是科學(xué).因此,本文提出圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”來(lái)引領(lǐng)設(shè)計(jì)、用“學(xué)研一體化”來(lái)指向教學(xué),克服傳統(tǒng)“講學(xué)練”的教學(xué)模式引發(fā)的一系列弊端,將數(shù)學(xué)教學(xué)真正納入培養(yǎng)學(xué)生理性思維與科學(xué)精神的育人框架之中,說(shuō)課考驗(yàn)的是教師對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教學(xué)表達(dá)能力,亦即弗賴登塔爾所指的“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”.

1 關(guān)于本課題的幾點(diǎn)思考

“復(fù)數(shù)的三角表示”雖然在新課標(biāo)中不做考試要求,但是卻作為比賽(說(shuō)課)的課題值得深思.一方面,復(fù)數(shù)的引入是數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中純粹創(chuàng)造性的理論,不僅具有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程的典型性,而且也是數(shù)學(xué)從內(nèi)部需求出發(fā)逐步完善發(fā)展成一套完備的科學(xué)體系的典型課例[1];另一方面,僅靠按照“所謂的規(guī)則”來(lái)做幾個(gè)計(jì)算題并不能讓學(xué)生理解思維理性在數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的巨大威力.復(fù)數(shù)的乘法是復(fù)數(shù)這一章節(jié)的精髓,也是復(fù)數(shù)作為工具的有效實(shí)踐.而“復(fù)數(shù)的三角表示”這一課題正是挖掘復(fù)數(shù)乘法本質(zhì)的關(guān)鍵課例,對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì)具有不可取代的作用.從這一角度來(lái)說(shuō),今后高考在復(fù)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)上的考察方向很大程度上會(huì)以此為轉(zhuǎn)移.

雖然《課標(biāo)(2017 年版)》將復(fù)數(shù)的三角表示定位為選學(xué)內(nèi)容,高考中也僅考察復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及一些簡(jiǎn)單的幾何意義,但是在課時(shí)設(shè)置上卻和必修內(nèi)容要求一致.原因無(wú)外乎有二: 一方面,復(fù)數(shù)的三角表示溝通起了復(fù)數(shù)、向量和三角函數(shù)的聯(lián)系,另一方面,在簡(jiǎn)化某些復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算上提供了可能.更重要的是,它是發(fā)掘復(fù)數(shù)乘法幾何意義的關(guān)鍵要素.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與代數(shù)、向量、代數(shù)與幾何的聯(lián)系,而不是在復(fù)數(shù)的兩種表示形式的互化上反復(fù)的機(jī)械操作,應(yīng)該要在“為什么要將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式? ”的問(wèn)題探究中實(shí)現(xiàn)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等方面真正的提升.基于上述的分析與思考,本節(jié)課筆者首先指出: 在研究判別式小于的實(shí)系數(shù)一元二次方程根的存在性問(wèn)題時(shí),一個(gè)自然的想法是,能否像引入無(wú)理數(shù)一樣把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集,通過(guò)引入新的數(shù)而使實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充,從而使得方程在更大的數(shù)系中有解,復(fù)數(shù)概念的引入與這種想法有直接關(guān)系.

如: 為解決x2+1=0 這樣的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的問(wèn)題.數(shù)學(xué)家設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i,使得x=i 是方程x2+1=0 的解.當(dāng)然,數(shù)系擴(kuò)充并非往原數(shù)集中添加幾個(gè)數(shù)那么簡(jiǎn)單.我們還希望加入的數(shù)與實(shí)數(shù)之間仍能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算,即: 使得新數(shù)集也具有較好的代數(shù)結(jié)構(gòu).在問(wèn)題與質(zhì)疑聲中,數(shù)學(xué)家在這個(gè)復(fù)數(shù)集上定義了新的四則運(yùn)算法則.盡管從幾何視角看,復(fù)數(shù)的加法與減法法則與平面向量的加減法有十分緊密的聯(lián)系,但大家普遍認(rèn)為虛有其表,沒(méi)什么價(jià)值.特別是對(duì)類似多項(xiàng)式乘法的復(fù)數(shù)乘法法則表示懷疑,認(rèn)為這僅僅是一種形式上的運(yùn)算,屬于智力過(guò)剩的表現(xiàn).

基于上述分析,“復(fù)數(shù)的三角表示”這堂課的邏輯起點(diǎn)就找到了: 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是什么? 筆者做了如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

2 “復(fù)數(shù)的三角表示”說(shuō)課案例主要步驟實(shí)踐

2.1 教學(xué)過(guò)程闡述

我們知道,任意一個(gè)復(fù)數(shù)z均可以用a+bi(a,b ∈R)的形式來(lái)表示.則復(fù)數(shù)z=a+bi 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,與平面向量也是一一對(duì)應(yīng)的.若z1=a+bi,z2=c+di.我們先從代數(shù)與幾何的角度來(lái)復(fù)述一下復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則:

代數(shù)角度:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(a ?c)+(b ?d)i;

圖1

圖2

圖3

這說(shuō)明兩復(fù)數(shù)z1,z2的代數(shù)加法定義從幾何角度可以視作z1,z2所對(duì)應(yīng)向量的和,兩復(fù)數(shù)z1,z2的代數(shù)減法定義從幾何角度可以視作z1,z2所對(duì)應(yīng)向量的差.

我們知道,復(fù)數(shù)的引入是數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中純粹創(chuàng)造性的理論.從上述分析可以發(fā)現(xiàn),復(fù)數(shù)的加法、減法從幾何角度有了清晰的幾何意義,從某種程度來(lái)說(shuō),這種純創(chuàng)造性的理論有了現(xiàn)實(shí)表達(dá).

下面我們?cè)倏磸?fù)數(shù)乘法的代數(shù)規(guī)定:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac ?bd)+(ad+bc)i,是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).雖然從幾何視角也可以清晰的表示出z1z2所對(duì)應(yīng)的向量,但僅從結(jié)果看,向量與向量又有什么關(guān)系呢? 由平面向量的相關(guān)知識(shí)可知,向量可以由它的大小和方向唯一確定.那我們?cè)撊绾螐倪@一角度來(lái)刻畫復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量呢?

進(jìn)而提出本節(jié)課的探究性問(wèn)題: 根據(jù)計(jì)算z1z2的運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果,請(qǐng)分別從大小和方向兩個(gè)角度猜想:z1z2與z1,z2所對(duì)應(yīng)的向量有何關(guān)系? 根據(jù)你的發(fā)現(xiàn),能否提出你的猜想并證明.從上述研究的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看: 首先,我們把z1,z2的代數(shù)表達(dá)式做了適當(dāng)?shù)母膶?使其能夠清晰的反映z1,z2(所對(duì)應(yīng)向量)的“大小”和“方向”;然后再按照復(fù)數(shù)乘法的代數(shù)規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算;最后通過(guò)結(jié)果中保留的“結(jié)構(gòu)形式”發(fā)現(xiàn)了這一重要規(guī)律.要證明結(jié)論的普遍性,必須從特殊到一般,而這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)得益于將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式做了“顯性”改寫.因此,我們必須先要解決下面這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題: 是否任意的復(fù)數(shù)均可以將代數(shù)形式進(jìn)行改寫? 使得復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)改寫后的形式可以清晰的反映復(fù)數(shù)z(所對(duì)應(yīng)向量)的“大小”和“方向”.可分為如下幾個(gè)小問(wèn)題:

問(wèn)題1 是否任意的復(fù)數(shù)均可以表示成上述形式(體現(xiàn)大小和方向)?

問(wèn)題2 如何刻畫復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)(對(duì)應(yīng)向量)的大小?

問(wèn)題3 如何刻畫復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)(對(duì)應(yīng)向量)的方向?

問(wèn)題4 復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)可改寫為?

通過(guò)對(duì)上述兩種算法的比較發(fā)現(xiàn): 一方面,將復(fù)數(shù)表示成這種形式的好處是可以直接通過(guò)兩角和(差)的正余弦公式來(lái)簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(算法一),另一方面,這種形式代入乘法法則后可以讓之前猜想的規(guī)律再一次呈現(xiàn).從某種程度來(lái)說(shuō),這種表示形式揭示了復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的數(shù)學(xué)本質(zhì).因此,這種形式是重要的.馬上給出:

一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi 都可以表示成r(cosθ+i sinθ) 的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模;θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi 的輻角.r(cosθ+i sinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi 的三角表示形式,簡(jiǎn)稱三角形式.a+bi 叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.

接下來(lái)就是一些輔助概念的細(xì)化問(wèn)題.相信在上述探究過(guò)程中,學(xué)生已經(jīng)基本掌握研究的思路和方法,可以自行補(bǔ)充.這里僅再解釋一下教材中復(fù)數(shù)輻角主值的概念: 在0 ≤θ <2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值,通常記作argz.因?yàn)樵谘芯繂?wèn)題時(shí),復(fù)數(shù)輻角的多值性有時(shí)會(huì)給我們后續(xù)工作帶來(lái)不便(類似函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)),為了使任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)有唯一確定的“值”作為其所有輻角值的代表,理論上只需要輻角θ在一個(gè)完整的2π周期(左閉右開或左開右閉均可)即可.教材中只是給了其中一種比較常見的范圍,并不唯一.需要強(qiáng)調(diào)的是,數(shù)學(xué)新概念的教學(xué)要符合常理,不能只講一定是這樣,更要講為什么是這樣,在實(shí)現(xiàn)直覺(jué)認(rèn)同的基礎(chǔ)上達(dá)到心理上的認(rèn)同,進(jìn)而上升為邏輯上的認(rèn)同.

2.2 教學(xué)觀點(diǎn)表達(dá)

從上述探究過(guò)程發(fā)現(xiàn): 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以很直觀的反映復(fù)數(shù)加減法與向量加減法的聯(lián)系,但復(fù)數(shù)的代數(shù)形式似乎掩蓋了復(fù)數(shù)乘法、除法的本質(zhì),復(fù)數(shù)的三角形式是為發(fā)掘復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義而產(chǎn)生的新視角.一言以蔽之,即復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則是從代數(shù)的角度刻畫了幾何量間的變換規(guī)律,充分體現(xiàn)了復(fù)數(shù)的工具屬性.筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)新概念教學(xué)要講清楚概念背后的“理”,要能把復(fù)雜的問(wèn)題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的、易于處理的問(wèn)題,使探究活動(dòng)始終貼近學(xué)生的實(shí)際,讓概念教學(xué)在師生對(duì)話中深入,讓思維在理性思辨中提高,在合情的方法與合理的質(zhì)疑中真正實(shí)現(xiàn)概念的進(jìn)一步細(xì)化.而不是“掐頭去尾燒中段”,在操作方面大講特講,大練特練,這就完全背離了“數(shù)學(xué)育人”的初衷.

3 “數(shù)學(xué)新概念教學(xué)”說(shuō)課的幾點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科最大的區(qū)別是數(shù)學(xué)可以基于一些非常簡(jiǎn)單的原則和觀測(cè)結(jié)果,經(jīng)過(guò)并不怎么復(fù)雜的推理,居然就能得出許多乍一看好像屬于一個(gè)完全不同的觀念范疇的命題來(lái).數(shù)學(xué)中那些層出不窮的亦或是至今尚未解決的問(wèn)題,都有待于我們另辟蹊徑,以一種新穎有效的方式應(yīng)用種種現(xiàn)成的工具,或者創(chuàng)造出一種新的工具去解決.本課例的處理正是提供了一個(gè)新的思維視角來(lái)重新認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則,特別是復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.所謂學(xué)科理念,筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的是處處彰顯思維理性和邏輯推理,一定要摒棄像文科那樣教數(shù)學(xué),而這就取決于教師的設(shè)計(jì)要始終以理貫穿.

特別是在新概念教學(xué)(一般也是章首課)中,教師要能夠在本概念產(chǎn)生的歷史經(jīng)典問(wèn)題中進(jìn)行創(chuàng)造性的改編以期適應(yīng)課堂教學(xué),在解決和引發(fā)本概念的經(jīng)典問(wèn)題的過(guò)程中,重建概念.在一系列有數(shù)學(xué)味道的問(wèn)題串中搭建好學(xué)生自主探究的平臺(tái),讓學(xué)生的思維從這些真問(wèn)題開始,在設(shè)問(wèn)、追問(wèn)、反問(wèn)過(guò)程中推動(dòng)課堂教學(xué)活動(dòng)有序而自然的開展,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)概念的進(jìn)一步深入理解.古人云: 不謀全局者,不足以謀一域;不謀萬(wàn)世者,不足以謀一時(shí).這就必然要求教學(xué)設(shè)計(jì)既要講究格局,更要關(guān)注細(xì)節(jié).“大概念”視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)該讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,教學(xué)中力求樸實(shí)無(wú)華.課題的引入要以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn),樸素地追問(wèn)現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題;探究過(guò)程要自然、有序地逼近數(shù)學(xué)本質(zhì),既要關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),也要關(guān)注基于教材的學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知邏輯鏈[2].而這才是新概念教學(xué)的良方.