安徽省阜陽市阜陽師范大學(xué)(236037)劉芳瑤 吳緣緣 儲亞偉

1 引言

不同于基礎(chǔ)教學(xué)階段的概念學(xué)習(xí),高中數(shù)學(xué)概念具有知識密度大且抽象性高,知識內(nèi)容廣且應(yīng)用性強的特點.因此,如何在有限的課堂教學(xué)中幫助學(xué)生高效構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)并提高傳統(tǒng)概念教學(xué)深度一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門話題.在抽象數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)探索中,一方面,興起的學(xué)習(xí)進(jìn)階理論鼓勵學(xué)生對知識進(jìn)行縱向鉆研;另一方面,教育部發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)中指出教學(xué)要注意信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實效性[1].隨著信息技術(shù)發(fā)展和眾多課程資源共享的持續(xù)推進(jìn),利用信息技術(shù)開展多元表征學(xué)習(xí)成為提高高中數(shù)學(xué)的有效途徑之一.學(xué)習(xí)進(jìn)階與多元表征的結(jié)合為抽象難懂的數(shù)學(xué)概念指明了教學(xué)方向.

2 理論基礎(chǔ)

2.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階理論

2.1.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階產(chǎn)生

學(xué)習(xí)進(jìn)階(Learning Progressions,簡稱LPs),也稱學(xué)習(xí)進(jìn)程.2005 年美國國家研究理事會(National Research Council,簡稱NRC)提出考慮學(xué)生理解的發(fā)展過程以及各學(xué)段學(xué)生應(yīng)分別獲取哪些科學(xué)知識、能力和理解[2].2012 年,美國正式發(fā)布了《K-12 科學(xué)教育框架: 實踐、通用概念及核心概念》最終版[3].經(jīng)過不斷發(fā)展完善,學(xué)習(xí)進(jìn)階理論逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)與其他理科學(xué)科的教學(xué)領(lǐng)域.目前,數(shù)學(xué)教育中的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究正處于起步階段,多分為以實證方法建立描述學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題認(rèn)知縱向發(fā)展的學(xué)習(xí)進(jìn)階,即數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)進(jìn)階在數(shù)學(xué)教學(xué)各階段的應(yīng)用性研究[4].

2.1.2 學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義

學(xué)習(xí)進(jìn)階概念的提出引起了教育界的廣泛關(guān)注.學(xué)者們對學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義做出了不同的表述,包括過程論: 認(rèn)為學(xué)習(xí)進(jìn)階的本質(zhì)是過程(Songer 2009、Merrit2016)[5-6];假設(shè)論:認(rèn)為學(xué)習(xí)進(jìn)階是以實證為基礎(chǔ)的假說(Salinas 2009、Duncan 2009)[7-8];方法論: 認(rèn)為學(xué)習(xí)進(jìn)階的是一種不斷深入的推理探究方法(Smith 2006)[9];序列論: 認(rèn)為學(xué)習(xí)進(jìn)階的本質(zhì)是合乎邏輯的概念序列(Roseman 2006)[10]等觀點.但是迄今為止仍然沒有一個廣為接受的概念定義.NRC 指出學(xué)習(xí)進(jìn)階是描述學(xué)生對知識連續(xù)的、逐步深入的思維過程,知識的理解存在多個中間水平[11-12].

依據(jù)NRC 的定義,學(xué)習(xí)進(jìn)階是對某個學(xué)科知識進(jìn)行縱向鉆研的過程,在此過程中學(xué)生的理解存在不同的水平節(jié)點,學(xué)生通過持續(xù)學(xué)習(xí)逐漸走向深入,由問題解決“新手”慢慢成長為問題解決“專家”.

2.2 多元表征理論

表征是對客觀事物的反映.同一事物的不同表征形式,叫該事物的多元表征(Multiple Representations)[13].多元表征包括外在表征和內(nèi)在表征.外在表征是指可以通過語言、文字、符號、圖象等形式存在的表征,學(xué)習(xí)者通過外在表征對知識進(jìn)行學(xué)習(xí),了解其概念、性質(zhì)、圖象等相關(guān)屬性.內(nèi)在表征是指存在于學(xué)習(xí)者頭腦中而無法直接觀察的心智表征或?qū)W習(xí)者擁有的心智結(jié)構(gòu)[13],學(xué)習(xí)者通過內(nèi)在表征進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化、想象推理等思維活動.教師運用多種教學(xué)手段,將知識的外在表征形式展示并傳遞給學(xué)習(xí)者,促進(jìn)學(xué)習(xí)者的內(nèi)在表征學(xué)習(xí)與轉(zhuǎn)化,加深對于知識的多元理解.

通過知網(wǎng)檢索發(fā)現(xiàn),已有較多學(xué)者和一線教師對多元表征進(jìn)行研究,其中包含大量融合多元表征的教學(xué)案例開發(fā).由此可見,多元表征與教學(xué)的融合深受認(rèn)可,其使用有利于提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率.信息技術(shù)的發(fā)展為多元表征教學(xué)提供了先進(jìn)的教學(xué)技術(shù)和開源的動態(tài)軟件.通過多種形式的表征,加速學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的深入理解.

3 多元表征與學(xué)習(xí)進(jìn)階整合

3.1 多元表征與學(xué)習(xí)進(jìn)階整合必要性

張穎之博士(2016)把學(xué)習(xí)進(jìn)階分為錨定起點(學(xué)生已有的知識水平)、錨定終點(教學(xué)過后以期達(dá)到的知識水平)和多個中間水平[14].教師可以在教學(xué)過程中利用多種表征構(gòu)造適宜的水平節(jié)點或“最近發(fā)展區(qū)間”幫助學(xué)生跨越知識障礙,從而不斷提升學(xué)生對學(xué)科的認(rèn)知水平,并深入構(gòu)建知識體系.

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論強調(diào)學(xué)生對知識點的學(xué)習(xí)需要分階段完成,且各個階段設(shè)計合理,每一階段都是對前一階段的深入與改進(jìn),都是基于前一階段[15].從認(rèn)知層面來說,采用多元表征使課堂變得生動直觀更利于學(xué)生的學(xué)習(xí),尤其是對于較為抽象的概念和性質(zhì),多元表征教學(xué)可以幫助學(xué)生減輕概念學(xué)習(xí)認(rèn)知障礙,加速學(xué)習(xí)進(jìn)階過程.

3.2 多元表征與學(xué)習(xí)進(jìn)階的整合建議

理解當(dāng)前學(xué)段學(xué)生的身心發(fā)展水平、課程重難點和過程節(jié)點.把握學(xué)生已有知識水平和期望達(dá)到的知識水平,即學(xué)生前階段的學(xué)習(xí)水平和《課標(biāo)》中對其章節(jié)課程內(nèi)容學(xué)習(xí)具體要求.教師把學(xué)習(xí)進(jìn)階過程劃分節(jié)點,循序漸進(jìn),環(huán)環(huán)深入.

依據(jù)不同節(jié)點的難易程度使用適宜的表征方法.在學(xué)習(xí)進(jìn)階理論與多元表征整合的過程中,對于低水平的學(xué)習(xí)節(jié)點,教師可以采用語言表征進(jìn)行闡述說明,對于高水平的學(xué)習(xí)節(jié)點,教師可采用圖象表征、動畫表征等一種或多種生動的外在表征融合進(jìn)行教學(xué).抓住核心節(jié)點,多種表征強化鞏固.例如對于集合、函數(shù)等抽象概念的教學(xué),教師可以類比信息技術(shù)中文件夾和文檔的關(guān)系對集合元素的互異性進(jìn)行教學(xué),充分利用信息技術(shù)讓學(xué)生動手操作劃分文檔,幫助學(xué)生理解的同時增強課堂的趣味性.

根據(jù)劃分的節(jié)點進(jìn)行過程性教學(xué),將學(xué)習(xí)過程細(xì)化后進(jìn)行測試考察,利用過程性評價的反饋功效,把握關(guān)鍵點,精準(zhǔn)改進(jìn)教學(xué)與提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果.

3.3 對概念教學(xué)的建議

概念是構(gòu)成科學(xué)理論知識體系的基本單位,反映本質(zhì)核心內(nèi)容或其對應(yīng)關(guān)系.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,概念的學(xué)習(xí)往往隱含著數(shù)學(xué)性質(zhì)的探究方向,甚至某些知識模塊中的數(shù)學(xué)問題可以直接應(yīng)用概念求解.基于此,學(xué)生要學(xué)習(xí)和掌握任何知識方法,必須重視對其知識組成基本概念的理解和掌握.

中學(xué)教師不能僅滿足于當(dāng)前學(xué)段的學(xué)習(xí),還要掌握基礎(chǔ)教育階段的知識概念,對于具有銜接性與遞進(jìn)性的概念,需要明確各個學(xué)段的教材教法和課標(biāo)要求,進(jìn)行自然銜接.對概念的把握層層遞進(jìn),抓住核心概念重點教學(xué).

4 多元表征與學(xué)習(xí)進(jìn)階整合在概念學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

高中階段的數(shù)學(xué)概念與基礎(chǔ)教育階段大不相同.以人教版必修一A 版第三章函數(shù)為例,對其概念的教學(xué)需要在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上進(jìn)行思維鏈接,教學(xué)過程中制造認(rèn)知沖突,扭轉(zhuǎn)學(xué)生從前的片面經(jīng)驗(例如: 能寫出對應(yīng)關(guān)系表達(dá)式的才叫函數(shù)),引導(dǎo)學(xué)生深入思考,加深知識的縱向?qū)W習(xí),培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度.函數(shù)的概念是學(xué)生進(jìn)行初高中知識深入銜接的起點,其下位知識包括冪函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的概念以及三角函數(shù)的概念,由此可見函數(shù)的概念在函數(shù)主題乃至整個高中學(xué)習(xí)的重要性.在對函數(shù)主題的概念進(jìn)行講解時借助多元表征中的圖片表征以及動態(tài)表征能夠幫助學(xué)生更加理解各類函數(shù)的本質(zhì)與區(qū)別.因此,運用多元表征是進(jìn)行深度概念教學(xué)的有效途徑之一.

4.1 明確錨定起點

對于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)進(jìn)階而言,學(xué)生在小學(xué)第二學(xué)段的學(xué)習(xí)過程中初步接觸函數(shù),理解按正反比例分配的含義,雖然沒有深入學(xué)習(xí)函數(shù)概念,但按照《課標(biāo)》的要求應(yīng)已具備根據(jù)圖象圖表進(jìn)行正比例反比例關(guān)系的判斷,為初中(第三學(xué)段)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).學(xué)生在初中階段了解函數(shù)概念和表示方法,能用變量表示函數(shù)之間的關(guān)系[1].故將錨定起點定為經(jīng)歷初中學(xué)習(xí)過后的函數(shù)知識水平,如表1 所示:

表1 錨定起點

在此過程中采用語言表征和圖象表征,幫助學(xué)生回憶理解,達(dá)到進(jìn)階起點水平.

4.2 劃分過程節(jié)點

(1)過程節(jié)點一

將變量與變量的關(guān)系延伸到集合與集合對應(yīng)關(guān)系.參考人教版A 版必修一教材[17],問題1 中復(fù)興號以350km/h 的速度勻速運行半個小時.詢問學(xué)生在1h 之后復(fù)興號是否前進(jìn)了350km,順勢明確自變量范圍和函數(shù)值范圍.將變量與變量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合和集合的關(guān)系.此過程需要學(xué)生掌握基本的集合表示法,教師運用語言表征提問,引導(dǎo)學(xué)生深入思考更精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式.

(2)過程節(jié)點二

函數(shù)三要素.問題二中延續(xù)的對應(yīng)關(guān)系,設(shè)置不同情景,構(gòu)建形式相同但自變量和函數(shù)值集合均不相同的問題情景.運用語言表征詢問學(xué)生問題一與問題二中的函數(shù)是否相同,順勢講解函數(shù)三要素.函數(shù)相同必須要滿足三個要素均相同的條件,缺一不可.

(3)過程節(jié)點三

函數(shù)表示方法.利用學(xué)生已有錨定起點的函數(shù)概念水平,使學(xué)生明確問題三和問題四本身以圖象表征和表格表征的形式展示表示對應(yīng)關(guān)系.加上問題一二中的解析式,構(gòu)成函數(shù)的三種表示方法,即解析法、圖象法和列表法,在此過程可以使用GeoGeBra 或幾何畫板畫出問題四的對應(yīng)圖象,明確其對應(yīng)關(guān)系.

(4)過程節(jié)點四(核心概念)

函數(shù)定義.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四個問題中的共同點,總結(jié)歸納出函數(shù)的概念.此部分為函數(shù)章節(jié)中的核心概念.學(xué)生在教師引導(dǎo)下歸納共性總結(jié)新知,對于此類歸納法總結(jié)定義,可借用表格表征將上述四個問題重新回顧,直觀展示四個問題的異同點.

(5)過程節(jié)點五

區(qū)間的定義.介紹開閉區(qū)間的表示方法與含義.為函數(shù)定義域、值域表述提供了一種更為簡潔的方法.借助圖象表征和符號表征幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言上理解區(qū)分開閉區(qū)間的異同.

(6)過程節(jié)點六

分段函數(shù).借助圖象表征了解簡單的分段函數(shù),并根據(jù)定義域進(jìn)行表示.可以在簡單的實際問題中應(yīng)用分段函數(shù)思想,例如納稅、出租車分段計費等情況.不局限于課本給出的例子,與生活結(jié)合,讓學(xué)生主動思考生活中的分段函數(shù)或嘗試對某段分段函數(shù)設(shè)置問題情景,體會數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活,拓展學(xué)生的發(fā)散創(chuàng)新思維.

(7)明確錨定終點

錨定終點一般為經(jīng)過學(xué)習(xí)要求學(xué)生達(dá)到的知識水平和能力素養(yǎng).按照《課標(biāo)》中對函數(shù)概念的描述,其錨定終點見表2 所示:

表2 錨定終點

進(jìn)階過程設(shè)計流程如圖1.

圖1 函數(shù)概念進(jìn)階過程設(shè)計流程圖

5 小結(jié)

在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中將學(xué)習(xí)進(jìn)階理論與多元表征結(jié)合,分析概念教學(xué)中的進(jìn)階節(jié)點,利用多元表征教學(xué),分析各個節(jié)點的適用表征方法,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)深度.在概念教學(xué)中提高學(xué)生的多重數(shù)學(xué)能力.

過程進(jìn)階作為一種新興的教學(xué)理念目前正在逐漸被大家關(guān)注,它將課堂知識合理分解,螺旋前進(jìn)層層深入、細(xì)化課堂,同時也為過程性評價和課程設(shè)計提供了方向.教師可以從各個節(jié)點出發(fā)評價,結(jié)合學(xué)生情況在不同節(jié)點深入設(shè)計.在概念教學(xué)中適當(dāng)融合多元表征進(jìn)行教學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和表征間的轉(zhuǎn)化.筆者相信,學(xué)習(xí)進(jìn)階理論與多元表征教學(xué)結(jié)合對教學(xué)開展和學(xué)生學(xué)習(xí)大有脾益,值得每位教學(xué)工作者深入研究和實踐.