廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510375)蔡 琳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》指出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),主要包括三個(gè)方面: 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.初中階段,核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為: 抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)[1].可見,數(shù)學(xué)抽象能力位于核心素養(yǎng)首位.《標(biāo)準(zhǔn)》同時(shí)指出: 會(huì)用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等描述現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,形成合適的運(yùn)算思路解決問題,形成抽象能力、模型觀念[1].由此,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落地需要經(jīng)過(guò)一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程,而這一過(guò)程與U型契合.

U 型模式是基于深度學(xué)習(xí)理論提出的,深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為: 知識(shí)的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷還原與下沉、體驗(yàn)與探究、反思與上浮的過(guò)程,這一過(guò)程就像一個(gè)U 型.還原的過(guò)程即知識(shí)的“下沉”過(guò)程,教師要通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境還原知識(shí)的背景和現(xiàn)象,激起學(xué)生的疑問,學(xué)生要通過(guò)回憶,建立起書本知識(shí)與個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)性,從而提出問題,進(jìn)入“沉浸式”學(xué)習(xí)狀態(tài).U 型的底部是“潛行”,教師要基于知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)“層進(jìn)式”的問題鏈或任務(wù)單驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí),是學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行體驗(yàn)與探究的過(guò)程.第三個(gè)環(huán)節(jié)是“上浮”,學(xué)生將經(jīng)過(guò)“自我加工”的知識(shí)進(jìn)行個(gè)人意義的升華和表達(dá),教師評(píng)價(jià)學(xué)生知識(shí)理解的深度和思維發(fā)展的水平,并對(duì)其沒有達(dá)到的思維深度進(jìn)行補(bǔ)償教學(xué)[2],如圖1.

圖1

本文以人教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第八章活動(dòng)課“二元一次方程組解的幾何意義”教學(xué)為例,談?wù)勅绾位贕eoGebra 實(shí)現(xiàn)U 型模式發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1 下沉: 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

通過(guò)GeoGebra 創(chuàng)設(shè)情境,演示實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),并提出問題,進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的入口.

問題1 你能寫出二元一次方程x ?y=0 的解嗎? 你能類比實(shí)數(shù)用“形”表示出解嗎?

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考,教師可以進(jìn)一步引導(dǎo): 你能寫出二元一次方程x ?y=0 的一個(gè)解嗎? 你能把這個(gè)解用一個(gè)點(diǎn)表示出來(lái)嗎? 它的解轉(zhuǎn)化為形的橋梁是什么? 為什么橋梁是平面直角坐標(biāo)系? 師生共同明確: 在平面直角坐標(biāo)系中,一組有序數(shù)對(duì)表示一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),二元一次方程x ?y=0的解有無(wú)數(shù)個(gè),嘗試標(biāo)出一些以方程x ?y=0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖類比實(shí)數(shù)通過(guò)數(shù)抽轉(zhuǎn)化為點(diǎn),建立知識(shí)與個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)性,讓學(xué)生初步感受二元一次方程的解與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)有關(guān)聯(lián).問題1 和教師的進(jìn)一步引導(dǎo)使學(xué)生通過(guò)思考得到二元一次方程的解轉(zhuǎn)化為形的路徑和方法,進(jìn)而展開自主探究.

2 潛行: 動(dòng)手操作,化“數(shù)”為“形”

“潛行”位于U 型底部,是一個(gè)體驗(yàn)與探究的“層進(jìn)式”學(xué)習(xí)過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)GeoGebra 作圖,探究二元一次方程的幾何意義、二元一次方程組解的幾何意義,感知數(shù)的理性,形的直觀,體悟?qū)W科思想方法,積累從特殊到一般,從具體到抽象的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).這個(gè)過(guò)程的推進(jìn)要依靠層層遞進(jìn)、逐層深入的問題鏈來(lái)驅(qū)動(dòng).

2.1 二元一次方程的幾何意義的探究

問題2 完成問題1,要經(jīng)過(guò)哪些步驟?

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考,師生共同明確求解步驟: 第一步,在表1 中,寫出方程x ?y=0 的一些解,并把它們改寫成有序數(shù)對(duì);第二步,在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(x,y).

表1

追問1 當(dāng)我們描出的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無(wú)窮多時(shí),你有什么發(fā)現(xiàn)?

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立用GeoGebra 作圖,教師共享學(xué)生作品,并演示當(dāng)描點(diǎn)個(gè)數(shù)足夠多時(shí),方程x ?y=0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)成了一條直線,如圖2.

圖2

追問2 過(guò)這些點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線,你有什么發(fā)現(xiàn)?

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立用GeoGebra 作圖.師生歸納: 過(guò)任意兩點(diǎn)所作的直線重合,再次明確:x ?y=0 的圖象是一條直線,且這條直線的確定只用描兩個(gè)點(diǎn),即兩點(diǎn)確定一條直線.

追問3 在這條直線上任取一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程x ?y=0 的解嗎?

師生活動(dòng)學(xué)生完成后,教師用GeoGebra 作出同樣的圖象,拖拉直線上的點(diǎn)讓學(xué)生觀察點(diǎn)坐標(biāo)變化后,x ?y的值不變,得出: 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一條直線上,這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.從而得到以方程x ?y=0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫做方程x ?y=0 的圖象,它的圖象是一條直線.

問題3 同桌互相給出一個(gè)二元一次方程,并畫出圖象,你能得到什么結(jié)論?

師生活動(dòng)學(xué)生完成GeoGebra 作圖,同桌交流.師生共同明確: 任何一個(gè)二元一次方程的圖象都是一條直線,且該直線可以通過(guò)與x軸,y軸的兩個(gè)交點(diǎn)唯一確定.以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一條直線上,這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.

設(shè)計(jì)意圖史寧中教授指出: 數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的,而不是“證”出來(lái)的,雖然看出的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定正確,但指引了數(shù)學(xué)研究的方向[3].在問題的驅(qū)動(dòng)下,學(xué)生借助GeoGebra,經(jīng)歷列表(把解轉(zhuǎn)化為有序數(shù)對(duì))、描點(diǎn)、連線的作圖過(guò)程,從極限和歸納推理兩個(gè)維度“看”出二元一次方程x ?y=0 的圖象是一條直線.并通過(guò)GeoGebra 演示論證“以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一條直線上,這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”的充分必要性.問題3 通過(guò)同桌合作交流,歸納推理得到結(jié)論: 二元一次方程ax+by+c=0(a,b不同時(shí)為0)的圖象是一條直線,這也為今后學(xué)習(xí)一次函數(shù)等埋下伏筆.在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生不但明白了研究一個(gè)問題的套路,而且初步體會(huì)到了極限的思想,兩次經(jīng)歷了從特殊到一般的思維過(guò)程,感受了知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的神奇,發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.2 二元一次方程組解的幾何意義的探究

問題4 在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出二元一次方程組中的兩個(gè)二元一次方程的圖象,你能得到什么結(jié)論?

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立完成GeoGebra 作圖,如圖3,交流討論.若學(xué)生理解困難,教師可以引導(dǎo)思考方向: 觀察兩條直線相交的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組解的關(guān)系.師生共同明確:兩條直線相交于一點(diǎn),且該點(diǎn)的坐標(biāo)為二元一次方程組的解,即二元一次方程組解的幾何意義是兩條直線的交點(diǎn).同時(shí),也讓學(xué)生從圖形角度認(rèn)識(shí)解二元一次方程組就是求兩個(gè)二元一次方程的公共解.

圖3

問題5 請(qǐng)用圖象法解下列方程組.

師生活動(dòng)4 人小組分工完成,2 人解方程組(1),另2 人解方程組(2),交流討論,得出結(jié)論: 方程組(1)無(wú)解,方程組(2)有無(wú)數(shù)解,如圖4 和圖5.

圖4

圖5

師生進(jìn)一步明確: 若兩條直線交于一點(diǎn),則方程組有唯一解;若兩條直線平行,則方程組無(wú)解;若兩條直線重合,則方程組有無(wú)數(shù)解.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)完成3 個(gè)方程組的圖象解法,不但能夠歸納出二元一次方程組解的幾何意義是兩條直線的交點(diǎn),而且用幾何直觀解釋了二元一次方程組的解存在3 種情形: 唯一解、無(wú)解和無(wú)數(shù)解.學(xué)生再次積累了從特殊到一般的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的神奇,發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

追問觀察問題4 與問題5 的3 個(gè)方程組的結(jié)構(gòu),你能歸納出關(guān)于x,y的二元一次方程組

(a1,b1不同時(shí)為0;a2,b2不同時(shí)為0)解的一般結(jié)論嗎?

師生活動(dòng)小組充分交流討論,代表作答,師生共同總結(jié)歸納,明確結(jié)論,教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)其演繹證明:

(1) 若b1≠ 0,b2≠ 0,①× b2?②× b1,得(a1b2?a2b1)x=b2c1?b1c2,當(dāng)a1b2≠a2b1時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)a1b2=a2b1,b2c1≠b1c2時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)a1b2=a2b1,b2c1=b1c2時(shí),方程組有無(wú)數(shù)解.

(2)若b1=b2=0,a1≠ 0,a2≠ 0,當(dāng)a2c1≠a1c2時(shí),方程組無(wú)解;當(dāng)a2c1=a1c2時(shí),方程組有無(wú)數(shù)解.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)3 個(gè)方程組的觀察,由具體到抽象,歸納出二元一次方程組解的一般結(jié)論,并通過(guò)符號(hào)演繹證明,到達(dá)更高級(jí)別的抽象,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得以培養(yǎng).

3 上浮: 由“形”入“數(shù)”,升華表達(dá)

上浮是U 型模式的出口,是學(xué)生對(duì)知識(shí)的個(gè)性化理解,自我建構(gòu)并獲得知識(shí)的意義增值.

問題6 請(qǐng)根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系,設(shè)計(jì)一道方程組,并作圖驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)“潛行”,學(xué)生借助GeoGebra 作圖,更多地感知了由“數(shù)”的抽象到“形”的直觀.問題6 則由“形”到“數(shù)”,讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微”的辯證關(guān)系,以及感性思維與理性思維相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程.同時(shí)開放性問題的設(shè)計(jì)考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

教師點(diǎn)評(píng)由于本題是道開放性的試題,學(xué)生設(shè)計(jì)的方程組基本上包含了唯一解,無(wú)解和無(wú)數(shù)解的情況.其中有學(xué)生能夠根據(jù)兩直線相交或平行的特殊位置關(guān)系,設(shè)計(jì)特殊且具有一般性的方程組,比如如圖6 和圖7,說(shuō)明學(xué)生體悟到了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法,積累了從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展了幾何直觀的抽象素養(yǎng).

圖6

圖7

史寧中教授把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素: 抽象、推理、模型[3],其中抽象是形成理性思維的基礎(chǔ).但知識(shí)不能直接轉(zhuǎn)化為素養(yǎng),從文中可以看出基于深度學(xué)習(xí)的U 型模式是從知識(shí)到素養(yǎng)的通道,并且具有高度的可操作性,能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落地.需要注意的是,不是每個(gè)知識(shí)都適合發(fā)展抽象素養(yǎng),教師要善于發(fā)掘適合發(fā)展抽象素養(yǎng)的知識(shí)載體,本節(jié)活動(dòng)課“二元一次方程組解的幾何意義”為發(fā)展抽象素養(yǎng)提供了良好的土壤.另外,最初的抽象是基于直觀的,教師要積極探索信息技術(shù)與學(xué)科知識(shí)融合,本文借助GeoGebra,學(xué)生在經(jīng)歷還原與下沉、體驗(yàn)與探究、反思與上浮的U 型過(guò)程中,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)自然就達(dá)成了.