摘? 要：以研究有理數(shù)直接運算法則為載體，讓學生基于有理數(shù)加法法則的學習經(jīng)驗去探究新的有理數(shù)減法法則，感悟觀察與聯(lián)想、分類與比較、類比與轉(zhuǎn)化等研究問題的方法，進一步體會教材中問題解決的策略，感悟數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)復習教學的高層次目標，促進學生解題能力和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的整體提升.

關(guān)鍵詞：學習經(jīng)驗;解題路徑;數(shù)學本質(zhì);復習教學

九年級學生經(jīng)過中考一輪復習后，對單元知識系統(tǒng)性的認識有了提升，但也出現(xiàn)了學習上的高原現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為易題不愿做，難題做不來，感覺會做，下手困惑等. 如何進一步提升學生的解決問題能力是后續(xù)復習的重點. 為此，筆者開設了一節(jié)復習教學研究課——有理數(shù)減法法則新探與問題解決，得到了聽課教師的好評. 現(xiàn)將本課的教學過程整理如下，以期與讀者共勉.

一、教學設計說明

解題策略的教學始終是數(shù)學教學中的一個難點. 受初中生思維方式的影響，教師不能一味對初中生進行抽象的解題理論講解，而是要盡可能地讓他們經(jīng)歷具體問題的探究，在親身參與的過程中感悟解題之道. 設計研究有理數(shù)減法的直接運算法則，是一個新奇的問題，能引發(fā)學生的探究欲望. 學生在有理數(shù)加法法則學習過程中積累的經(jīng)驗，可以為解決問題提供幫助. 學生在這樣一個新奇的探究活動中，能夠感悟數(shù)學思想方法、技能及問題解決的路徑. 帶著這些感悟去審視教材中一些問題的解決方式，可以達到在復習課中加深學生對教材的理解的目的. 更重要的是，經(jīng)過教師的專業(yè)化引導，這些活動經(jīng)驗能夠逐步內(nèi)化為學生解決問題的基本策略.

二、教學過程及評析

1. 展示課題，提出問題

師：同學們，對于課題“有理數(shù)減法法則新探與問題解決”，談談你的想法.

生1：有理數(shù)減法法則是：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù). 它還有新法則嗎？感覺沒有呀！

生2：有理數(shù)減法的新法則是什么？可以從哪幾個角度進行探究？

師：帶著預想，我們開始本節(jié)課的探究學習. 大家已經(jīng)了解有理數(shù)乘法的逆運算——除法，其運算法則有兩種方式：一種是轉(zhuǎn)化為乘法，即除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù);另一種是直接確定商的符號及絕對值，即兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除. 那么，作為加法的逆運算，減法也有兩種表述方式嗎？也就是說，能否不通過轉(zhuǎn)化為加法的形式而直接運算呢？

【評析】心理學研究表明，新異的東西往往能激活人的大腦，使人自愿地去探索和創(chuàng)造. 類比除法的兩種運算方式提出有理數(shù)減法直接運算法則，屬于一個新異的問題，能夠引發(fā)學生探究的欲望. 課堂從學生分享課題的直接感受出發(fā)，設置懸念，與后續(xù)問題相聯(lián)系，目的是使學生的思維既能入乎其內(nèi)，又能出乎其外.

2. 確立目標，研究問題

師：在有理數(shù)的減法運算中，如何直接確定“差”的符號及其絕對值呢？我們回顧一下有理數(shù)加法法則是如何產(chǎn)生的，能否為我們構(gòu)建減法法則帶來一些啟示？

生3：有理數(shù)加法運算通?？梢苑秩剑阂皇欠诸愋?二是確定“和”的符號;三是確定“和”的絕對值.

師：你能仿照有理數(shù)加法運算法則的探究過程，完成我們的目標嗎？試對以下12個減法算式進行分類，并觀察“差”的符號及其絕對值與減數(shù)、被減數(shù)之間的關(guān)系.

教師出示如下12個減法算式.

（1）3 - 5 = -2;????????? （2）3 - （- 5） = 8;

（3）（- 3） - 5= -8;?? （4）（- 3） - （-5） = 2;

（5）-6 - （-6） = 0;? （6）-7 - 0 = -7;

（7）0 - （-7） = 7;?? （8）（- 6） - 3 = -9;

（9）9 - （-11） = 20;????? （10）4 - （-6） = 10;

（11）8 - 3 = 5;???????? （12）（-3） - 2 = -5.

學生討論交流，形成兩種分類方式：第一種是按照減數(shù)與被減數(shù)的符號是同號還是異號，把（1）（4）（5）（11）歸為一類;第二種是按照差的符號進行分類，把（1）（3）（6）（8）（12）歸為一類，因為他們的差均為負值.

師：為什么差的值為負值呢？

生4：減數(shù)大于被減數(shù).

師：哪種分類好？

生5：我贊同第二種分類，先比較減數(shù)與被減數(shù)的大小，這樣就可以確定差的符號.

師：如何確定差的絕對值？

生6：當減數(shù)與被減數(shù)同號時，差的絕對值等于兩數(shù)絕對值之差（大的絕對值減去小的絕對值）;當減數(shù)與被減數(shù)異號時，差的絕對值等于兩數(shù)絕對值之和.

師：很好！我們把過程再梳理一下，兩個有理數(shù)相減的運算步驟為先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，確定差的符號，再由兩數(shù)的符號來確定差的絕對值.

經(jīng)過師生的共同討論，有理數(shù)減法的直接運算法則最終形成：兩數(shù)相減，先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，如果是大數(shù)減小數(shù)，那么差的符號為正，當兩數(shù)同號時，用較大的絕對值減較小的絕對值，當兩數(shù)異號時，把兩數(shù)的絕對值相加;如果是小數(shù)減大數(shù)，那么差的符號為負，當兩數(shù)同號時，用較大的絕對值減較小的絕對值，當兩數(shù)異號時，把兩數(shù)的絕對值相加;如果兩數(shù)相等，那么差為0;任何數(shù)減去0，仍是本身;0減去一個數(shù)，差是這個數(shù)的相反數(shù).

【評析】有理數(shù)減法直接運算法則的結(jié)論不是本節(jié)課教學的重點，不必追求結(jié)論的完美表述，教學重點在于讓學生經(jīng)歷探究過程，體驗研究問題的路徑. 學生如果按照減數(shù)與被減數(shù)的符號來分類，則先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，確定差的符號，再由兩數(shù)的符號來確定差的絕對值. 當學生大致理清思路，處于憤悱狀態(tài)時，教師要及時啟發(fā)引導，使學生的思維始終處于激活狀態(tài).

3. 反思小結(jié)，回歸教材

師：有理數(shù)減法法則的新建，給我們帶來了哪些解決問題的啟示？

生7：有理數(shù)減法也有直接運算的法則，同除法一樣，有兩種運算方式.

師：看來我們要善于思考，敢于打破常規(guī)，才能有所創(chuàng)新.

生8：有理數(shù)減法的兩種法則，一種是將減法運算轉(zhuǎn)化為加法，另外一種是直接確定差的符號及絕對值. 顯然，轉(zhuǎn)化法通用，且比較簡單.

師：這個評價很中肯. 我們不一定要運用直接確定差的符號及絕對值的方法求解問題，但是我們要知道它的存在，感受探究過程中蘊含的解題策略.

生9：我們模仿有理數(shù)加法的探究過程，得到了新的有理數(shù)減法法則.

師：講得好！有理數(shù)加法法則的探究過程和結(jié)論，為我們研究有理數(shù)減法法則提供了經(jīng)驗. 大家能利用類似地經(jīng)驗，重新審視教材中的問題嗎？例如，求證四邊形的內(nèi)角和為360°.

生10：在四邊形[ABCD]中，連接對角線[AC]，把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為兩個三角形的內(nèi)角和來處理.

生11：在四邊形[ABCD]內(nèi)部找一點[O]，連接[OA，][OB，OC，][OD，] 把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為四個三角形的內(nèi)角和，然后再減去一個周角就可以證明了.

師：大家都使用了三角形內(nèi)角和的結(jié)論來處理問題，那么，三角形內(nèi)角和是如何證明的？

生12：如圖1，過點[A]作平行線，利用平行線的性質(zhì)即可證明“三角形的內(nèi)角和是180°”.

師：你能模仿這個過程，證明“四邊形的內(nèi)角和是360°”嗎？

生12：如圖2，分別過點[A，D]作線段[BC]的平行線，利用平行線的性質(zhì)即可證明“四邊形的內(nèi)角和是360°”.

師：看來，三角形內(nèi)角和的探究過程與結(jié)論，同樣為四邊形內(nèi)角和的探究提供了幫助. 如果想仿照三角形內(nèi)角和的探究方法探究四邊形的內(nèi)角和，則需要對四邊形進行作平行線處理;如果想直接利用“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論來探究四邊形的內(nèi)角和，只需要連接四邊形的一條對角線，把問題進行轉(zhuǎn)化. 類似的例子在教材中還有很多. 例如，學習完全平方公式時，運用多項式乘多項式法則和探究圖形面積之間的關(guān)系得到了兩數(shù)和的平方的結(jié)論，即[a+b2=a2+][2ab+b2.] 當解決兩數(shù)差的平方問題時，也就有了兩種方法：一種是模仿兩數(shù)和的探究過程，采用多項式乘多項式法則或探究圖形面積之間的關(guān)系得到相應的結(jié)論[a-b2=a2-2ab+][b2;] 另一種是從結(jié)論出發(fā)，把[a-b2]轉(zhuǎn)化為[a+-b2]的形式，然后采用公式計算.（教師通過PPT展示上述相關(guān)內(nèi)容，學生邊看邊思考.）

師：以上活動的經(jīng)驗，給我們解決問題帶來了哪些啟示？

生13：解決問題可以從兩個角度去思考. 一個是從已解決問題的過程視角;另外一個是從已解決問題的結(jié)論視角.

師：是的，已經(jīng)解決問題的經(jīng)驗，可以為類似問題的解決提供幫助. 問題探究過程提供了方法、程序，在類似問題的解決中可以類比、借鑒;問題的結(jié)論塑造了一種模型，可以把類似問題向這個模型轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成功時問題也就解決了.

【評析】設計回歸教材的環(huán)節(jié)，目的不僅是讓學生重新審視教材中的一些問題，加深對教材的理解，而且是使學生的思維數(shù)次穿梭于過程與結(jié)論之間，在一次次地類比與轉(zhuǎn)化的感悟中，將感性認識上升為理性經(jīng)驗，復習目標從建構(gòu)知識升華到建構(gòu)解題路徑. 通過這樣的環(huán)節(jié)設計，也使整堂課始終聚焦于問題解決的策略.

4. 問題解決，概況提升

師：大家運用前面解決問題的經(jīng)驗來解決下面的題目.

題目? 在正方形[ABCD]中.

（1）如圖3，如果點[E，F(xiàn)]分別在[BC，CD]上，且[AE⊥BF，] 垂足為點[M，] 那么[AE]與[BF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

（2）如圖4，如果點[E，F(xiàn)，G]分別在[BC，CD，DA]上，且[GE⊥BF，] 垂足為點[M，] 那么[GE]與[BF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

（3）如圖5，如果點[E，F(xiàn)，G，H]分別在[BC，CD，][DA，AB]上，且[GE⊥HF，] 垂足為點[M，] 那么[GE]與[HF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

[M][A][B][C][D][E][F][圖3] [M][A][B][C][D][E][F][圖4][G] [M][A][B][C][D][E][F][圖5][G][H]

生14：在第（1）小題的證明過程中，我利用“AAS”判定[△ABE]≌[△BCF，] 結(jié)合“全等三角形的對應邊相等”證得結(jié)論. 如果在圖4中過[G]點作[GE⊥BC，] 也可以利用“AAS”判定[△GEE]≌[△BCF，] 利用“全等三角形的對應邊相等”即可證明第（2）小題的結(jié)論. 用同樣的方法也可以解決第（3）小題.

師：還有不同的思路嗎？

生15：第（1）小題的解決為后續(xù)問題的解決提供了一個結(jié)論模型，在解決第（2）小題時，只要過點[A]作[AE∥GE，] 易得[AE⊥BF，] 所以由第（1）小題的結(jié)論，得[AE=BF.] 接下來，只要證明[AE=GE]就可以了. 第（3）小題的處理和第（2）小題是一樣的.

師：解題經(jīng)驗可以分為過程性經(jīng)驗和結(jié)論性經(jīng)驗，我們可以從這兩個角度去解決新的問題. 波利亞在《怎樣解題》一書中提到，面對新問題時可以通過以下的設問來尋求解題的策略：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題……這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素……同學們，回頭再看本節(jié)課的探究課題——有理數(shù)減法法則新探與問題解決，你有什么收獲呢？（學生在一起交流本節(jié)課的收獲，能從更高的層次來思考問題解決的元認知策略.）

【評析】上述題目中的第（2）小題和第（3）小題都可以基于第（1）小題的過程或結(jié)論得以解決. 學生在上一環(huán)節(jié)中所積累的經(jīng)驗剛好在實踐中派上用場. 解決此題，既給了學生一個驗證經(jīng)驗的機會，又使學生再次感悟這種解題的路徑. 本環(huán)節(jié)中，教師把經(jīng)驗分為過程性經(jīng)驗和結(jié)論性經(jīng)驗兩個維度進行解讀，并引用波利亞的方法進行分析，滲透數(shù)學文化，完善了學生的解題元認知策略.

三、結(jié)束語

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法. 這為數(shù)學教學指明了方向. 在復習課教學中，教師不能只注重知識的結(jié)論，還要有意識地引導學生參與知識的探究過程，感悟具體事例背后的數(shù)學本質(zhì). 例如，探究新的有理數(shù)減法法則，目的不是讓學生學習一種新的法則，而是借此引導學生體會觀察與聯(lián)想、分類與比較、類比與化歸、特殊與一般等解決問題的經(jīng)驗和方法，再通過教師的專業(yè)化引導，整合、提煉教材中不同內(nèi)容的解決方案，使學生的思維活動經(jīng)驗上升到解決問題的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化的層面，實現(xiàn)復習教學的高層次目標. 而這些經(jīng)驗的獲得重在參與、貴在反思、妙在聯(lián)系. 蘇格拉底曾說：問題是接生婆，它能幫助新思想的誕生. 因此，設計好的探究問題，整體提升學生綜合能力是復習教學課的不懈追求.

參考文獻：

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