摘? 要：數(shù)學(xué)拓展課是一種強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生動(dòng)腦和動(dòng)手的課型，主要目的是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，習(xí)得數(shù)學(xué)思維策略，開拓?cái)?shù)學(xué)思維方式，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在“直角三角形”的拓展課教學(xué)中，通過設(shè)置開放引入、自主展開、逆向思考、縱向拓展和設(shè)問結(jié)尾五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，并采用“學(xué)生先行—交流展示—教師歸納”的教學(xué)形式，實(shí)現(xiàn)過程深刻的拓展課教學(xué).

關(guān)鍵詞：開放;自主;深刻;拓展

一、教學(xué)緣起

《浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》中指出，在開齊開好基礎(chǔ)性課程的基礎(chǔ)上，要積極探索拓展性課程的開發(fā)、實(shí)施、評(píng)價(jià)和共享機(jī)制，并規(guī)定七至九年級(jí)每學(xué)年拓展性課程課時(shí)要占總課時(shí)的20%左右. 在此背景下，越來越多的教師開始關(guān)注拓展性課程資源的開發(fā)，思考拓展課的設(shè)計(jì)與教學(xué). 筆者也積極投身數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過兩年多的“思考—實(shí)踐—改進(jìn)—實(shí)踐—提煉”研究過程，逐步形成了開放、自主、深刻的拓展課教學(xué)風(fēng)格. 下面以“直角三角形”的拓展課教學(xué)為例，闡述如何通過開放、自主、探究的環(huán)節(jié)設(shè)置，實(shí)現(xiàn)過程深刻的拓展課教學(xué).

二、教學(xué)環(huán)節(jié)及說明

1. 開放引入——讀圖

問題1：如圖1，在Rt△ABC中，[∠ACB=90°，] CD⊥AB于點(diǎn)D. 你能想到與此關(guān)聯(lián)的哪些結(jié)論？

數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)宜選擇從簡單問題切入，圖1是一個(gè)基本圖形，學(xué)生獨(dú)立思考之后可以得出如下結(jié)論.

學(xué)生先行：（1）[∠A+∠B=90°，] [∠A+∠ACD=90°，] [∠ACD+∠BCD=90°，] [∠B+∠BCD=90°;]（2）[AC2+BC2=][AB2]，[CD2+AD2=AC2]，[BD2+CD2=BC2];（3）Rt△ABC? ∽ Rt△ACD ∽ Rt△CBD;等等.

教師歸納：研究一個(gè)基本圖形，一般可以先從圖形的基本要素（邊、角、線、面積、周長）入手，然后觀察圖形結(jié)構(gòu)，再結(jié)合題目條件，發(fā)現(xiàn)它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

【教學(xué)說明】此環(huán)節(jié)通過設(shè)置開放性的問題1，引導(dǎo)學(xué)生邊讀圖邊觀察，挖掘圖形中蘊(yùn)含的直觀信息，為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容的研究做好準(zhǔn)備. 此外，通過學(xué)生先行思考、交流，教師歸納，梳理出研究幾何圖形的一般方法，聚焦本課教學(xué)涉及的主要知識(shí)和內(nèi)容.

2. 自主展開——賦值

問題2：給圖1中的某兩條線段賦值，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)問題，同桌之間相互解答.

【教學(xué)說明】通過問題2突出學(xué)生的主體地位. 凸顯學(xué)習(xí)的選擇性是數(shù)學(xué)拓展課的重要任務(wù)，讓學(xué)生給圖1中的某兩條線段賦值并設(shè)計(jì)一個(gè)問題，為學(xué)生自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容創(chuàng)造了機(jī)會(huì).

學(xué)生先行：（1）令A(yù)C = 6，BC = 8，求CD的長;（2）令CD = 4，AD = 2，求BC的長;（3）令A(yù)B = 10，AC = 6，求△BCD的面積;等等.

教師先肯定了學(xué)生之間的互問、互答，然后提出如下問題情境.

小明被同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情所感染，也嘗試設(shè)計(jì)了一個(gè)問題，想要考考大家. 問題如下：已知AB = 10，CD = 6，求線段AD的長.

有學(xué)生給出如下解法：設(shè)AD = x，由Rt△ACD ∽ Rt△BCD，得[CDAD=BDCD，] 即[6x=10-x6.] 化簡，得[x2-][10x+36=0.] 學(xué)生發(fā)現(xiàn)此方程無實(shí)數(shù)解，無法求出AD的長.

教師歸納：這表明小明設(shè)計(jì)了一個(gè)“壞問題”，但恰恰是這個(gè)“壞問題”，讓我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)事實(shí)，即不存在斜邊長為10，斜邊上的高為6的直角三角形. 由此，引發(fā)新的思考：直角三角形斜邊上的高與斜邊之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生解答：如圖2，取AB的中點(diǎn)E，連接CE. 易知[CE=12AB]. 而CD ≤ CE，故[CD≤12AB]，即直角三角形斜邊上的高小于等于斜邊長的一半.

【教學(xué)說明】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)自主探索和合作交流的過程. 拓展課教學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生解答、掌握結(jié)論，更重要的是讓學(xué)生在自主探索和解決問題的過程中鍛煉思維、發(fā)展能力、激發(fā)興趣，進(jìn)而逐步養(yǎng)成自主選擇問題和提出新問題的意識(shí). 于是此環(huán)節(jié)改“師問生答”為“生問生答”和“錯(cuò)題解答”，旨在調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的主體性，凸顯自主、選擇與思辨. 其中，讓學(xué)生進(jìn)行生問生答，為的是有效激起學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和思維動(dòng)力，使學(xué)生向內(nèi)聚焦自己的發(fā)現(xiàn)，向外打開視野，也讓自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到充足而自由的發(fā)展;而讓學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題解答，則是為了形成認(rèn)知沖突，引發(fā)懸念、引起思辨、探究成因，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)和批判性思維能力.

3. 逆向思考——作圖

問題3：作一個(gè)直角三角形，使斜邊長為10 cm，斜邊上的高線長為5 cm.

追問：作一個(gè)直角三角形，使斜邊長為10 cm，斜邊上的高線長為4 cm.

【教學(xué)說明】要想深入掌握某個(gè)知識(shí)，就要對(duì)這個(gè)知識(shí)的正反兩個(gè)方面給出明確的辨析. 基于此，對(duì)于一個(gè)直角三角形，在正向思辨的基礎(chǔ)上，要敢于“反其道而思之”，讓思維因逆向而深刻. 本環(huán)節(jié)中，已知直角三角形的斜邊長和高線的長，求作直角三角形，就是對(duì)“探究直角三角形斜邊上的高與斜邊之間的關(guān)系”的逆向思考. 問題3相對(duì)簡單，讓多數(shù)學(xué)生能獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)繼續(xù)探究的信心與勇氣，凸顯人文關(guān)懷. 追問則是在問題3的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入探究，思維含量較高. 對(duì)于追問，教師可以滲透如下兩種思維路徑. 一是先算后畫，即借助如圖3所示的草圖，先計(jì)算出AD的長，確定點(diǎn)D的位置，再作出高CD;二是交軌法作圖，即如圖4，先作線段AB = 10 cm，并作出以AB長為直徑的⊙O，再畫垂線段OE = 4 cm，作CE∥AB，交⊙O于點(diǎn)C，則△ABC即為所求作的直角三角形.

4. 縱向拓展——制作

任務(wù)1：現(xiàn)有一根60 cm長的細(xì)木條，試用它制作一個(gè)周長盡可能大的直角三角形.（畫出設(shè)計(jì)圖紙即可.）

任務(wù)2：現(xiàn)有一根60 cm長的細(xì)木條，試用它制作一個(gè)周長和面積都盡可能大的直角三角形.（要求：小組合作;先畫出設(shè)計(jì)圖紙，再根據(jù)圖紙制作出直角三角形.）

學(xué)生先行：對(duì)于任務(wù)1，學(xué)生通過計(jì)算，設(shè)計(jì)出的直角三角形的尺寸有：7 cm，24 cm，25 cm;15 cm，20 cm，25 cm;12 cm，22.5 cm，25.5 cm;10 cm，24 cm，26 cm;等等.

對(duì)于任務(wù)2，學(xué)生在獨(dú)立思考之后，進(jìn)行小組合作，發(fā)現(xiàn)周長為60 cm的等腰直角三角形的面積最大.

教師歸納：（1）對(duì)于任務(wù)1，除了通過計(jì)算設(shè)計(jì)出符合要求的直角三角形外，也可以通過尺規(guī)作圖的方法設(shè)計(jì)出符合要求的直角三角形，如圖5所示.（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察任務(wù)1中設(shè)計(jì)出的不同直角三角形，發(fā)現(xiàn)三邊長為15 cm，20 cm，25 cm的直角三角形的面積最大，由此提出任務(wù)2.（3）為學(xué)生完成任務(wù)2提供幫助.

【教學(xué)說明】數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 于是，通過設(shè)計(jì)動(dòng)手制作直角三角形環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷“設(shè)計(jì)—操作—論證”的思維過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值. 對(duì)于任務(wù)1，由于并不要求學(xué)生直接設(shè)計(jì)出符合要求的直角三角形，因此不同水平層次的學(xué)生可以采用不同的方法（低水平層次的學(xué)生可以采用“湊數(shù)”的方法，高水平層次的學(xué)生可以采用“推理”的方法）設(shè)計(jì)出周長不同的直角三角形，然后再比較這些直角三角形周長的大小，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念. 任務(wù)2是對(duì)任務(wù)1的遞進(jìn)與深入，對(duì)學(xué)生思維要求較高，但由于有任務(wù)1做鋪墊，多數(shù)學(xué)生能猜想到“在周長一定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大”，故教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行推理論證.

5. 設(shè)問結(jié)尾——展望

問題4：本節(jié)課主要研究了什么內(nèi)容？經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程？

展望：對(duì)于直角三角形，你覺得還可以探究什么？

學(xué)生先行：（1）梳理本節(jié)課的核心內(nèi)容、主要過程及思維方式;（2）提出直角三角形的其他探究內(nèi)容.

教師歸納：（1）將學(xué)生的回答進(jìn)行整理與歸納;（2）引導(dǎo)學(xué)生提出新的探究問題，并思考提出新問題的思維方法和方式. 例如，通過類比聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生提出“過直角頂點(diǎn)的角平分線與斜邊的關(guān)系”;通過逆向思考，引導(dǎo)學(xué)生提出“面積比等于周長比平方的兩個(gè)直角三角形是否相似”，等等.

【教學(xué)說明】一節(jié)好課的結(jié)尾應(yīng)該如美妙音樂，曲終意未盡，能再次燃起學(xué)生的思維，達(dá)到“課結(jié)束，思繼續(xù)”的意境. 本環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生展望直角三角形的其他探究內(nèi)容，并將不同學(xué)生提出的探究內(nèi)容記錄下來作為家庭作業(yè)，既鍛煉了學(xué)生提出問題的能力，又解決了數(shù)學(xué)拓展課的作業(yè)問題，凸顯“從學(xué)生中來到學(xué)生中去”的自主開放的教學(xué)理念.

三、教學(xué)思考

本節(jié)拓展課教學(xué)，筆者采用“學(xué)生先行—交流展示—教師歸納”的教學(xué)形式，讓學(xué)生有時(shí)間思考、有空間討論、有機(jī)會(huì)表達(dá). 宏觀上，追求讓學(xué)生在交流和碰撞中促進(jìn)知識(shí)理解，交換數(shù)學(xué)思想;在教師歸納和點(diǎn)撥中滲透思維方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力. 微觀上，踐行“設(shè)問開放，展開自主，過程深刻”的拓展課教學(xué)理念.

1. 設(shè)問開放

蘇格拉底認(rèn)為，理想的教育方法不是把現(xiàn)成的、表面的知識(shí)傳授給別人，而是憑借準(zhǔn)確的提問，激發(fā)對(duì)方思考，使對(duì)方通過自身的思考，發(fā)現(xiàn)潛藏于自己心中的真理. 在本節(jié)拓展課中，筆者打破“以條件為起點(diǎn)、以結(jié)論為終點(diǎn)”的常規(guī)設(shè)問方式，構(gòu)建“條件固定，結(jié)論發(fā)散”的開放性設(shè)問，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、主動(dòng)探索. 在課堂的引入階段變“結(jié)論單一的封閉設(shè)問”為“結(jié)論多元的開放設(shè)問”，旨在充分調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，既為后續(xù)教學(xué)的展開做好知識(shí)準(zhǔn)備，又讓學(xué)生深入?yún)⑴c課堂學(xué)習(xí). 在課堂的結(jié)尾階段變“歸納性封閉設(shè)問”為“展望性開放設(shè)問”，“展望”問題的拋出，讓課堂再起波瀾，再次引發(fā)學(xué)生思考. 不同學(xué)生看待問題的思路不同、角度不同，于是就會(huì)提出不同的探究問題，思考就會(huì)繼續(xù)，研討就會(huì)順延，數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)實(shí)現(xiàn)從“課中”向“課外”轉(zhuǎn)移.

2. 展開自主

列夫·托爾斯泰曾說，成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣. 濃厚的學(xué)習(xí)興趣，可以使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲、敏銳的思維力、豐富的想象力，以及迫切探求新知識(shí)和新問題的推動(dòng)力. 基于此，對(duì)于拓展課的教學(xué)，教師需要適時(shí)后退，促使學(xué)生主動(dòng)地、有選擇地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí). 在本節(jié)拓展課的主體教學(xué)內(nèi)容展開環(huán)節(jié)，筆者結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了“生問生答”的活動(dòng)情境，把學(xué)習(xí)的選擇權(quán)還給學(xué)生. 具體實(shí)施時(shí)，分為兩個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)：一是同桌之間的“互問互答”活動(dòng)，以此保障每位學(xué)生都能經(jīng)歷至少一次“問”和“答”的機(jī)會(huì);二是全班展示活動(dòng)環(huán)節(jié)，即先由一位學(xué)生展示自己設(shè)計(jì)的問題，再由同桌完成解答，最后由其他學(xué)生進(jìn)行追問或評(píng)價(jià). 這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)給學(xué)生提供了更多自主探究的機(jī)會(huì)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，滿足了學(xué)生的表現(xiàn)欲望，它既能活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流和表達(dá)的能力.

3. 過程深刻

拓展課是一種更加強(qiáng)調(diào)動(dòng)腦和動(dòng)手的課型，主要目的是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，習(xí)得數(shù)學(xué)思維策略，開拓?cái)?shù)學(xué)思維方式，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 一節(jié)好的拓展課教學(xué)，要做到學(xué)習(xí)目標(biāo)明確、問題情境豐富、學(xué)習(xí)任務(wù)有挑戰(zhàn)，這樣過程才會(huì)深刻. 為此，教師要設(shè)法使學(xué)生深入?yún)⑴c教學(xué)過程，經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、討論、探索、思考等一系列活動(dòng)，使學(xué)生真正對(duì)所學(xué)的知識(shí)和內(nèi)容產(chǎn)生深刻理解，對(duì)涉及的思想和方法有所領(lǐng)悟，從而將知識(shí)內(nèi)化、方法深入，進(jìn)而使知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維習(xí)慣得到擴(kuò)充和改造. 在本節(jié)拓展課中，筆者站在學(xué)生的立場上設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、探疑和解疑的學(xué)習(xí)任務(wù)，促使學(xué)生深度思考. 具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）巧設(shè)“意外”，讓有價(jià)值的“意外”成為教學(xué)資源.

在“自主展開”環(huán)節(jié)，教師刻意呈現(xiàn)錯(cuò)誤素材，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突和思維碰撞，然后通過引導(dǎo)學(xué)生思辨與反思，讓學(xué)生經(jīng)歷懷疑、矯正和求真的解決問題的過程，進(jìn)而在一定程度上讓學(xué)生的批判性思維與辨證性思維能力得到鍛煉和發(fā)展，讓教學(xué)過程因意外而深刻.

（2）由“正”向“逆”，讓有意義的“逆向”成為思考習(xí)慣.

在探究出“直角三角形斜邊上的高與斜邊之間的關(guān)系”之后，教師提出逆向思考題，讓學(xué)生主動(dòng)參與作圖活動(dòng)，從中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題并解決問題. 在此過程中，學(xué)生既能掌握知識(shí)和技能，又能積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，感悟逆向思維對(duì)于問題解決的意義與價(jià)值，讓教學(xué)過程因逆向而深刻.

（3）動(dòng)手制作，讓有挑戰(zhàn)的任務(wù)成為學(xué)習(xí)要素.

在“縱向拓展”環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生動(dòng)手設(shè)計(jì)與制作“周長和面積都盡可能大的直角三角形”，強(qiáng)調(diào)通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流完成制作任務(wù)，這個(gè)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，無痕地將智力活動(dòng)融于實(shí)踐操作，有效地激發(fā)學(xué)生積極思考，進(jìn)而讓學(xué)生在制作直角三角形的過程中深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí). 更加重要的是，在這一過程中進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生自主探索的能力和空間觀念，讓教學(xué)過程因?qū)嵺`而變得深刻.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]江麗華. 數(shù)學(xué)開放性課堂的教學(xué)實(shí)踐：談“平行四邊形‘圓’來如此”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2019（3）：51-52.

[3]顧建鋒. 知識(shí)有機(jī)整合? 問題遞進(jìn)探究：2013年浙江省嘉興市中考試題第24題賞析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（7 / 8）：104-108.