應佳成

摘? 要：高質量的問題設計應該從數學知識的整體性出發(fā)，引導學生經歷抽象、歸納、類比等學習過程，加強學生從整體視角看問題的能力，有邏輯的問題串就是一種精心而又不著痕跡的有效設計方式. 文章以“分式”單元教學為例，從研究方式、思想方法、特殊性和差異性等關鍵細節(jié)、知識建構角度思考問題串的設計邏輯，并給出“有邏輯的問題串”的三個特征.

關鍵詞：問題設計邏輯;問題串;分式

高質量的問題設計是當下提升課堂教學質量的一個切入點. 教師應該從數學知識的整體性出發(fā)，引導學生經歷抽象、歸納、類比等學習過程，加強學生從整體視角看問題的能力，有邏輯的問題串就是一種有效的問題設計方式. 怎樣設計問題才有邏輯？筆者認為，教師首先要理解學習對象，清楚所要研究問題的本質，設計合理的學習材料，引導學生用符合內容邏輯的方式進行思考，清晰地表達具體的操作方法，進而達成研究目標. 設計有邏輯的問題串的意義在于將邏輯關系、思想方法等內隱的思維活動外顯，幫助學生在經歷學習過程中保持思維的連貫性，讓知識的發(fā)生、發(fā)展有邏輯可循，幫助學生形成研究問題的一般方法.

如何設計有邏輯的問題串，讓學生的學習真實發(fā)生，是文章闡述的核心內容. 研究方式、思想方法、特殊性和差異性等關鍵細節(jié)和知識建構是問題串設計的抓手，激活學生的認知基礎、沿襲內容研究的邏輯、設計合理的遷移方法是問題串的達成路徑. 本文將以“分式”單元教學為例，對問題串的設計邏輯進行思考.

一、以研究方式為問題串的設計邏輯

不同的知識內容有不同的研究方式，概念、法則是初中數學中較為常見的教學內容，都有其合理發(fā)生、發(fā)展的邏輯，這種邏輯就是問題串設計必須要遵循的原則.

概念課的問題串設計需要契合其基本研究路徑，以“繼承已有經驗，理解概念內涵，發(fā)展學習能力”為邏輯，經歷“實際情境—抽象研究對象—下定義—概念辨析—概念精致—概念應用”的過程，聚焦細微處，通過讓學生對系列問題的思考明確要素、準確表示、精確分類，同時要兼顧融合學生的認知心理.

性質和法則課通常會應用類比、從具體到一般等方法教學. 教師可以通過問題設計引導學生經歷性質的歸納過程，引發(fā)學生對知識原理進行思考，引導學生類比已有研究經驗，發(fā)現(xiàn)研究對象與已有知識經驗的異同，歸納研究對象特有的性質和運算法則.“從學習基礎出發(fā)，突出內容本質，歸納性質或法則，及時鞏固研究結論”是性質和法則課問題串設計需要遵循的邏輯.

分式概念的獲得需要讓學生經歷研究對象的抽象過程并獲得分式的概念，問題串的設計需要具備“繼承”與“發(fā)展”的特點，即繼承小學階段積累的分數的學習經驗，將分數的概念、性質、運算、應用的學習經驗遷移到分式的研究過程中;同時要繼承初中階段整式的研究經驗，通過數學抽象和數學建模進一步擴充代數研究體系，歸納、概括研究對象的共同特征，獲得分式概念，發(fā)展代數研究能力.

基于以上思考，針對分式概念的引入，筆者設計了如下先行組織者材料并提出問題.

（1）長方形的面積為10 cm2，長為7 cm，則寬為? ? ? ? ?;長方形的面積為S，長為a，則寬為? ? ? .

（2）把體積為200 cm3的水倒入底面積為33 cm2的圓柱形容器中，則水面高度為? ? ? ;把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，則水面高度為? ? ?.

（3）文林書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價是每冊a元，現(xiàn)每冊降價x元銷售，當這種圖書的庫存全部售出時，其銷售額為b元. 降價銷售開始時，文林書店這種圖書的庫存量是? ? ? .

問題：從以上材料中能抽象獲得什么樣的代數式？分析這些代數式的要素和運算關系，你能歸納得到哪些特有的共性？（明確研究方法指導）

追問1：[Sa， VS， ba-x]這些式子是不是代數式？（對照上位概念）

追問2：我們以往學習過哪種類型的代數式？今天抽象獲得的這些代數式是否符合以往學過的代數式類型？為什么？（歸納特征）

追問3：這類代數式與整式有哪些不同？（對照同位概念）

追問4：類比[107， Sa， 20033， VS]與[ba-x]這幾個代數式，你能否給這些代數式下個定義？（下定義）

在教師拋出的問題中，“抽象代數式”“分析要素和運算關系”“歸納”“特有的”“共性”等關鍵詞都給學生的思考提出了具體明確的要求，遵循了概念研究的基本方式. 這樣的問題可以在短時間內喚起學生的概念研究經驗，再用這些關鍵詞設計系列追問，對學生做出具體指導，即可完成對分式概念的研究.

以上問題串的設計起始于對先行組織者材料的剖析. 教師通過問題設計不斷引發(fā)學生的思維沖突，讓學生體驗到學習分式的必要性. 同時，通過挖掘分式概念的內涵，借助已知（代數式、整式的概念、分數的形式特征）辨析研究未知，類比整式的研究方式來研究這類新的對象，歸納研究對象的特征，從而概括出分式的概念.

二、以思想方法為問題串的設計邏輯

思想方法是數學學習的本質. 將思想方法貫穿始終，幫助學生體會學習方法的一致性并潛移默化地加以運用也是問題串設計需要遵循的邏輯. 分式是一類新的代數式，也是一類新的研究對象，學生是在與分數的不斷類比中學習分式的. 因此，分數與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系，分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則，是從分數的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則中經過再抽象而產生的. 根據這種關系，發(fā)現(xiàn)兩者具有一致性，也可以說是數式通性. 另外，數學建模、歸納、轉化與化歸等也都是重要的思想方法，這些都是問題設計的重要考量.

從本質上看，分式的基本性質是分數基本性質一般化的結果，是分式進行通分和約分的根本原理，這樣一般化的過程需要通過合理的問題串設計來達成. 教師的問題串設計需要兼顧上位知識，能用好數式通性，幫助學生經歷思維過程的“三級跳”——用字母替代倍數、用字母替代分數、用整式替代字母，順利抽象、概括出分式的基本性質，這對學科素養(yǎng)的提升非常有意義.

針對分式的基本性質的學習，筆者設計了如下問題串.

問題：上節(jié)課，我們研究了分式的概念，本節(jié)課將研究分式所特有的性質，那么分式和分數有什么關系？分式的性質和分數的性質有什么關系？分式有什么性質？請大家類比分數的性質，嘗試歸納分式的性質.（提出明確的學習要求.）

追問1：選取一個任意的分數，將其分子與分母同時放大（或縮?。┫嗤谋稊担謹档拇笮∈欠癜l(fā)生變化？為什么？（回顧分數的基本性質.）

追問2：符合條件的數有多少？能不能將這些符合條件的倍數用字母替換？理由是什么？（用字母替代倍數.）

追問3：可否將任意分數的性質都一般化地表示出來？（用分式替代分數.）

追問4：類比分數的基本性質，你能得到分式的基本性質嗎？（用整式替代字母.）

預設：類比分數的基本性質，用“式”替換“數”得到分式的基本性質，即[AB=A · CB · C]，[AB=A÷CB÷C]（C ≠ 0）.（經過三次替換、三次一般化過程，得到分式的基本性質.）

這一組問題串不但在整體視角下為學生勾勒出研究方向，明確課時教學的內容和目標，而且?guī)椭鷮W生體驗分式與分數的關系. 追問1和追問2的目的是用字母替代倍數，幫助學生體驗分式是分數的一般化的結果，體驗從[ab]到[AB]的過程;追問3的目的是用分式替代分數，發(fā)現(xiàn)對于一個具體的分數而言，分數的分子與分母同時乘以或除以的數可以用不為0的字母替代，體驗從[ab=a · cb · c c≠0]到[AB=A · cB · c c≠0]的過程;追問4的目的在于繼續(xù)一般化，用整式替代字母，將分數進一步一般化為分式，體驗從[AB=A · cB · c c≠0]到[AB=A · CB · C C≠0]的過程，通過類比得到分式的基本性質. 經過這樣一組精心設計的、有內部關聯(lián)的問題串的引導，更容易讓學生真正理解分式的基本性質.

三、以特殊性、差異性為問題串的設計邏輯

隨著知識的拓展，在一些新內容的學習過程中，知識之間的聯(lián)系和轉化等思想方法往往是重點. 但是新知識的學習過程中，同樣需要關注的還有新知識的特殊性，以及新、舊知識之間的差異性，這些往往是區(qū)分新、舊內容的關鍵，是概念、法則教學必不可少的有機組成部分，有邏輯的問題串設計對處理好整體與細節(jié)的關系、突出特殊性、辨析差異性具有不可忽略的作用.

與整式方程相比，分式方程的特殊性是其分母中含有未知數. 從表象上看，分式方程與整式方程相比有兩個明顯區(qū)別，因此解分式方程需要注意兩個關鍵細節(jié). 一是通過去分母轉化為整式方程;二是通過去分母得出的整式方程的解必須經過檢驗，只有使分母不為0的解才是分式方程的解. 教師在講清楚這兩個細節(jié)的同時，需要讓學生明晰其本質原因，之所以產生增根，是由于去分母時在方程兩側乘以的是整式而非數字.

針對分式方程的求解，可以對關鍵細節(jié)提出如下問題串.

問題：去分母，將分式方程轉化為整式方程后，為什么有的整式方程的解是分式方程的解，而有的整式方程的解不是分式方程的解？

追問1：將分式方程轉化為整式方程的手段是什么？

追問2：整式方程去分母和分式方程去分母的關鍵差異在哪里？

追問3：將分式方程去分母時，方程兩側同時乘以整式，該整式是否存在等于0的可能？

追問4：你能說說為什么解分式方程需要檢驗嗎？

通過以上問題串的設計，使學生明白算理，理解產生差異的根本原因，讓學生知道解方程絕非簡單的機械化的程序性操作. 理解事物之間存在聯(lián)系也存在特殊性，不但要知其然，更要知其所以然，提高認識水平.

再如，分式與分數的關系對于學生代數觀念的形成非常重要，這也是教學中需要關注的細節(jié). 在教學中，往往一個簡單的問題串設計即可完成分式與分數的辨析.

問題：你能說說分式與分數的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

追問1：分數[45]表示什么？分式[a+12a-1]表示什么？

追問2：當a的值分別為-2，1，2，-1時，分式[a+12a-1]的值是否相同？分式[a+12a-1]是否還有其他的值？為什么分式可以有不同的值？

追問3：當a取不同的值時，分式對應不同的值，那么是否可以認為，對于分式[a+12a-1]，字母a可以取任意一個數？到底可以取哪些數？

追問4：分式與分數的差異在哪里？

這一組問題設計的意圖在于幫助學生回顧、體驗、總結，明晰兩個細節(jié). 第一，讓學生明確，與分數相比，分式是分數的進一步抽象，更具有一般性;第二，引發(fā)認知沖突，即整式研究所得到的經驗是字母的取值不受限制，分式則不同，這是類比遷移學習經驗后對差異的關注，是為了突出研究對象的特有性質，起到強化理解、精致概念、提升思維水平的作用.

以上問題串的設計引導學生適時關注特殊性和關鍵差異，便于學生更好地理解學習對象的本質.

四、以知識建構為問題串的設計邏輯

有邏輯的問題串設計不僅可以給學生提供一個合理的開始，而且可以幫助學生規(guī)劃大致的學習方向，形成整體認識問題的視角. 課時小結環(huán)節(jié)的問題串設計往往起到畫龍點睛的作用. 總結學習過程、構建單元框架是問題串設計需要遵循的邏輯.

例如，對于“分式的乘除”的課時小結，教師可以提出如下問題串.

問題1：本節(jié)課我們研究了什么問題？（回顧研究內容.）

預設：分式的乘除運算.

問題2：分式乘除的運算法則是什么？（聚焦研究對象.）

預設：類似于分數乘除的運算法則. 分式乘以分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母;分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

問題3：分式乘除運算的結果如何化為最簡？原理是什么？（聚焦基本原理.）

預設：約分是將分式化為最簡的方法. 約分的基本原理是分式的基本性質.

問題4：兩個分式進行乘除運算的步驟是什么？（聚焦操作方法.）

預設：如果分式的分子和分母都是單項式，則先按照分式乘除法則進行運算，再對結果加以約分;如果分式的分子或分母是多項式，先分解因式，再按照分式乘除法法則進行運算，最后對結果進行約分，如圖1所示.

[兩個分式相乘或相除][分式的乘法] [? ? 分子與分母都是單項式][? ? 分子或分母是多項式][? ? 用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并約分][? ? 先因式分解，再用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并約分] [轉化][圖1]

問題5：關于分式，我們已經研究了哪些內容？請思考接下來還要研究什么內容？（后續(xù)研究思路.）

預設：已經學習了分式的概念、性質及分式的乘除運算，接下來將研究分式的加減運算和應用，如圖2所示.

以上問題串可以幫助學生明確三個問題. 第一，總結學習過程，聚焦分式乘除運算法則;第二，提煉思想方法，揭示乘除運算的根本原理是分式的基本性質，明確步驟化操作流程;第三，構建單元框架，將研究納入已有的知識體系，并為后續(xù)研究提出思路.

五、有邏輯的問題串的特征

并不是將一組問題堆砌在一起就叫問題串，有邏輯的問題串既要符合課型研究的要求，又要有層次、有方向，是具有內在關聯(lián)的系列問題的有機組合. 主干問題與追問之間環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，形成問題串. 知識、能力和思維層次都是問題串設計過程中需要教師思考的. 教師需要先明確學生應該學什么、能夠做什么，以及怎樣做才能實現(xiàn)教學目標，進而在細致分析的基礎上設計問題串. 筆者認為，有邏輯的問題串要符合以下特征.

1. 以問題驅動，以邏輯追問

“問題”是引起思維活動的驅動力，也是思維外顯的一種直接手段，“串”表明一組問題之間是有邏輯的，可以揭示教學內容之間內在的邏輯線索. 問題串一般由一個主干問題提出思考，這個主干問題聚焦于需要解決的問題，包含若干個關鍵詞，而這些關鍵詞將是若干個追問. 這樣的問題串有驅動、有思考，層層遞進，由淺入深，能為學生搭建思維的“腳手架”，引導學生體會內容所蘊涵的思想方法，觸及研究本質，促進學習遷移.

2. 以繼承驅動，以發(fā)展追問

有邏輯的問題串能夠幫助學生了解知識的來龍去脈，經歷知識的生成過程和構建過程，能體現(xiàn)知識領域之間、方法之間的關聯(lián)，具有可發(fā)展性. 教師通過幫助學生在頭腦中形成清晰、穩(wěn)定、系列的知識鏈條，突出核心概念的思維構建過程和技能操作過程，突出思想方法的領悟分析過程，達成教學目的.

3. 以思維驅動，以探索追問

有邏輯的問題串設計既可以向廣度發(fā)展，也可以向深度發(fā)展. 問題應該立足于學生思維的最近發(fā)展區(qū)，用問題之間的關聯(lián)與遞進激起學生的認知沖突，引發(fā)學生主動思考. 有邏輯的問題串能為學生提供探究的線索，對學生的思維形成挑戰(zhàn)，促使學生在積極主動的探索中達成學習目標.

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