曹建軍

摘? 要：良好的教學(xué)設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生深度思考的基礎(chǔ)，而良好的教學(xué)設(shè)計(jì)建立在教師理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上. 在銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)中，基于課程標(biāo)準(zhǔn)分析，明確學(xué)習(xí)要求;基于內(nèi)容分析，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心育人價(jià)值，確立教學(xué)重點(diǎn);基于學(xué)情分析，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律及難點(diǎn). 在此基礎(chǔ)上，整體設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，選擇合理的課程資源，提出有針對(duì)性的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的完整抽象過程，引發(fā)學(xué)生的深度思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：銳角三角函數(shù);數(shù)學(xué)抽象;深度學(xué)習(xí)

在一次研討浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第一章“解直角三角形”第1節(jié)“銳角三角函數(shù)”一課的教學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)許多教師對(duì)銳角三角函數(shù)的概念理解不深刻，難以引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念抽象過程中的深度思考，教學(xué)效果不理想. 經(jīng)過進(jìn)一步的磨課，重新分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情，重新設(shè)計(jì)教學(xué)，提高了教學(xué)設(shè)計(jì)的品質(zhì)，引發(fā)了學(xué)生在概念抽象過程中的深度思考. 現(xiàn)將研究與改進(jìn)過程與大家分享交流.

一、基于課程標(biāo)準(zhǔn)與內(nèi)容分析，明確學(xué)習(xí)要求與數(shù)學(xué)本質(zhì)

1. 研究課程標(biāo)準(zhǔn)，明確學(xué)習(xí)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)要求是利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù). 我們認(rèn)為其中明確了三個(gè)方面的問題：一是學(xué)習(xí)對(duì)象，即銳角三角函數(shù);二是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，即以相似的直角三角形為基礎(chǔ)，對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行量化研究，抽象出銳角三角函數(shù)的概念，本質(zhì)上是對(duì)三角形的邊角關(guān)系的進(jìn)一步研究;三是學(xué)習(xí)要求，即何為探索并認(rèn)識(shí)？探索什么？認(rèn)識(shí)什么？在這三個(gè)問題中，大家認(rèn)為比較難理解的是“探索并認(rèn)識(shí)”.

《標(biāo)準(zhǔn)》中有兩類行為動(dòng)詞：一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等;另一類是描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等.

“探索”是描述過程目標(biāo)的級(jí)別最高的行為動(dòng)詞，是指獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí). 讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的整個(gè)探究問題的過程，使學(xué)生知其然，知其所以然. 這不僅是過程性教學(xué)的要求，更是積累研究經(jīng)驗(yàn)、豐富研究方法與手段的必然要求.

“認(rèn)識(shí)”是描述結(jié)果目標(biāo)的級(jí)別較低的行為動(dòng)詞. 其同類詞是理解、會(huì)，如認(rèn)識(shí)三角形.“理解”的含義是描述對(duì)象的特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系.

2. 分析內(nèi)容，理解概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)

受高中任意角三角函數(shù)的影響，以及銳角三角函數(shù)單值對(duì)應(yīng)的事實(shí)，許多教師認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)要強(qiáng)調(diào)“函數(shù)味”. 但仔細(xì)研究《標(biāo)準(zhǔn)》，可以發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)在《標(biāo)準(zhǔn)》中屬于“圖形與幾何”第二部分“圖形的變化”中“圖形的相似”的內(nèi)容，可見它在初中數(shù)學(xué)中屬于幾何內(nèi)容而非代數(shù)內(nèi)容.

事實(shí)上，高中的任意角三角函數(shù)與初中的銳角三角函數(shù)是有本質(zhì)區(qū)別的. 高中的任意角三角函數(shù)屬于嚴(yán)格意義上的函數(shù)，我們會(huì)進(jìn)一步研究它的圖象和性質(zhì)（研究對(duì)象是周期現(xiàn)象），而初中的銳角三角函數(shù)主要研究的是直角三角形中邊角之間的定量關(guān)系，這從章名——“解直角三角形”可見一斑. 有的版本的教材直接將這種直角三角形中邊與角的關(guān)系叫做“三角比”，應(yīng)該是更為準(zhǔn)確的. 高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)的解斜三角形，是對(duì)初中銳角三角函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展，只增加了正弦定理和余弦定理，本質(zhì)上是對(duì)三角形邊角關(guān)系的推廣. 這些內(nèi)容稱為“三角學(xué)”，并非現(xiàn)代意義上的三角函數(shù).

在一般三角形中，只要三個(gè)角的大小確定，其形狀就會(huì)隨之確定. 直角三角形由于其特殊性，只要一個(gè)銳角的大小確定，其形狀就確定. 形狀不變?nèi)绾慰坍?？根?jù)邊之比即可. 因此，銳角三角函數(shù)本質(zhì)上是用邊的比值刻畫“一個(gè)銳角確定一個(gè)直角三角形的形狀”，也是對(duì)直角三角形相似的函數(shù)觀點(diǎn)描述.

圖1為本節(jié)課的課時(shí)知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖，有助于我們正確認(rèn)識(shí)本節(jié)課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì). 要研究直角三角形的性質(zhì)，我們已經(jīng)學(xué)過邊的定量關(guān)系（如勾股定理）、角的定量關(guān)系（如兩銳角之和為90°），但仍缺少邊與角的定量關(guān)系. 研究發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，當(dāng)銳角的大小確定時(shí)，邊的比值也確定. 同時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)銳角的大小變化時(shí)，邊的比值也隨之變化，即兩者之間存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，滿足初中函數(shù)的變量定義. 因此，我們說直角三角形邊的比值是與銳角的大小有關(guān)的函數(shù).

實(shí)際上，在這一過程中，當(dāng)明確了“銳角確定，邊之間的比值隨之確定”后，我們就可以根據(jù)角與邊之比的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決邊與角之間的轉(zhuǎn)化，所以直角三角形的邊的比值的不變性才是本節(jié)課的學(xué)習(xí)核心，即銳角三角函數(shù)的內(nèi)涵是直角三角形中邊與角的定量關(guān)系. 在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，直角三角形各邊之間的比值隨之確定，主要用于解直角三角形. 因此，降低銳角三角函數(shù)的“函數(shù)味”也就可以理解了.

綜上所述，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是定量研究直角三角形中邊與角之間的數(shù)量關(guān)系，得到銳角三角函數(shù)概念，而不是比值與角之間的函數(shù)關(guān)系. 學(xué)生對(duì)其函數(shù)特征只要達(dá)到“認(rèn)識(shí)”水平，即能描述銳角三角函數(shù)的特征和由來，闡述它與相似三角形、函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系即可.

二、基于探索價(jià)值思考的教學(xué)改進(jìn)

1. 初步設(shè)計(jì)

通過前面的分析，我們將學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)聚焦在直角三角形邊與角的數(shù)量關(guān)系的探索上. 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，并查閱了現(xiàn)行八個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材，歸納得出了如圖2所示的課時(shí)教學(xué)基本流程圖.

首先，給出一個(gè)含有30°角的直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生回顧“30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”和勾股定理，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)關(guān)于邊的六個(gè)比值都是定值. 同時(shí)，發(fā)現(xiàn)有三組比值互為倒數(shù)，因此只取其中三個(gè)進(jìn)行研究. 其次，觀察含45°角的直角三角形，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)這三組邊的比值仍為定值. 經(jīng)過對(duì)含有30°角和45°角的直角三角形的研究，當(dāng)∠A = 68°時(shí)，學(xué)生自然能夠猜想三組比值還是定值. 借助幾何畫板軟件直觀感受，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此. 再將∠A一般化為任意角度α，學(xué)生可以利用相似三角形的性質(zhì)證明這一結(jié)論. 在整個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)直角三角形中一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，邊的比值隨之確定;銳角的大小發(fā)生變化時(shí)，邊的比值也會(huì)變化，也就是角與邊的比之間存在依賴關(guān)系，然后分別給出正弦、余弦、正切概念，最后總結(jié)給出銳角三角函數(shù)的定義.

2. 基于探索價(jià)值的思考

以上設(shè)計(jì)較好地解決了正弦概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)和“探索并認(rèn)識(shí)”的定位問題，但仍存在不足，即教師單刀直入地提出了探索直角三角形的邊角關(guān)系，直接給出問題：當(dāng)固定一個(gè)銳角時(shí)，它的邊之比是否確定？我們認(rèn)為，這樣的“探索”缺乏源頭，研究對(duì)象的引入不夠自然，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是“告知式”給出的.

事實(shí)上，在采用這種設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，教師與學(xué)生會(huì)有以下困惑：為什么研究三角形的邊角關(guān)系，且只研究直角三角形的邊角關(guān)系？如何想到用角與邊的定量關(guān)系刻畫直角三角形的邊角關(guān)系？也就是說，這節(jié)課的難點(diǎn)在于學(xué)生是怎么發(fā)現(xiàn)直角三角形兩個(gè)邊的比決定了角度，或者角度決定了兩個(gè)邊的比. 顯然，這才是更為關(guān)鍵的問題，是真正具有探索價(jià)值的問題.

對(duì)于為什么要研究三角形的邊角關(guān)系，且只研究直角三角形的邊角關(guān)系，可以從如下幾個(gè)方面來思考. 第一，從確定三角形的條件中提出定量研究三角形邊角關(guān)系的問題. 由“SAS”“ASA”“SSS”可知，三角形的形狀、大小已經(jīng)由這三組要素分別唯一確定，所以可以定性地得出結(jié)論：三角形的邊與角之間存在確定的定量關(guān)系. 例如，由“SAS”可知，a，∠B，∠C都可以由給定的b，∠A，c唯一確定. 也就是說，一個(gè)三角形的兩邊及其夾角確定了，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就確定了，即其他三個(gè)要素也就確定了. 要素之間具體有什么數(shù)量關(guān)系？這需要進(jìn)一步研究. 第二，特殊化降低難度. 一般三角形中由于要素關(guān)系多，研究存在困難，因此可以通過特殊化減少要素，降低研究難度. 直角三角形是最重要也是最簡(jiǎn)單的三角形，其中蘊(yùn)含著很多重要的性質(zhì). 第三，一般三角形可以分解成兩個(gè)直角三角形，從而可以利用直角三角形來研究一般三角形，說明以直角三角形的研究成果為基點(diǎn)可以進(jìn)一步推廣到一般三角形. 綜上所述，直角三角形的邊角關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單，且具有可拓展性，從直角三角形開展研究是合理的.

對(duì)于怎樣能讓學(xué)生自然地想到研究邊的比值，這并不是從直角三角形開始的，而應(yīng)該從一般三角形的角度進(jìn)行更為一般的思考. 三角形的定量性質(zhì)，聚焦在邊與邊、角與角各自的定量關(guān)系上. 進(jìn)一步的問題是：三角形的邊與角之間是否存在定量關(guān)系？這實(shí)際上是發(fā)現(xiàn)和提出問題及明確研究路徑的過程. 那么，三角形的邊和角之間具有怎樣的定量關(guān)系呢？由“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”可知，由“對(duì)應(yīng)角相等”可以確定“對(duì)應(yīng)邊成比例”;由“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”可知，由“對(duì)應(yīng)邊成比例”可以確定“對(duì)應(yīng)角相等”. 也就是說，對(duì)于形狀相同的兩個(gè)三角形，無論其大小怎樣變化，其邊長(zhǎng)的比值始終保持不變. 所以，我們可以通過研究邊之間的比與角的關(guān)系得出三角形的邊與角之間的定量關(guān)系.

3. 設(shè)計(jì)從背景到概念的探究活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷上述思考過程

環(huán)節(jié)1：由定性到定量，確定研究對(duì)象.

情境引入：如圖3，有一座形如三角形的山坡，現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角∠A，∠B的度數(shù)分別為31°，43°，甲上坡行走了800 m，站在山頂?shù)募紫耄合缕逻€要走多長(zhǎng)的路呢？

將上述情境抽象成以下問題.

問題1：在△ABC中，∠A = α，∠B = β，AC = a，求BC的長(zhǎng).

追問：△ABC中其余的邊和角的大小能確定嗎？你會(huì)求嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過回顧全等三角形的判定，能夠定性感受當(dāng)三角形的兩個(gè)角和一條邊確定時(shí)，其余的邊和角也就隨之確定了. 對(duì)于問題1，學(xué)生可以通過三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)，但是難以通過邊的關(guān)系求得其余邊的長(zhǎng)度，這就引發(fā)了認(rèn)知沖突，自然產(chǎn)生了研究邊與角之間的定量關(guān)系的需要（如圖4，研究問題的產(chǎn)生），也能夠充分體會(huì)從定性到定量是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然要求.

問題2：邊與角之間的定量關(guān)系可以如何轉(zhuǎn)化解決呢？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，知道從一般到特殊是解決數(shù)學(xué)問題的常用思路. 在一般三角形中難以解決的邊角關(guān)系問題，可以嘗試轉(zhuǎn)化到特殊三角形中解決. 如圖5，確定研究對(duì)象，即直角三角形的邊與角之間的關(guān)系.

環(huán)節(jié)2：由特殊到一般，經(jīng)歷不變量的發(fā)現(xiàn)過程.

問題3：對(duì)于直角三角形中邊與角的定量關(guān)系，你已經(jīng)知道了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對(duì)三角形中邊之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系比較熟悉，但對(duì)邊角關(guān)系還只知道“大角對(duì)大邊”的定性關(guān)系. 部分學(xué)生會(huì)想到在含30°角和45°角的直角三角形中，三邊之間還有更為特殊的數(shù)量關(guān)系. 例如，在含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，且三邊之比是[1∶2∶3];在含45°角的直角三角形中，三邊之比是[1∶1∶2]. 學(xué)生由此建立邊之間比值的初步認(rèn)識(shí)，但還不太確定這就是我們要尋找的不變量.

問題4：什么叫定量刻畫？怎樣定量刻畫直角三角形中邊角之間的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，知道要定量刻畫幾何圖形的性質(zhì)，必須找到一個(gè)不變量，如用平方關(guān)系刻畫直角三角形的三邊關(guān)系. 但到目前為止，學(xué)生還沒有找到. 為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的特殊情形開始研究.

問題5：如圖6（1），在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 30°. 若AC = 10，求其余邊長(zhǎng).

如圖6（2），在Rt△A′B′C′中，∠B′ = 90°，∠A′ = 30°. 若A′C′ = 20，求其余邊長(zhǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于圖6（1），學(xué)生能根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求出邊BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出邊AB的長(zhǎng);對(duì)于圖6（2），部分學(xué)生仍然會(huì)用同樣的方法求解，也有部分學(xué)生會(huì)借助兩個(gè)三角形相似解決問題. 通過計(jì)算及具體數(shù)據(jù)特征，學(xué)生能初步感受到：無論邊長(zhǎng)如何變化，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊之比是定值，其他邊之比也都是定值. 如圖7，學(xué)生在不變量的目標(biāo)指引下，能夠發(fā)現(xiàn)以上結(jié)論.

問題6：我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)含30°角的直角三角形中邊的比值的不變性. 那么，其他角度的直角三角形中是否仍然這樣呢？

我們可以再看一個(gè)例子. 在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 45°，當(dāng)AC = 10或AC = 20時(shí)，分別求出其余邊長(zhǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過具體的計(jì)算，讓學(xué)生再次感受到當(dāng)在含45°角的直角三角形中，各邊的比值也是不變量.

追問：當(dāng)∠A = 68°時(shí)，[BCAC， ABAC， BCAB]還是定值嗎？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生思考，再用幾何畫板軟件驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠A = 68°時(shí)，[BCAC， ABAC， BCAB]仍為定值.

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷對(duì)含有30°，45°角的直角三角形的研究后，當(dāng)銳角的度數(shù)一般化為68°時(shí)，學(xué)生能夠猜想直角三角形的三邊比值仍是定值，滲透從特殊到一般的思想. 教師借助幾何畫板軟件進(jìn)行演示，使學(xué)生能更直觀地感受到“直角三角形中，當(dāng)銳角角度確定時(shí)，三邊之比皆為不變量”.

通過這樣的研究，為后續(xù)猜想的證明奠定了基礎(chǔ)，解決了關(guān)于為什么相似三角形是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)基礎(chǔ)的問題. 我們要研究的是一個(gè)三角形中的角和邊之間比值的關(guān)系，怎樣讓學(xué)生想到用兩個(gè)三角形的相似去證明呢？在含特殊角的直角三角形中，這樣兩組數(shù)值的設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生體會(huì)兩個(gè)三角形是相似的，為后面一般化情況的論證提供了思路.

環(huán)節(jié)3：由直觀到演繹，證明一般結(jié)論.

問題7：以上結(jié)論，對(duì)于任意銳角都成立嗎？提出猜想并證明.

猜想：在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的度數(shù)，其各邊的比值不變.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)前面含30°角的直角三角形的探索過程，能夠想到用兩個(gè)相似的三角形去證明猜想（如圖8）. 通過一般角度的證明過程，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 通過整個(gè)分析過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題的能力. 通過以上過程，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形中，當(dāng)角度確定時(shí)，邊的比值確定;角度變化時(shí)，邊的比值隨之變化，也就是角與邊的比值之間存在依賴關(guān)系，從而給出正弦概念，最后總結(jié)給出銳角三角函數(shù)的定義（略）.

三、教學(xué)反思

1. 努力提升概念教學(xué)價(jià)值，豐富概念抽象過程，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為智慧

數(shù)學(xué)概念凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊(yùn)含了豐富的教育素材. 數(shù)學(xué)是用概念思維的，在概念學(xué)習(xí)中形成的思維方式、方法遷移能力也最強(qiáng). 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦. 因此，數(shù)學(xué)課程應(yīng)始終把學(xué)生放在第一位，不追求知識(shí)的豐富而追求知識(shí)的品質(zhì)，從而豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，將知識(shí)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為自己的智慧. 就本節(jié)課而言，具體要強(qiáng)調(diào)的學(xué)科思維主要有以下幾點(diǎn).

一是從一般到特殊的研究策略. 當(dāng)在一般三角形中無法解決時(shí)，將一般三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中，即轉(zhuǎn)化到比較容易研究的特殊三角形中，為高中解任意三角形奠定思想方法的基礎(chǔ). 事實(shí)上，一些與一般三角形有關(guān)的后續(xù)定理（如正弦定理）正是轉(zhuǎn)換到直角三角形中進(jìn)行證明的. 例如，當(dāng)無法找到不變量進(jìn)行定量刻畫時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的特殊情況開始研究. 由特殊得到啟發(fā)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的常用思維方式. 例如，畢達(dá)哥拉斯從地磚圖案中發(fā)現(xiàn)勾股定理.

二是從定性到定量的研究路徑. 把定性的結(jié)果變成定量的結(jié)果，是數(shù)學(xué)的基本追求，一旦定性的事物得到定量的表示，就意味著我們掌握了這個(gè)事物的變化規(guī)律. 從定性到定量，實(shí)際上是發(fā)現(xiàn)和提出問題及明確研究路徑的過程. 銳角三角函數(shù)是初中階段定量研究三角形的終章，形成了定量刻畫三角形要素之間關(guān)系的完整結(jié)構(gòu). 事實(shí)上，學(xué)生已經(jīng)積累了相關(guān)定量研究的經(jīng)驗(yàn)，如用平方關(guān)系刻畫直角三角形三邊的關(guān)系等，具備了獨(dú)立探究的基本能力. 因此，本節(jié)課的內(nèi)容應(yīng)是讓學(xué)生再次經(jīng)歷這一研究路徑的機(jī)會(huì)，對(duì)理性精神的培養(yǎng)也大有裨益. 對(duì)于“可以用什么來定量刻畫直角三角形邊角之間的關(guān)系？”學(xué)生如何找到“不變量”準(zhǔn)確刻畫這一數(shù)量關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn)，但原來的教學(xué)設(shè)計(jì)回避了這一難點(diǎn). 很顯然，難點(diǎn)的突破可以有力促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，對(duì)學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀也是有利的. 也只有這樣，“冰冷的美麗”才會(huì)成為“火熱的思考”.

三是抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)方式. 概念教學(xué)應(yīng)該按“事實(shí)—概念”的路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程，獲得銳角三角函數(shù)的定義. 也就是要讓學(xué)生面臨一個(gè)事實(shí)，分析這一現(xiàn)象中各種量及其之間的相互關(guān)系，然后建立一個(gè)函數(shù)來描述這種關(guān)系（概念）. 這是使研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、本質(zhì)化的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程. 總之，在銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)銳角三角函數(shù)是刻畫邊角關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，要以“如何描述邊角關(guān)系”為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的抽象過程. 實(shí)際上，正弦概念的實(shí)質(zhì)是命題，是對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系的另一種表述，它賦予了相似比新的數(shù)學(xué)含義. 在此過程中，數(shù)學(xué)思想、看問題的角度或觀點(diǎn)發(fā)揮著決定性的作用，這是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)的.

在改進(jìn)后的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)習(xí)的意義遠(yuǎn)不只是“讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)和學(xué)習(xí)知識(shí)的方法”，而是為學(xué)生提供了參與“發(fā)現(xiàn)”知識(shí)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生能夠像人類最初發(fā)現(xiàn)知識(shí)那樣去面對(duì)問題、思考問題并做出判斷，激發(fā)并培養(yǎng)自己敏銳的觀察能力、正確的思考方式、適當(dāng)?shù)膭?dòng)手操作能力，等等，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值得以充分體現(xiàn). 通過這樣的探究過程，把前人積累的知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生個(gè)體的知識(shí)和觀念（數(shù)學(xué)觀念）;把前人從事智力活動(dòng)的思想、方法轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力和思維方式（數(shù)學(xué)思維）;把蘊(yùn)涵在知識(shí)載體中的觀念、態(tài)度轉(zhuǎn)化為學(xué)生的行為準(zhǔn)則（學(xué)習(xí)態(tài)度與責(zé)任）.

2. 高品位教學(xué)方案分析的一般流程與要點(diǎn)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是教師依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加工、創(chuàng)造的過程. 教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解、對(duì)教學(xué)目標(biāo)的把握、對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的了解和對(duì)課堂教學(xué)過程的駕馭能力，都會(huì)在教學(xué)設(shè)計(jì)中得到很大程度的體現(xiàn). 因此，重視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握應(yīng)該成為設(shè)計(jì)教學(xué)的基礎(chǔ)和前提，重視通過師生雙方的教學(xué)互動(dòng)激發(fā)學(xué)生參與和探究的意識(shí)應(yīng)該成為促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生的有效手段. 進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的相關(guān)分析，能更好地從理念、方法和過程方面整體改進(jìn)課堂教學(xué)，最大限度地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

教師能否設(shè)計(jì)出高品位的教學(xué)方案，取決于教師對(duì)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)的把握、對(duì)學(xué)科精神的領(lǐng)會(huì)，以及對(duì)學(xué)生水平與發(fā)展方向的確定. 若教師眼中的知識(shí)是有結(jié)構(gòu)、有脈絡(luò)、有內(nèi)在聯(lián)系的整體，就能夠區(qū)分出哪些內(nèi)容值得啟發(fā)學(xué)生“經(jīng)歷”“發(fā)現(xiàn)”，哪些內(nèi)容只需要知道或簡(jiǎn)單識(shí)記就足夠. 同時(shí)，這個(gè)“再認(rèn)識(shí)”的過程與初認(rèn)識(shí)是不同的，是選擇關(guān)鍵的、有意義的環(huán)節(jié)，進(jìn)行邏輯的、結(jié)構(gòu)的、系統(tǒng)的、有目的地展開的過程. 這樣的過程正是學(xué)生個(gè)體認(rèn)識(shí)應(yīng)有的過程.

具體來說，分析的一般流程主要有以下幾個(gè)方面：一是充分理解課程標(biāo)準(zhǔn)要求的內(nèi)容與程度，以課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范課程實(shí)施;二是明確內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解;三是對(duì)學(xué)生認(rèn)知思維充分把握，探尋學(xué)科思維的關(guān)鍵;四是設(shè)計(jì)適當(dāng)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的探索過程，從而實(shí)現(xiàn)“真探索”.

例如，本節(jié)課圍繞“怎么發(fā)現(xiàn)在直角三角形中，當(dāng)角度確定時(shí)，各邊的比是確定的”這一關(guān)鍵問題開展探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了研究方法的突破，這顯然是學(xué)科思維形成的關(guān)鍵. 又如，在尋找不變量的特殊情況研究中，從在一個(gè)三角形中直接研究邊之比，到在兩個(gè)三角形中具體量的計(jì)算，不僅順利地得到了結(jié)論，也為后面證明思路的形成奠定了基礎(chǔ). 顯然，這是更有意義的探究過程.

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