吳鳳嬌

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中通常會(huì)遇到一些輔助函數(shù)的構(gòu)造，如何根據(jù)題目的特點(diǎn)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)解決問(wèn)題十分重要。為了說(shuō)明輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，從題目類型，通過(guò)分析有效的構(gòu)造輔助函數(shù)以及在教學(xué)中的思考，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高等數(shù)學(xué);輔助函數(shù);教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）31-0156-02

輔助函數(shù)的構(gòu)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一。如何巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)解題有事半功倍的效果，這也考查了學(xué)生獨(dú)立思考的能力，能否將“抽象”的問(wèn)題通過(guò)某個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)。因此，在條件“不足”的情況下，我們只有根據(jù)題目的特點(diǎn)以及相應(yīng)的關(guān)鍵詞等重要信息，來(lái)指引學(xué)生往“特定”的方向去思考。另外，在遇到一些比較抽象復(fù)雜的證明題時(shí)，命題人主要想考查學(xué)生能否對(duì)問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立的思考、能否從題目中提取出關(guān)鍵的信息。眾所周知，數(shù)學(xué)題目可以千變?nèi)f化，解題的方法也多種多樣。而教師要做的是指導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的突破口，這才是關(guān)鍵，教會(huì)他們一種解題思路、一種方法，也就是所謂的“授之以魚(yú)，不如授之以漁”。所以，教師通過(guò)對(duì)典型例題的分析、講解，讓學(xué)生慢慢地體會(huì)、掌握此種方法，能做到舉一反三。一旦方法掌握之后，不管題目怎樣變化，學(xué)生都能做出來(lái)。所以，可以這樣告訴學(xué)生，這些問(wèn)題都是有“套路”的，讓他們從心理上不再懼怕，不要遇到這種題目就直接放棄，要鼓勵(lì)他們仔細(xì)、獨(dú)立地分析題干，得出有用的信息。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練、方法的積累，學(xué)生才能更加自信地解題，這樣他們也能夠制訂清晰的目標(biāo)。本文將根據(jù)以下幾種題型，通過(guò)詳細(xì)的分析、完整的解答，指引學(xué)生輕松構(gòu)造輔助函數(shù)。

一、關(guān)于不等式的證明

不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生最怕遇到的一種題型。但是如果我們掌握了其中的技巧——構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，就變得簡(jiǎn)單了。通常不等式的證明方法主要是作差法，即將不等號(hào)右邊的項(xiàng)移到左邊，使得右邊變成“0”。左邊的“一堆”，我們可以把它看成一個(gè)函數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上研究此函數(shù)的單調(diào)性，最后得出的函數(shù)在給定區(qū)間上的“最值”和“0”比較，從而得出大小關(guān)系。掌握這種方法后，不論式子多么復(fù)雜，都可以朝這個(gè)方向去思考。

二、關(guān)于存在性的證明

存在性的證明，本文只給出某個(gè)方程在給定區(qū)間內(nèi)至少有一實(shí)根或者證明至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ在某個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足一個(gè)關(guān)于的等式的證明方法。這類題目有共同的特點(diǎn)：內(nèi)容比較簡(jiǎn)短，條件較少，通常是以抽象函數(shù)的形式給出。這也是學(xué)生最害怕的證明題之一，學(xué)生一般會(huì)選擇放棄。雖然題目看起來(lái)比較“難”，但是摸清其中的門(mén)路后，其實(shí)一點(diǎn)也不難。這類問(wèn)題考查的內(nèi)容用到的原理比較固定，即零點(diǎn)存在定理。而用該定理來(lái)解決的話，有兩個(gè)方面要注意：（1）要構(gòu)造合適的輔助函數(shù);（2）輔助函數(shù)構(gòu)造完成后，需要驗(yàn)證所構(gòu)造的函數(shù)是否滿足零點(diǎn)存在定理的條件。滿足這兩個(gè)條件后，結(jié)論自然成立。下面我們先給出零點(diǎn)存在定理：

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且滿足f（a）f（b）<0，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

下面分別舉出方程至少有一根的實(shí)例和至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ在某個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足一個(gè)關(guān)于的等式的證明的例子。

例2. 證明：方程x5-3x=1在（1，2）內(nèi)至少有一實(shí)根。

分析：這是一道證明方程至少有一實(shí)根的問(wèn)題。要證明方程至少有一實(shí)根，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，我們首先構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，然后再驗(yàn)證所構(gòu)造的函數(shù)是滿足該定理的條件。這類問(wèn)題常用的方法就是將等號(hào)的右邊移到左邊來(lái)，使得右邊為“0”，x5-3x-1=0，而左邊的“一堆”就是我們所要構(gòu)造的輔助函數(shù)。即令f（x）=x5-3x-1。

證明：令f（x）=x5-3x-1

則f（x）在[1，2]上連續(xù)。而f（1）=1-3-1=-3<0，f（2）=25-6-1=25>0，

于是f（1）f（2）<0。

由零點(diǎn)存在定理得，至少存在一點(diǎn)ξ∈（1，2），使得f（ξ）=0。

即ξ5-3ξ-1=0。

故方程x5-3x=1在（1，2）內(nèi)至少有一實(shí)根。

例3.設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且0

分析：這是一道證明至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ在某個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足一個(gè)關(guān)于ξ的等式的例子。題目中f（x）是抽象函數(shù)，想要用零點(diǎn)存在定理解決，需要構(gòu)造滿足該定理的“函數(shù)”。由于題目中只需找出ξ是存在的即可，所以，我們將問(wèn)題一般化，即將結(jié)論中的ξ換成x，然后將等號(hào)右邊的移到左邊來(lái)。此時(shí)等號(hào)左邊的就是我們要構(gòu)造的輔助函數(shù)。

證明：令F（x）=f（x）-x

由于f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，因此F（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且F（0）=f（0）>0，F(xiàn)（1）=f（1）-1<0。

也即F（0）F（1）<0。

由零點(diǎn)存在定理得，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0。

即f（ξ）=ξ。

三、關(guān)于中值定理的應(yīng)用

中值定理是高等數(shù)學(xué)微積分中的重要內(nèi)容之一，它將函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，也是導(dǎo)數(shù)的一種重要應(yīng)用。中值定理的應(yīng)用也比較廣泛，主要應(yīng)用于證明一些不等式以及根的存在性問(wèn)題。要求學(xué)生必須掌握，也是在研究生考試中重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)。而我們主要講的是微分中值定理，它主要包含羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。關(guān)于其應(yīng)用，難點(diǎn)在于怎樣構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。下面我們以羅爾定理的應(yīng)用為例，詳細(xì)說(shuō)明輔助函數(shù)的構(gòu)造。而羅爾定理的應(yīng)用，一般情況是根據(jù)乘積求導(dǎo)公式（uv）′=u′v+uv′的逆用來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)。下面我們列舉幾種常見(jiàn)的構(gòu)造情形：