高大鵬 朱秋蓉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 微積分是普通高等院校理工類專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程。黎曼積分不僅是微積分學(xué)研究的核心對(duì)象，還是研究其他各類學(xué)科重要的輔助工具之一?；诮虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生怎樣掌握這一部分內(nèi)容提出一些思考。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 黎曼積分;概念;教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）31-0046-02

一、研究背景

在我國(guó)古代時(shí)期，劉徽提出的割圓術(shù)就開(kāi)始孕育了積分思想。在公元前7世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家在求解曲線長(zhǎng)、曲邊形面積及曲面體的體積時(shí)也含有積分思想。積分經(jīng)過(guò)歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等著名數(shù)學(xué)家研究奠基后，直到17世紀(jì)初，英國(guó)牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)，由力學(xué)創(chuàng)造流數(shù)學(xué)（微積分），同時(shí)期，德國(guó)萊布尼茨從幾何學(xué)出發(fā)，由研究曲線的切線問(wèn)題創(chuàng)立了微積分。但初創(chuàng)時(shí)期的微積分缺乏嚴(yán)格的基礎(chǔ)，所以難免存在缺陷。19世紀(jì)，柯西通過(guò)研究得到連續(xù)函數(shù)一定存在積分的結(jié)論，隨后，黎曼發(fā)現(xiàn)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)的不連續(xù)函數(shù)也存在積分，進(jìn)而黎曼將柯西積分中的連續(xù)函數(shù)推廣到了有界函數(shù)，并定義了黎曼積分，這在很大程度上完善了積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)及定義。

二、黎曼積分的定義及幾何意義

從求曲邊梯形面積S的具體實(shí)例中可以看出，該問(wèn)題可通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限”得到解決。忽略該問(wèn)題的幾何背景，可得到如下函數(shù)f在[a，b]上黎曼可積的定義。

從這個(gè)定義來(lái)看，黎曼積分首先是對(duì)函數(shù)f的定義域進(jìn)行任意分割T，在分割后的每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任意取點(diǎn)ξi∈Δi所得的積分和在分割的細(xì)度‖T‖→0時(shí)有唯一的極限值，則函數(shù)f黎曼可積。根據(jù)此定義來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否黎曼可積，難度是很大的。原因在于黎曼積分定義中兩個(gè)任意的要求。其一，要求對(duì)函數(shù)的定義域分割的任意性，其二，要求分割后每個(gè)小區(qū)間上取點(diǎn)的任意性。這兩種任意性導(dǎo)致我們對(duì)一個(gè)給定函數(shù)f在其定義域[a，b]可得到無(wú)窮多種積分和，我們不可能將無(wú)窮多種積分和一一列舉出來(lái)再考察其在分割的細(xì)度‖T‖→0時(shí)是否有唯一的極限。為此，我們需要建立更簡(jiǎn)單易檢驗(yàn)的關(guān)于函數(shù)黎曼可積的判定定理（例如由達(dá)布和描述的關(guān)于函數(shù)黎曼可積的充要條件）。但反過(guò)來(lái)，如果已知函數(shù)f在某區(qū)間[a，b]上黎曼可積，我們可以對(duì)該函數(shù)在其定義域上作特殊的分割得到一個(gè)特殊的積分和，求出該積分和在分割的細(xì)度‖T‖→0時(shí)極限即為函數(shù)f在區(qū)間[a，b]上的定積分值。同時(shí)，這種方法往往也為求數(shù)列極限提供了一種思路。請(qǐng)看下面的例子：

三、教學(xué)思考

黎曼積分概念的教學(xué)是微積分課程教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。為深刻理解函數(shù)f在[a，b]上黎曼可積的定義，筆者認(rèn)為應(yīng)該做好以下五個(gè)方面的準(zhǔn)備工作。

1.讀。在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，應(yīng)該讓學(xué)生預(yù)習(xí)。尤其是閱讀并理解曲邊梯形面積和變速運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)路程的求解方法。深刻理解對(duì)連續(xù)函數(shù)在局部范圍內(nèi)“以直代曲”“以勻代非勻”的思想，為定積分概念的引入做好鋪墊工作，也為后續(xù)學(xué)習(xí)定積分的應(yīng)用問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

2.思。在充分閱讀并理解定積分概念提出的背景后，學(xué)生應(yīng)該思考如果忽略具體問(wèn)題的幾何背景和物理背景，應(yīng)該如何提出函數(shù)黎曼可積的概念呢？首先對(duì)函數(shù)應(yīng)該有什么要求呢？對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)有多少種積分和呢？等問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力有顯著作用。

3.講。在學(xué)生閱讀思考的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該就定積分概念中的關(guān)鍵問(wèn)題逐一解釋清楚。比如，就分割T的細(xì)度的理解而言，教師應(yīng)借助圖示幫助學(xué)生理解分割T給定，則細(xì)度‖T‖隨之確定，但‖T‖確定，對(duì)應(yīng)的分割卻有無(wú)限多個(gè)。就積分和而言，一個(gè)給定函數(shù)在給定區(qū)間的積分和與哪些因素有關(guān)？事實(shí)上，積分和不僅與分割T有關(guān)，還與在分割給定之后每個(gè)小區(qū)間上的取點(diǎn)有關(guān)。因此，積分和有無(wú)限多種。就極限過(guò)程而言，只有在等分分割區(qū)間時(shí)，‖T‖→0才能用n→∞來(lái)代替。就定積分作為積分和的極限這個(gè)概念而言，我們把這個(gè)極限理解為函數(shù)的極限。因?yàn)?，在函?shù)極限f（x）中，對(duì)每一個(gè)極限變量x來(lái)說(shuō)，f（x）的值是唯一確定的。而對(duì)于積分和的極限來(lái)說(shuō)，每一個(gè)‖T‖并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值，這使積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多。另外，根據(jù)定積分的概念，定積分作為積分和的極限，它的值只與被積函數(shù)f及積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，而與積分變量所用的符號(hào)無(wú)關(guān)，這一點(diǎn)是定積分與不定積分的重要區(qū)別。

4.練。眾所周知，數(shù)列極限的求法很多。用定積分的概念求數(shù)列極限是一種重要的方法。教師在課堂上講解了該方法的思想和要領(lǐng)后，應(yīng)要求學(xué)生完成一些相關(guān)的變式練習(xí)，加深對(duì)這種方法的理解和運(yùn)用。

5.問(wèn)。通過(guò)教師對(duì)黎曼積分概念的講解后，學(xué)生或許還有一些沒(méi)有理解或認(rèn)識(shí)不深刻的知識(shí)點(diǎn)，這就需要學(xué)生在課下和同學(xué)多討論、交流。另外，教師要鼓勵(lì)學(xué)生充分利用豐富的互聯(lián)網(wǎng)資源，多看一些線上精品課程及其他相關(guān)教材，彌補(bǔ)教師課堂上講解的不足。

教學(xué)作為一種雙邊活動(dòng)，教師和學(xué)生需要積極配合才能達(dá)到良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)概念的講解作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)難點(diǎn)，教師和學(xué)生都感到比較吃力。本文以黎曼積分概念的教學(xué)為例，從自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出了自己的幾點(diǎn)思考。

參考文獻(xiàn)：

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◎編輯 馬燕萍