王麗霞

摘 要：運(yùn)算素養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。通過對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)試卷的統(tǒng)計(jì)分析，文章作者發(fā)現(xiàn)初中生的運(yùn)算能力培養(yǎng)現(xiàn)狀并不樂觀，學(xué)生在運(yùn)算方面存在較為嚴(yán)重的問題，直接影響了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，影響了學(xué)生繼續(xù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，具體表現(xiàn)在計(jì)算的正確率不高、速度慢等，這引起了教師的極大關(guān)注和困惑。因此，進(jìn)行初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培育實(shí)踐研究是很有必要的。文章作者通過文獻(xiàn)研究法、調(diào)查分析法、課例研究法、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法等，建立理論支撐，了解了學(xué)生運(yùn)算能力現(xiàn)狀，得到了提高學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的有效策略和方法，并將其進(jìn)行推廣輻射，帶動(dòng)了整個(gè)地區(qū)初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)在課堂中的有效落實(shí)，同時(shí)提高了教師的教科研水平，發(fā)展了教師的專業(yè)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);運(yùn)算素養(yǎng)培育;實(shí)踐研究

課題項(xiàng)目：內(nèi)蒙古自治區(qū)教學(xué)研究室教學(xué)專項(xiàng)課題（NMKT1350870）。

無(wú)論數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得，還是數(shù)學(xué)問題的解決等，都依賴于計(jì)算活動(dòng)的參與。運(yùn)算素養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在教材中所占的比重很大，貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，是學(xué)生必備的關(guān)鍵素養(yǎng)之一。學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的高低直接影響著其學(xué)習(xí)質(zhì)量，也會(huì)影響其他學(xué)科，如物理、化學(xué)等的學(xué)習(xí)。從內(nèi)蒙古土默特左旗（以下簡(jiǎn)稱我旗）近幾年的中考成績(jī)以及教學(xué)的現(xiàn)狀來看，學(xué)生在整式、分式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)式等方面的運(yùn)算都存在較為嚴(yán)重的不足，具體表現(xiàn)在計(jì)算速度慢、計(jì)算正確率不高等，這直接影響了我旗初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，也影響了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。為提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、細(xì)致、耐心、不畏困難的品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，為此我旗從2019年開始開展了自治區(qū)教研室專項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培育實(shí)踐研究”的研究工作。

一.課題研究的意義與界定

本課題研究的要點(diǎn)是提升初中生的運(yùn)算素養(yǎng)，運(yùn)算素養(yǎng)包括運(yùn)算算法、算理和運(yùn)算程序設(shè)計(jì)等;內(nèi)涵是提高學(xué)生運(yùn)算的正確率，基本內(nèi)容是研究促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)提升的教學(xué)策略，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中有效落實(shí)提供相關(guān)理論指導(dǎo)。教師要通過邊行動(dòng)、邊實(shí)踐、邊研究，促進(jìn)自身教學(xué)行為的轉(zhuǎn)變，積累提高學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，解決我旗初中生運(yùn)算能力差的問題，提升我旗初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。本研究的成果對(duì)我旗初中各學(xué)校的數(shù)學(xué)教育教學(xué)能起到很好的促進(jìn)作用，特別是對(duì)農(nóng)村初中具有示范作用，能夠引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育發(fā)展方向，提供范例指導(dǎo)，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量提高。本課題的研究對(duì)內(nèi)蒙古其他地區(qū)也具有很強(qiáng)的實(shí)踐操作性和借鑒意義。

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是最為基礎(chǔ)又應(yīng)用最廣的一種能力，其是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似值的計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形的計(jì)算求解，也包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算程序等一系列過程的思維能力，包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。培育原指培養(yǎng)幼小生物，使其發(fā)育成長(zhǎng)，這里特指促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)提升的方法與途徑等。實(shí)踐研究即在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和提出問題，對(duì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行概括和總結(jié)，形成有效促進(jìn)初中生運(yùn)算素養(yǎng)提升的方法、策略和途徑。實(shí)踐的研究主要內(nèi)容包括研究學(xué)生在計(jì)算中發(fā)生錯(cuò)誤的原因;找到提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的有效教學(xué)策略。

二、課題研究的策略與途徑

在本課題的研究中，采用的研究方法主要有四種。第一種，文獻(xiàn)研究法：教師通過對(duì)國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培育的相關(guān)理論的查找和研究，建立有效的理論支撐，并在我旗各實(shí)驗(yàn)?zāi)昙?jí)進(jìn)行指導(dǎo)研究工作。第二種，調(diào)查分析法：教師在我旗進(jìn)行大樣本的學(xué)生計(jì)算情況的摸底測(cè)試、問卷調(diào)查、相關(guān)性分析，了解學(xué)生計(jì)算能力的現(xiàn)狀。第三種，課例研究法：教師采取課前說課，成員討論—教師上課—課后評(píng)析的方式進(jìn)行研討，找到學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)薄弱的原因。第四種，經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法：教師收集研究活動(dòng)中的資料并進(jìn)行整理，對(duì)研究活動(dòng)中取得的經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)及時(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，找到提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的針對(duì)性措施。此外，教師還運(yùn)用了個(gè)案跟蹤、數(shù)據(jù)分析等研究方法。

在課題研究中，教師通過調(diào)查研究，清楚地知道了學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀，大量地收集了學(xué)生的錯(cuò)誤習(xí)題，并進(jìn)行整理、歸類、分析、研究、實(shí)踐、反思，明確了學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因以及教學(xué)存在的問題，改變了認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，理解了從運(yùn)算技能走向運(yùn)算能力，再走向運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)過程，最終是指向運(yùn)算思維的發(fā)展。在運(yùn)算教學(xué)中，教師從先前讓學(xué)生通過大量的練習(xí)來達(dá)到運(yùn)算要求，轉(zhuǎn)變?yōu)橛嗅槍?duì)性、有層次、有梯度、有深度、有廣度的多樣化訓(xùn)練，積累了有價(jià)值的訓(xùn)練題目及訓(xùn)練方法;從先前“頭疼醫(yī)頭，腳疼醫(yī)腳”，轉(zhuǎn)變?yōu)檎w把握學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培育，積累了行之可效的教學(xué)方法及指導(dǎo)措施，具體如下。

第一，培育運(yùn)算素養(yǎng)，注意階段性銜接。初一是學(xué)生從小學(xué)到初中的過渡時(shí)期，教師要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做好學(xué)生心理、認(rèn)知上的過渡和銜接工作。初中“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運(yùn)算，數(shù)量的估計(jì);字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算;方程，方程組，不等式，函數(shù)等。對(duì)初一新生而言，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)從內(nèi)容、容量、難度都產(chǎn)生了很大變化，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式也相應(yīng)發(fā)生了改變。相比于小學(xué)，初中數(shù)學(xué)數(shù)域擴(kuò)充了，從參與運(yùn)算的對(duì)象來說，頻繁地使用字母來代替數(shù)，出現(xiàn)了整式、分式等運(yùn)算，運(yùn)算變得抽象復(fù)雜了。從運(yùn)算的方式看，初中數(shù)學(xué)運(yùn)算開始進(jìn)入模式化并大量使用公式;從運(yùn)算的種類看，運(yùn)算的種類明顯增多。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)以及運(yùn)算能力?！皵?shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟?！薄胺?hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。”“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！薄稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，關(guān)于學(xué)生數(shù)感、符號(hào)意識(shí)及運(yùn)算能力的培養(yǎng)，教師要循序漸進(jìn)，要延續(xù)并進(jìn)一步深入地做好小學(xué)到初中學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的過渡。剛進(jìn)入初中接觸到負(fù)數(shù)及其相關(guān)運(yùn)算時(shí)，學(xué)生很不適應(yīng)，學(xué)習(xí)存在很多困難。因此，教師在教學(xué)中要注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系，深入了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展和深化，杜絕學(xué)段知識(shí)脫節(jié)的現(xiàn)象。

第二，培育運(yùn)算素養(yǎng)，加強(qiáng)運(yùn)算能力相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法的理解和運(yùn)用。與運(yùn)算能力相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)主要指數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則、運(yùn)算順序和計(jì)算公式等內(nèi)容，也包括學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的熟練轉(zhuǎn)化，代數(shù)恒等變形常規(guī)方法的準(zhǔn)確運(yùn)用，運(yùn)算推理過程的規(guī)范書寫，運(yùn)算過程中的心算、口算、估算、近似計(jì)算、檢驗(yàn)、反思、總結(jié)等。在運(yùn)算教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)算的目的，重點(diǎn)關(guān)注算理、算法、運(yùn)算途徑的判斷、選擇、設(shè)計(jì)及相關(guān)字母和代數(shù)式的運(yùn)算，方程變形運(yùn)算等，認(rèn)識(shí)實(shí)施運(yùn)算途徑的多樣性，可以培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化思想以及合理選擇簡(jiǎn)算途徑的意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算思想方法的理解和運(yùn)用。

第三，培育運(yùn)算素養(yǎng)，加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練，加大運(yùn)算教學(xué)力度。首先，教師在課堂上要分層設(shè)計(jì)運(yùn)算題目，細(xì)化習(xí)題訓(xùn)練梯度，重視變式訓(xùn)練，追求巧練，避免搞題海戰(zhàn)術(shù)。其次，教師在課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性、典型性運(yùn)算題的訓(xùn)練、指導(dǎo)和反思，實(shí)施“個(gè)性化”習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生在交流中獲取更多的信息。這樣，學(xué)生的表達(dá)能力、思維能力均得到大幅度的提高，既發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，又開發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在潛能。最后，教師要利用基礎(chǔ)訓(xùn)練、專項(xiàng)訓(xùn)練、培優(yōu)訓(xùn)練、二課堂活動(dòng)等引起學(xué)生對(duì)運(yùn)算的重視，從口算、心算、筆算、簡(jiǎn)算、估算、近似計(jì)算等方面培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

第四，在綜合運(yùn)用中提高運(yùn)算素養(yǎng)。運(yùn)算素養(yǎng)需要經(jīng)過一個(gè)長(zhǎng)期的過程才能形成，其在綜合運(yùn)用中會(huì)實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步鞏固、發(fā)展和深化。在綜合運(yùn)用中，運(yùn)算的工具性和思維性得到了體現(xiàn)，也充分說明運(yùn)算不只是追求簡(jiǎn)化的結(jié)果，而是要為一定的推理、演繹、判斷服務(wù)。教師要通過綜合運(yùn)用，從問題的產(chǎn)生、運(yùn)算目標(biāo)的確定、運(yùn)算種類的選擇、運(yùn)算技能的發(fā)揮、問題的解決等方面，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

三、課題研究成果及影響

通過課題研究，學(xué)生明白了運(yùn)算素養(yǎng)的重要性，克服了使用計(jì)算器完成運(yùn)算、演算不用稿紙等不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，規(guī)范了解題過程。在有序的基礎(chǔ)訓(xùn)練、專項(xiàng)訓(xùn)練、培優(yōu)訓(xùn)練中，學(xué)生提高了口算、心算、估算、近似計(jì)算的能力，加深了對(duì)運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算性質(zhì)、法則、順序、運(yùn)算背景等的理解和運(yùn)用，極大地降低了運(yùn)算的錯(cuò)誤率，提高了運(yùn)算速度和正確率。這樣，便改變了學(xué)生只會(huì)簡(jiǎn)單計(jì)算，不會(huì)對(duì)式子進(jìn)行組合變形與分解變形的現(xiàn)狀，促使學(xué)生掌握了代數(shù)變形的常規(guī)方法。在綜合運(yùn)用中，學(xué)生從先前的無(wú)從下手，逐步實(shí)現(xiàn)了能夠分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算程序、靈活調(diào)整運(yùn)算方法，并進(jìn)一步推理的目標(biāo)，明確了運(yùn)算的工具性和思維性特點(diǎn)，養(yǎng)成了優(yōu)化意識(shí)，完善了知識(shí)和方法體系。在促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)培育的二課堂活動(dòng)中，學(xué)生通過講微課、繪制思維導(dǎo)圖、根據(jù)運(yùn)算錯(cuò)誤編制自己的易錯(cuò)測(cè)試卷等，發(fā)揮了其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，體驗(yàn)了運(yùn)算帶來的成功和喜悅。

本研究的成果主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。第一，學(xué)生的成績(jī)和學(xué)科素養(yǎng)提升。通過兩年多的課堂教學(xué)實(shí)踐研究，我旗初中生的運(yùn)算能力普遍提高，數(shù)學(xué)成績(jī)大幅提升。數(shù)學(xué)學(xué)困生大幅減少，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃厚，由被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，有序思考、認(rèn)真研究，解決數(shù)學(xué)問題的能力也提高了。第二，教師的教和學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生良性變化。教師由只關(guān)注教學(xué)過程，轉(zhuǎn)變?yōu)楦P(guān)注學(xué)生的思維路徑，研究過程中設(shè)置了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的題庫(kù)和策略，具體如下：首先，以實(shí)際背景為依托，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的必要性和重要性，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決問題的必要方法，加深對(duì)運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算背景的認(rèn)識(shí)和理解，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的興趣。其次，課堂教學(xué)因材循導(dǎo)。學(xué)生運(yùn)算能力各如其面，不盡相同，所以教師設(shè)置了“運(yùn)算題庫(kù)超市”，習(xí)題分為A，B，C三個(gè)難度等級(jí)，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，可以選擇自己力所能及的運(yùn)算題。這種做法消除了之前教師布置統(tǒng)一練習(xí)、一刀切的弊端，滿足了不同層次學(xué)生的需求，避免了課堂出現(xiàn)嚴(yán)重的兩極分化，教師也能了解學(xué)生真實(shí)的學(xué)情。最后，課堂上學(xué)生互學(xué)、互助，在完成自己會(huì)做的運(yùn)算題后，再去請(qǐng)教或者教授其他學(xué)生。在這個(gè)過程中，學(xué)生既獨(dú)立解決了力所能及的問題，又培養(yǎng)了自身主動(dòng)向他人請(qǐng)教和樂于幫助他人的優(yōu)良品質(zhì)，形成了“兵教兵”的互動(dòng)學(xué)習(xí)模式。真正做到全員參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，人人做課堂的主人。從金字塔學(xué)習(xí)理論可知，全員參與的體驗(yàn)式學(xué)習(xí)方式能使學(xué)習(xí)效果最大化。第三，教師理論修養(yǎng)和教科研能力提高。隨著課題實(shí)踐研究不斷深入，教師成長(zhǎng)為既能教學(xué)的實(shí)踐開拓者，又能從事教育教學(xué)理論研究的理論探索者。相關(guān)教師撰寫了論文《初中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略》《淺談初中數(shù)學(xué)常見問題及應(yīng)對(duì)策略》《芻議初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)》《初中數(shù)學(xué)幾何圖形中的計(jì)算問題研究》等，有的論文已陸續(xù)發(fā)表。

2019年，課題組全體成員加強(qiáng)實(shí)踐研究及理論宣傳，在全旗范圍內(nèi)開主設(shè)公開課、觀摩課、研究課，與全旗廣大教師交流分享，引領(lǐng)同科教師更新教學(xué)理念，轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)行為。2020年，課題組教師在深化課堂實(shí)踐的同時(shí)，將成功的經(jīng)驗(yàn)及理論融入課堂，與全旗數(shù)學(xué)教師進(jìn)行研討，對(duì)內(nèi)進(jìn)行輻射。如在教學(xué)中以實(shí)際背景引入數(shù)學(xué)運(yùn)算，激發(fā)學(xué)生興趣。2021年，課題組教師先后在呼和浩特市教研活動(dòng)中帶課觀摩展示;在江蘇省常州市全國(guó)“自覺數(shù)學(xué)教育”學(xué)術(shù)峰會(huì)上嶄露頭角;7月在西安市全國(guó)名師工作室聯(lián)盟博覽會(huì)上介紹推廣了經(jīng)驗(yàn)和成果。在兩年多的研究中，課題組教師每學(xué)期都組織家長(zhǎng)進(jìn)行意見調(diào)研，起初家長(zhǎng)不太重視，后來看到孩子的運(yùn)算素養(yǎng)提升了，成績(jī)也提高了，孩子對(duì)數(shù)學(xué)從先前的置之不理，到后來的愛不釋手，家長(zhǎng)震撼了，認(rèn)可了教師的方法，并積極配合學(xué)校教育教學(xué)的各項(xiàng)工作，形成家校管理的良性循環(huán)。

對(duì)于學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)培育的實(shí)踐研究意義深遠(yuǎn)，其改變了教與學(xué)的方法，獲得了培育學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的策略和途徑，促進(jìn)了學(xué)生高階思維的發(fā)展。本課題如果能將針對(duì)學(xué)生獨(dú)立個(gè)體的運(yùn)算素養(yǎng)培育形成研究理論，則會(huì)更有全面的指導(dǎo)意義。通過本課題的研究，課題組教師看到了教科研的積極聯(lián)動(dòng)作用，也極大地增強(qiáng)了繼續(xù)探索教育教學(xué)課題的勇氣。

[參考文獻(xiàn)]

[1]霍小莉，任勝章.例談初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中運(yùn)算能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（1）：83，85.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.