王玉英

【摘 要】深度教學(xué)是觸及知識(shí)內(nèi)核和走進(jìn)思維深處的教學(xué)。針對(duì)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第61頁(yè)“認(rèn)識(shí)面積”中的探究性問(wèn)題“3×4，2×5兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，孰大孰小”，學(xué)生用重疊法比較一次，發(fā)現(xiàn)無(wú)法解決問(wèn)題。筆者在課堂上與學(xué)生進(jìn)行深度討論，引發(fā)一場(chǎng)用升級(jí)版重疊法比較面積大小的“頭腦風(fēng)暴”。結(jié)果表明，我們不僅找到了“剪裁+兩次重疊”與“畫(huà)線+兩次重疊”兩種解決辦法，還借助乘法分配律和圖形操作關(guān)系式揭示了“多次重疊”背后的數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而從數(shù)形結(jié)合的角度深化了對(duì)面積本質(zhì)的理解，促使學(xué)生思維走向深處。

【關(guān)鍵詞】面積 重疊法 數(shù)學(xué)原理 質(zhì)疑 深度教學(xué)

一、深度教學(xué)之課前慎思

好問(wèn)題是開(kāi)啟深度教學(xué)之門(mén)的鑰匙，也是激發(fā)學(xué)生深刻思維的催化劑。在“認(rèn)識(shí)面積”教學(xué)中，教材讓學(xué)生探究3×4和2×5兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小。一名學(xué)生用眼睛觀察后，說(shuō)：“看不出哪個(gè)面積大?！绷硪幻麑W(xué)生用重疊法比較一次，然后說(shuō)：“用重疊的方法也比較不出來(lái)，怎么辦呢？”教材發(fā)問(wèn)的目的是引出數(shù)方格法，但是重疊法真的無(wú)效嗎？學(xué)生用重疊法比較一次，發(fā)現(xiàn)無(wú)法解決問(wèn)題。那么，用重疊法比較多次，能解決嗎？這引起了筆者的深思，進(jìn)而提出系列化環(huán)環(huán)相扣、引人深思的好問(wèn)題。

（1）什么是重疊法？用重疊法比較面積大小體現(xiàn)了面積的哪個(gè)特征？什么樣的圖形用重疊法比較一次，就能比較出面積大??？

（2）用重疊法比較一次，不能解決的，比較多次，能解決嗎？若能，需要比較幾次？是有限次嗎？

（3）如何設(shè)計(jì)深度有效的活動(dòng)，多次重疊就能解決問(wèn)題？該活動(dòng)破壞圖形的完整性嗎？若破壞，又該如何改進(jìn)？（如長(zhǎng)方形鋼板，不能破壞其完整性）

（4）“多次重疊”背后的數(shù)學(xué)原理是什么？又蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)思想？這些原理和思想能被小學(xué)生理解和領(lǐng)悟嗎？

（5）對(duì)于更一般的兩個(gè)長(zhǎng)方形，有限次重疊，能否比較出它們的面積大??？在理論上能否給出相應(yīng)的證明？能否設(shè)計(jì)出一個(gè)高效的算法，編程后讓計(jì)算機(jī)解決該問(wèn)題？為解決上述問(wèn)題，筆者和學(xué)生在課堂上動(dòng)手又動(dòng)腦，帶來(lái)了一場(chǎng)別樣的、富有深度的精彩盛宴。

二、深度學(xué)習(xí)之精彩回放

學(xué)生真正的“深度學(xué)習(xí)”是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的學(xué)習(xí)過(guò)程。在課堂上，師生借助“頭腦風(fēng)暴”讓問(wèn)題得以解決、原理得以清晰、知識(shí)得以內(nèi)化，把思維引向深處。

【片段1】

通過(guò)觀察法比較，讓學(xué)生體會(huì)“面積大小”，形成面積表示“一塊區(qū)域大小”的表象。通過(guò)一次重疊，讓學(xué)生理解“面積的可加性”。

師：剛才我們通過(guò)看面、摸面、畫(huà)面活動(dòng)，對(duì)面積有了初步的認(rèn)識(shí)。那么，你能比較這些圖形的面積嗎？（出示3×3和5×5兩張正方形紙片）

生：一看就知道右邊的紙片大。

師：右邊的紙片大，意味它所占的區(qū)域——大。紙片大，也就是它的面積——大。所以，面積表示——

生：一塊區(qū)域的大小。

師：差別較大的圖形，用觀察法就能看出面積大小。那這兩張紙片呢？（出示3×4和3×5兩個(gè)長(zhǎng)方形紙片）動(dòng)手試一試吧。

（發(fā)給學(xué)生紙片，小組合作探究總結(jié)）

生：移動(dòng)紙片，把它們的邊對(duì)齊，發(fā)現(xiàn)右邊的紙片大一點(diǎn)。（同步演示）

師：重疊部分紙片，剩余的部分決定它們的大小，對(duì)嗎？

生：對(duì)。

師：這說(shuō)明，較大的紙片分成了兩部分，哪兩部分??？

生：重疊的部分和剩余的部分。

師：這兩部分的面積之和與原來(lái)紙片的面積相等嗎？

生：相等。

師：這是從求和的角度表述的。如果換成做差的角度，又該怎么表述呢？

生：原來(lái)紙片的面積減去重疊部分的面積就是剩余部分的面積。

師：你發(fā)現(xiàn)這兩張紙片的邊有什么特點(diǎn)？

生：有一對(duì)邊能完全重合，說(shuō)明這對(duì)邊長(zhǎng)相等。

【片段2】

針對(duì)用一次重疊無(wú)效的情形，創(chuàng)造性提出“剪裁+多次重疊”與“畫(huà)線+多次重疊”的兩種解決辦法，引發(fā)一場(chǎng)比較面積大小的“頭腦風(fēng)暴”活動(dòng)。

師：有相等邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，重疊法很有效。那么，這兩張紙片，用重疊法還能比出大小嗎？（出示3×4和2×5兩張長(zhǎng)方形紙片）

生（滿懷信心，邊演示邊說(shuō)）：移動(dòng)紙片，直角邊對(duì)齊，部分重疊起來(lái)，剩余的部分哪個(gè)大呢？

（學(xué)生陷入困局，百思不得其解時(shí)，教師點(diǎn)撥）

師：理論上，要減去重疊部分的面積，那么，在操作中，你怎樣做呢？給你一把剪刀，手腦并用，嘗試一下。

（學(xué)生嘗試后，恍然大悟）

生：我有辦法了，剪掉重合的部分，再看剩余的部分，誰(shuí)的面積大。

師：剩余的部分，再怎么比較??？

生：還用重疊法啊。

師：要是還比較不了，怎么辦?。?/p>

生：再剪掉重合的部分，再用重疊法比。

師：反復(fù)剪掉重合的部分，直到能用重疊法比較為止。（見(jiàn)圖4）用這種方法再試試吧！

師：你們用了幾次重疊法？

生：兩次。

師：這與普通的重疊法（重疊一次）不同。所以，我們找到了一種新方法，老師給它起名為“剪裁+多次重疊法”，你同意嗎？

生：同意。

師：這種方法雖然能比較出面積的大小，但是完整的紙片被剪碎了，破壞了紙片的完整性。很多材料，如鋼板，不能破壞它的完整性，又該怎么辦？

（學(xué)生再次陷入困局， 教師再次點(diǎn)撥）

師：你們?cè)趺醇?，沿著誰(shuí)的邊緣？

生：重合部分的邊緣。

師：可是這個(gè)邊緣不能破壞啊。

（學(xué)生似乎有所明白，教師繼續(xù)點(diǎn)撥）

師：這個(gè)邊緣起到什么作用？是將圖形分成兩部分嗎？

生：是的。

師：那不就是“分界線”嗎？

生：不破壞“分界線”？那我在鋼板畫(huà)一條線代替“分界線”，不就可以了嗎？

師：對(duì)啊，反復(fù)沿著重疊的邊緣畫(huà)線，直到能用重疊法比較為止。（見(jiàn)圖5）給這種方法起個(gè)名字，叫——“畫(huà)線+多次重疊法”。又是一個(gè)好方法。

（學(xué)生鼓掌）

【片段3】

借助乘法分配律和鏈?zhǔn)疥P(guān)系圖揭示“多次重疊”背后的數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生體會(huì)“形使數(shù)直觀，數(shù)使形入微”。

師：這兩種方法都需要“多次重疊”。那么，“多次重疊”背后涉及什么數(shù)學(xué)知識(shí)，你知道它的數(shù)學(xué)原理嗎？

原理探究，步驟如下：

① 給出長(zhǎng)方形的符號(hào)記法。如2×5長(zhǎng)方形紙片，記為或 。

② 標(biāo)出紙片的邊長(zhǎng)。

③ 兩紙片第一次重疊，得圖4（上）。

④ 利用片段1中“原面積、重疊面積、剩余面積的關(guān)系”，第一次重疊對(duì)應(yīng)的圖形操作關(guān)系式為

其中，“+”表示圖形合并，“=”表示圖形拆分或組合。

⑤ 因?yàn)榕c有等長(zhǎng)邊，再重疊一次，即可得前者面積大，從而說(shuō)明面積大。同第一次重疊類似，第二次重疊對(duì)應(yīng)的圖形操作關(guān)系式為

其中，表示該長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)為0，也就是面積為0。

⑥由后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)，可得長(zhǎng)方形面積計(jì)算關(guān)系式為

其中，“+”“=”“×”表示代數(shù)符號(hào)。

由乘法分配律，關(guān)系式（2-1）可變?yōu)?/p>

其中，中 “+”除表示兩數(shù)字相加外，還可表示原來(lái)的邊被截成兩段，見(jiàn)圖5（上）。

⑦ 操作關(guān)系式（1-1）和（1-2）是分步的。合并后，用鏈?zhǔn)奖硎緸?/p>

其中，“”指向剩余的長(zhǎng)方形。 鏈?zhǔn)疥P(guān)系式更能直觀、清晰地描述圖形的分割操作，便于判斷原圖形面積的大小。

師：一般來(lái)說(shuō)，每次重疊都會(huì)有兩種情形，它們對(duì)應(yīng)的重疊圖形也不同。針對(duì)另一種情形，你能一邊操作圖形，一邊寫(xiě)出它的鏈?zhǔn)疥P(guān)系式嗎？

三、師生成長(zhǎng)之課后深思

新課程賦予教師新的內(nèi)涵和新的要求。教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”者，更不是用現(xiàn)成設(shè)計(jì)的教案去完成知識(shí)傳授目標(biāo)的傳遞者。進(jìn)入新世紀(jì)，教師理應(yīng)成為教育教學(xué)工作的探索者、研究者。課后深思，則是教師成長(zhǎng)的必經(jīng)之路。

“面積”是平面幾何的一個(gè)基礎(chǔ)概念，而“認(rèn)識(shí)面積”更是整個(gè)面積教學(xué)的“種子課”。為促進(jìn)種子的生根、發(fā)芽，我們?cè)诮虒W(xué)中要深耕細(xì)作，不怕花時(shí)間。教材上“用重疊的方法也比較不出來(lái)”這句話，像是一只亞馬孫雨林中的蝴蝶，扇動(dòng)幾下翅膀，就引發(fā)了一場(chǎng)用升級(jí)版重疊法比較面積大小的“頭腦風(fēng)暴”，形成了現(xiàn)實(shí)版的蝴蝶效應(yīng)：

（1）在課堂上，師生通過(guò)手腦并用、思維沖擊和思想碰撞，創(chuàng)造性提出比較面積大小的兩種方法，即剪裁+多次重疊（破壞圖形完整性）和畫(huà)線+多次重疊（保持圖形完整性）。學(xué)生親身經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)問(wèn)題解決后的欣喜， 以及收獲發(fā)現(xiàn)新方法的創(chuàng)造感。

（2）師生繼續(xù)深入探索，揭示了“多次重疊”背后的數(shù)學(xué)原理，提出了兩種圖形操作關(guān)系式（分步式和鏈?zhǔn)剑?，進(jìn)而從數(shù)形結(jié)合的角度深化了對(duì)面積可加性的認(rèn)識(shí)。簡(jiǎn)單的一句話“重疊法真的無(wú)效嗎”，竟然引發(fā)了一節(jié)看得見(jiàn)的生長(zhǎng)課，收獲了意想不到的驚喜！此外，該課沿著觀察圖形（觀察法）—操作圖形（重疊法）—提煉原理（操作關(guān)系式）的步驟進(jìn)行，由淺入深，循序漸進(jìn)地將學(xué)生的思維引向深處。有了重疊法教學(xué)的深刻，就有了后續(xù)生長(zhǎng)的簡(jiǎn)約（數(shù)方格法和測(cè)量法教學(xué)）。

（3）這節(jié)課學(xué)生不僅收獲了知識(shí)和方法，還培養(yǎng)了學(xué)生善于思考、勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神。傳統(tǒng)課堂上大都是教師講學(xué)生聽(tīng)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生習(xí)慣了接受式教育，缺乏質(zhì)疑和創(chuàng)造精神。這節(jié)課突破了學(xué)生機(jī)械接受的思維模式，形成一種積極主動(dòng)、敢于挑戰(zhàn)的創(chuàng)造性思維模式。此外，學(xué)生在生疑、質(zhì)疑、解疑等認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，意識(shí)到自己不僅是教材的使用者，還能成為教材建設(shè)的參與者和創(chuàng)造者。