廣東省廣州市第五中學(510288) 王 軻

數(shù)學是自然科學的重要基礎,在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.因此,數(shù)學是每個人從小就開始必修的主課,數(shù)學素養(yǎng)也是現(xiàn)代社會每個人應該具備的基本素養(yǎng).曾經(jīng)有一所“985”院校給高考平均分在125 分以上的學生做了一個實驗:入學后的10月份再來做一次高考題目的測試,平均分降到了100分左右;到同年的12月份再組織一次,平均分居然只是及格.表面上看,這是學生對過往知識的正常遺忘,實際上反映出之前高中教學沒有真正教學生學習數(shù)學的能力.作為數(shù)學教師,要認真反思,除了教給學生數(shù)學的知識,更重要的是要培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng),特別是數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》指出:“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.”

這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融,是一個有機整體.其中邏輯推理素養(yǎng)是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式,是數(shù)學嚴謹性的基本保證和重要體現(xiàn),是人們在進行數(shù)學活動的基本思維品質.通過高中數(shù)學課程的學習,旨在使學生能夠掌握邏輯推理的基本形式,學會有邏輯的思考問題;能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯(lián);形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神.立體幾何以其獨特的知識特點,特別是線面關系的邏輯推理和演繹論證在培養(yǎng)學生思維嚴謹、推理嚴密方面有明顯的優(yōu)勢,所以通過立體幾何的課堂教學來培養(yǎng)學生的邏輯推理核心素養(yǎng),具有重要的意義.

立體幾何在高考中占據(jù)重要地位.通過對近幾年高考情況的分析,考查的重點穩(wěn)定在直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的性質和判定上;難度上也始終以中等偏難為主.在新課標標準下,立體幾何的教學重點由原來的要求學生掌握立體幾何的知識,轉變?yōu)橐囵B(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯推理能力.作者從以下五個方面就如何在立體幾何的課堂教學中培養(yǎng)學生的邏輯推理核心素養(yǎng)做了初步探索.

1 圖形、符號表示方面

眾所周知,立體幾何的學習離不開圖形和符號,其中的點、線、面、體,包括他們之間的屬于、包含、平行、垂直等關系,都可以通過圖形和符號表示出來,一方面可以簡化文字語言描述,另一方面可以更直觀地表現(xiàn)它們之間的關系.

因此,在立體幾何的教學中,要重視文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化,引導學生及時地將文字條件轉化為圖形條件和符號表示,在圖形中進行條件和結論的標識,更直觀地幫助學生進行條件的分析和結論的證明.例如,在平常的教學中,我們可以設計如下的表格來引導學生將所學的定理、定義等進行三種語言的互相翻譯,甚至可以滾動訓練,從而達到學生對這些知識熟練掌握,并且提高他們對定理的理解和記憶的目的.同時,對學生規(guī)范答題也有很好的幫助作用,學生在上述練習的過程中,已經(jīng)是一個圖形——符號——文字的循環(huán)翻譯過程,學生在此過程中不斷強化三種語言的互化和邏輯推理的嚴密性.

定理文字語言圖形語言符號語言線面平行的性質線面平行的判定面面平行的性質面面平行的判定線線垂直的判定線面垂直的性質線面垂直的判定面面垂直的性質面面垂直的判定

2 化歸與轉化思想方面

化歸與轉化思想是數(shù)學思想方法中極為重要的一種,可以幫助我們快速、高效地解決數(shù)學問題.在立體幾何的學習中也占有十分重要的地位,起著關鍵性的作用,主要體現(xiàn)在以下幾個方面:

第一,上面所探索的文字語言、圖形語言、符號語言之間的互相轉化就是化歸與轉化思想的體現(xiàn).從定義、定理到問題都是以文字語言的形式呈現(xiàn)出來,需要我們先把他們轉化為相應的圖形和符號語言,這是學習立體幾何,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的入門要求,是必不可少的!

第二,空間問題與平面問題的互化.我們都知道“點動成線,線動成面,面動成體.”所以,在研究立體幾何中的空間問題時,我們往往需要把空間問題轉化成平面問題,通過降低維度來降低難度.

第三,位置關系的轉化.這一類的轉化比較多地體現(xiàn)在證明線線、線面、面面的位置關系問題上.解決這些問題,我們經(jīng)常借助于“線線?線面?面面”平行和判定的三級互化,在這一部分的訓練中,可以引導學生畫如下的思維導圖,執(zhí)因索果,由果尋因,從而更好地幫助學生分析問題,尋找解決問題的辦法,從而在不知不覺中提高學生的邏輯推理核心素養(yǎng).例如:

題目如圖1,?ABC是邊長為4 的等邊三角形,?ABD是等腰直角三角形,AD ⊥ BD,平面ABC ⊥平面ABD,且EC ⊥平面ABC,EC=2.

圖1

(1)證明:DE//平面ABC;

(2)證明:AD ⊥BE.

如圖,分析第(2)問時,可借助如下思維導圖:

第四,體積問題的轉化.在研究幾何體體積問題的過程中,遇到不能直接計算的時候,往往需要將問題轉化,比如將四棱錐的體積轉化成三棱錐的體積,進而通過轉換頂點,進行等體積轉化,將計算化簡.另外,有時在求幾何體中點到面的距離問題時,也可以通過等體積轉化由繁化簡,解決問題.例如:

題目如圖2,四棱錐E?ABCD中,四邊形ABCD是邊長為2 的菱形,∠DAE=∠BAE=45?,∠DAB=60?.

(1)證明:平面ADE ⊥平面ABE;

圖2

如圖,分析第二問時,考慮到底面ABCD是菱形,連結BD可得S?ABD=S?BCD,從而進行如下的化歸轉化:

VE?ABCD?2VE?ABD?2VD?ABE

將題目難度降低,計算化簡.

總之,化歸與轉化思想解決方法通常是“將立體問題平面化,將三維問題二維化”,可以幫助學生將未知的、不熟悉的轉化成已知的、熟悉的知識,將繁雜問題轉化為簡單問題,進而逐步提高學生邏輯推理核心素養(yǎng).

3 猜想、驗證方面

牛頓曾經(jīng)說過:“沒有大膽的猜想,就作不出大膽的發(fā)現(xiàn).”在教學的過程中,教師應重視引導學生親身經(jīng)歷猜想—驗證—結論的數(shù)學探究過程,發(fā)展學生自主探究能力與邏輯推理的能力,進一步深化其創(chuàng)造性思維.

經(jīng)常聽到學生說:“這道題之前做過,但問法不同”;“這個幾何體經(jīng)常見啊,但怎么題目又不一樣了呢?”這個時候,我們老師可以針對這些常見幾何體靈活處理,少給點條件,或者不給出問題,以提供更多的猜想空間,讓學生進行幾何體的割補變化、對條件進行篩選,提出不同的問題,然后自行解決,這樣就大大提高了學生參與課堂的積極性,激發(fā)參與添加問題的熱情,同時通過這樣“自圓其說”的過程,大大提高他們的邏輯推理的嚴密性.例如:

題目如圖3,已知三棱錐D?ABC的四個頂點都在球O的球面上,求球O的表面積.

這個圖形對同學們來說是相當熟悉,但在沒有給定條件的情況下請他們自行補充條件并求解就有一定難度了.

圖3

學生最先猜想出來的是:三棱錐D?ABC是長方體(或正方體)的一個角,即DA ⊥AC,DA ⊥AB,AB ⊥AC,則三棱錐的外接球的直徑就是長方體(或正方體)的體對角線;

其次,有學生想到,若改變一個條件呢?即DA ⊥AC,DA ⊥AB,AB ⊥BC,則引導學生學生通過分析將三棱錐補成直三棱柱,再去尋找外接球的球心在側面ACD所在長方形的對角線交點處;

緊接著有學生就提出,如果沒有DA垂直于底面ABC呢?……

同學們猜想、探究、驗證的熱情被激發(fā)出來,既鼓舞了信心,又活躍了課堂探究的氛圍,彼此間的質疑和互證又有力地推動了猜想驗證的進程,大大培養(yǎng)了學生嚴密推理的能力.

4 演繹證明方面

演繹是從一般到特殊的推理,演繹證明是運用演繹推理所作的證明.立體幾何的證明是高考立體幾何考查的重要內(nèi)容,是學習立體幾何不可或缺的重要內(nèi)容,它對于培養(yǎng)學生的邏輯推理核心素養(yǎng)起著極其重要的作用.但這也恰恰是學生最怕的地方,“沒思路!”、“我知道要怎樣證,但就是找不到需要的條件!”、“我會證,但我不會寫!”這些都是他們掛在嘴邊的理由,更不要說即便能寫出來,過程啰嗦,不規(guī)范也是他們出現(xiàn)的一大問題.因此,在教學中,教師應該從以下幾點進行引導:

第一,重視對定理的推理證明.有些教師認為高考不會考定理的證明,所以把定理當成“結論”來教,這恰恰走進誤區(qū),違背了新課程標準中“重思維活動過程”的要求.定理的證明是數(shù)學思維過程的重要體現(xiàn),對學生學習立體幾何的基本知識,學習立體幾何的思維方法提供了很好的示范,在定理推導證明的過程中,力爭尋找多種證明方法,提高學生的邏輯推理能力.

第二,重視例題規(guī)范解答的示例.在立體幾何的證明題中,學生經(jīng)常出現(xiàn)漏條件、因果不對照、繁瑣的問題,因此,在教學過程中,教師必須對證明或求解的過程進行必要的、規(guī)范的、邏輯嚴密的、簡潔明了的書寫示范,引導學生進行模仿,并逐步獨立完成,形成嚴密的邏輯推理能力,提高核心素養(yǎng).

第三,重視學生對線面垂直、平行的性質和判定定理之間的相互推導的理解和定理的記憶.進行立體幾何的證明時,很多學生是見題忘理,知道應該往什么方向努力,但就是想不起來定理的條件,導致不會做或做錯.因此,在平常的教學中,應要求學生對上述這些定理的推導過程做到滾瓜爛熟,對這些定理的記憶要熟練到隨時隨地可以提取,這樣才能真正做到邏輯嚴密.

5 及時反思方面

反思是對自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的整個思維過程進行再次反芻的過程,是自我驗證、自我提升的過程.古人有云:“學,然后知不足,教,然后知困.知不足,然后能自反也,知困,然后能自強也.”由此可見,反思在培養(yǎng)學生邏輯推理核心素養(yǎng)方面的重要性.在反思的過程中注意引導學生對立體幾何部分知識和問題進行類型或規(guī)律的歸納,比如,雖然題目繁多無序,但常用證明方法有:由因執(zhí)果的綜合法、執(zhí)果索因的分析法,從命題的反面考慮的反證法;再比如,遇到翻折問題,要注意各個量在翻折前后的變與不變等.同時,在反思的過程中也要重視類比分析,比如立體幾何中很多定理、法則都是平面幾何在三維空間中的推廣,所以它們在解決問題時有很多類似之處,但也要注意它們又有明顯的區(qū)別.比如:平面幾何中有“垂直于同一條直線的兩直線平行”,這個定理推廣到空間中是錯誤的,學生恰恰在這個地方經(jīng)常出錯,所以教師要引導學生學會對自己的思維過程不斷進行反思,形成新的認識,強化邏輯推理.

綜上所述,教師通過上述五個方面的教學實踐,能夠有效地實現(xiàn)對學生邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng),逐步使學生形成有理有據(jù)、條理清晰、解答簡潔、邏輯嚴密的思維品質,同時,學生具備一定的自我探究、自我反思的能力,初步實現(xiàn)了核心素養(yǎng)的自我可持續(xù)發(fā)展.但是,在教學實踐中,也存在有一些困惑,比如同一個班級的學生學習成績和學習能力參差不齊,在進行數(shù)學訓練時會有快有慢,課堂上難以全面兼顧,不過我們相信,只要我們認真去學習和探索,科學地踐行新課改的教育教學理念,不斷地、有意識地對學生進行引導、點撥,一定能解決我們的困惑,不斷提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)!