廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

1 背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)(2017年版)》)定義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”[1]前三個(gè)是數(shù)學(xué)的基本思想滲透,后三個(gè)是數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng).《課標(biāo)(2017年版)》明確規(guī)定高中數(shù)學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)是:使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能,理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì),了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用,體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用.概念是思維的基本形式,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點(diǎn),是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ).學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)造思維能力和分析解決數(shù)學(xué)問題的能力等等,都是以清晰地掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念為前提的.數(shù)學(xué)概念在學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基本原理,基本規(guī)律過程中扮演著極其重要的角色.概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容,是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心,正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),學(xué)好數(shù)學(xué)概念也是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán).因此,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的重中之重.如何在依據(jù)學(xué)科核心素養(yǎng)課標(biāo)與重組教材的頂層設(shè)計(jì)之下,積極探索學(xué)科核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐,即結(jié)合教學(xué)內(nèi)容探尋指向核心素養(yǎng)的教學(xué)路徑與方法,將核心素養(yǎng)落地做細(xì)、做實(shí),是每一位數(shù)學(xué)教師要思考和實(shí)踐的課題.

2 APOS 理論

APOS 理論最早起源由美國的數(shù)學(xué)家杜賓斯基所提出,其關(guān)于APOS 理論的文章最早出現(xiàn)在期刊《高等數(shù)學(xué)思維》上,杜賓斯基等人指出APOS 理論來源于試圖對皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試.自20 世紀(jì)80年代以來,美國高校盛行課堂教學(xué)模式改革,而APOS 理論就是在這種背景下由杜賓斯基等人提出.APOS 理論是在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展的一種理論,是針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論[2].該理論認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是在個(gè)體在解決數(shù)學(xué)問題的過程中獲得的.

杜賓斯基提出的APOS 理論,概括了概念學(xué)習(xí)的四個(gè)階段.這四個(gè)字母的含義分別是:A-Action(活動),P-Process(程序),O-Object(對象),S-Schema(圖式).第一階段,“活動”是指個(gè)體通過一步一步的外顯性(或記憶性)指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對象.第二階段,“程序”.當(dāng)“活動”經(jīng)過多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后,就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序”的心理操作.在學(xué)習(xí)活動中,學(xué)習(xí)者通過第一階段形成“程序”后,那么個(gè)體就不需要通過各種外界的指令去完成“活動”,直接在頭腦中想象即可.正是因?yàn)槭∪チ嗽S多具體操作,個(gè)體可以迅速地完成對于程序的逆轉(zhuǎn)以及多種程序的組合.第三階段,“對象”.當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí),這一程序就變成了一種心理“對象”.第四階段,“圖式”.一個(gè)數(shù)學(xué)概念的圖式是指由相應(yīng)的“活動”、“程序”、“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架.

3 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀與問題

眾所周知,“重結(jié)果輕過程”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一大弊端,在概念教學(xué)中表現(xiàn)得尤為明顯.“一個(gè)定義,三項(xiàng)注意”式的抽象講解,在學(xué)生對概念還沒有基本理解的時(shí)候就要要求學(xué)生對概念的綜合應(yīng)用,許多教師甚至認(rèn)為教概念不如多講幾道題目更實(shí)惠.

有些教師對概念本身的理解不到位,對概念的核心部分把握不準(zhǔn),不能正確理解概念的本質(zhì)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,更不會挖掘出概念的育人功能,就會導(dǎo)致學(xué)生對概念的理解不準(zhǔn)確.

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中,許多教師對數(shù)學(xué)概念所具有的高度抽象性和概括性認(rèn)識不足,對中學(xué)數(shù)學(xué)概念體系沒有全面了解,或者概念教學(xué)的方法單一,對學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念缺乏正確和及時(shí)的引導(dǎo);

有些教師在進(jìn)行概念教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),輕概念的生成,重概念的應(yīng)用(解題),甚至避開有關(guān)概念理解的題目,學(xué)生在遇到與概念有關(guān)的題目時(shí)出錯(cuò)率很高.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方面,由于中學(xué)生年齡結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),其抽象思維能力正處于逐步發(fā)展階段,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)普遍存在著認(rèn)識不深刻、不準(zhǔn)確、不清晰、不牢固和不靈活等問題,導(dǎo)致在后續(xù)的學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)定理、定義理解不深或出現(xiàn)偏差,機(jī)械記憶概念或生搬硬套的現(xiàn)象普遍存在.長此以往,嚴(yán)重影響學(xué)生的問題分析能力、解決能力的提高,對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也造成了障礙.

如何有效開展數(shù)學(xué)概念課教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?如何在概念課教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的目標(biāo)引領(lǐng)與價(jià)值導(dǎo)向作用?如何將《課標(biāo)(2017年版)》的理念落實(shí)到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的有效生成?

在2019年5月佛山市禪城區(qū)教育局的“特支計(jì)劃”名師進(jìn)民校教研活動中,筆者在佛山市嶺南美術(shù)實(shí)驗(yàn)中學(xué)上了一節(jié)“分層抽樣”的同課異構(gòu)課.下面以該概念課為例,闡述基于APOS 理論進(jìn)行概念教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué),在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中如何聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展,在關(guān)注學(xué)生知識技能掌握的同時(shí),促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)在課堂的有效生成.

4 “分層抽樣”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

4.1 教學(xué)內(nèi)容解析

“分層抽樣”是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修三第2 章統(tǒng)計(jì)第一節(jié)隨機(jī)抽樣的第三課時(shí).必修三的關(guān)于統(tǒng)計(jì)的這一教學(xué)內(nèi)容,作用是讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)的“用樣本估計(jì)總體”的思想,學(xué)會收集數(shù)據(jù),進(jìn)而對其進(jìn)行整理,選用合適的方法進(jìn)行分析,最后能用特征數(shù)反映總體的特征.初步掌握在實(shí)際問題中,用統(tǒng)計(jì)知識分析、解釋生活現(xiàn)象的基本方法.分層抽樣這一節(jié)內(nèi)容是對前面簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的一個(gè)補(bǔ)充,學(xué)完這節(jié)課后,學(xué)生可以形成較為完整的抽樣方法體系,為后面對總體的分析打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),因此本節(jié)課起到承上啟下的作用.

本節(jié)課,教材共設(shè)置了一個(gè)案例和一個(gè)實(shí)踐操作問題,從“為什么要進(jìn)行分層抽樣”到“如何實(shí)施分層抽樣”,最后闡述“各種抽樣方法的適用范圍和特點(diǎn)”.為了凸顯統(tǒng)計(jì)抽樣的必要性和為什么要進(jìn)行分層抽樣,用美國歷史上發(fā)生的預(yù)測總統(tǒng)大選失敗的案例引入課題,層層深入地說明抽樣的要求和分層抽樣的適用范圍.本節(jié)課,安排了一個(gè)操作案例,選取了“班級學(xué)生平均身高估計(jì)”這個(gè)課題,讓學(xué)生實(shí)際操作,學(xué)會利用信息技術(shù)分析處理數(shù)據(jù),真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用,進(jìn)而真正將統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中.

4.2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

知識與技能(1)通過具體實(shí)例的研究，了解分層抽樣的方法以及科學(xué)、合理選用抽樣方法的必要性.(2)理解分層抽樣的概念,掌握其實(shí)施步驟.(3)通過對實(shí)際問題的對比分析，了解分層抽樣與簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生能根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q實(shí)際問題.

過程與方法在數(shù)學(xué)活動的過程中引導(dǎo)學(xué)生抽象概括分層抽樣的概念，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的思想.

情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過創(chuàng)設(shè)問題情境，在數(shù)學(xué)活動中抽象概括分層抽樣的概念，并運(yùn)用分層抽樣解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究精神，增強(qiáng)“數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活”的意識，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.3 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

4.3.1 重點(diǎn):分層抽樣的概念和實(shí)施步驟.

4.3.2 難點(diǎn):利用分層抽樣解決實(shí)際問題.

4.4 學(xué)生學(xué)情分析

由于教材的內(nèi)容在人教版初中教材中已有涉及,學(xué)生對統(tǒng)計(jì)的思想已經(jīng)有初步的了解,學(xué)生對這部分內(nèi)容比較熟悉.對于本節(jié)概念教學(xué)課,應(yīng)側(cè)重分層抽樣概念的生成與理解,引導(dǎo)學(xué)生掌握分層抽樣的具體實(shí)施步驟.所以,設(shè)置什么樣案例,讓問題更有代表性,怎樣進(jìn)行課題實(shí)踐操作,讓每個(gè)學(xué)生參與其中,得到體驗(yàn)和提升,是本節(jié)課能否成功的關(guān)鍵所在,也是教師著力最多的地方.

4.5 教學(xué)設(shè)計(jì)原理

我國數(shù)學(xué)概念教學(xué)常用的“屬+種差”的概念同化方式:揭示概念本質(zhì)屬性,給出定義、名稱和符號→對概念分類,揭示外延→鞏固概念,利用定義簡單識別→概念的應(yīng)用和聯(lián)系,用其解決問題,并建立與其他概念間的聯(lián)系;

APOS 理論:概念構(gòu)建經(jīng)歷(Action) 活動階段(理解概念)→(Process)給出階段(抽象概念性質(zhì))→(Objiect)對象階段(賦予概念形式化的定義和符號,使其達(dá)到精致化,成為思維的一個(gè)具體對象)→(Scheme)圖式階段(起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號、與其他概念的聯(lián)系等).

本節(jié)課采用APOS 理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué).

4.6 教學(xué)策略選擇

本節(jié)課主要采用問題驅(qū)動、過程展示、變式探究、文化熏陶等教學(xué)策略.

4.7 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一:設(shè)置數(shù)學(xué)情境1(Action)活動階段(教材第55 頁閱讀材料)1936年美國一著名雜志社(Literary Digest)為了預(yù)測總統(tǒng)候選人羅斯福與蘭登兩人誰能當(dāng)選,為了了解公眾的意向,調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表,最后收回回信200 多萬封,在調(diào)查史上是少有的容量,花費(fèi)了大量的人力、物力,雜志社相信自己的調(diào)查結(jié)果——蘭登將以57%對43%的比例獲勝.最后選舉的結(jié)果卻是羅斯福以62%對38%的巨大優(yōu)勢獲勝.問題1:試分析這次調(diào)查失敗的主要原因?答:美國各個(gè)階層對選誰當(dāng)總統(tǒng)存在著較大分歧,而雜志社從富人階層中選取的樣本不具有代表性,不能代表全體美國人民的意向,所以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果失敗.統(tǒng)計(jì)的思想是用樣本去估計(jì)總體,所以抽取一個(gè)能代表總體的樣本是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的前提.什么是“好”的樣本?較之于生硬的說教,不如舉例說明.通過所舉的案例學(xué)生很快就能理解,抽樣要有“代表性”,這樣才能對總體作出合理的估計(jì),達(dá)到正確估計(jì)總體的目的.那對總體中的個(gè)體差異較大的情況,我們?nèi)绾纬槿颖?激發(fā)學(xué)生的好奇心,引入本節(jié)課的課題.這個(gè)案例同時(shí)意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的習(xí)慣,用數(shù)學(xué)的語言去解釋,表達(dá)身邊的世界.問題2:為了估計(jì)本班級全體學(xué)生(共有48 人,其中男生32 人,女生16 人)的平均身高(數(shù)據(jù)如下表),我們想從班級學(xué)生中抽取出容量為12 的樣本進(jìn)行調(diào)查,請問你將如何抽樣?(學(xué)生討論)環(huán)節(jié)一:設(shè)置數(shù)學(xué)情境2(Action)活動階段表1 本班全體學(xué)生的性別和身高學(xué)號性別身高學(xué)號性別身高學(xué)號性別身高(cm)(cm)(cm)1男174 17男177 33女163 2男183 18男173 34女166 3男163 19男174 35女160 4男172 20男180 36女163 5男168 21男186 37女154 6男178 22男180 38女160 7男170 23男170 39女155 8男168 24男170 40女160 9男173 25男175 41女168 10男177 26男183 42女167 11男172 27男176 43女168 12男175 28男178 44女167 13男172 29男178 45女166 14男176 30男186 46女165 15男168 31男176 47女175 16男173 32男172 48女158“性別差異”是影響身高的重要因素,簡單隨機(jī)抽樣不能穩(wěn)定地體現(xiàn)“男生人數(shù)與女生人數(shù)是2:1”的抽樣要求.將幾種抽樣方案進(jìn)行對比,學(xué)生能夠感受到“按性別人數(shù)之比”進(jìn)行抽樣的必要性.學(xué)生討論后答:方案1:用簡單隨機(jī)抽樣從48 人中抽取12 人.方案2:從男生中抽取8 人,從女生中抽取4 人合成12 人的樣本.方案3:用系統(tǒng)抽樣法從48 人中抽取12 人.問題3:請大家自由討論一下,這三種方案,哪種方案比較好?(學(xué)生自由討論)請實(shí)施上述的抽樣方案1 和方案2(由于人數(shù)較少,舍去方案3 的系統(tǒng)抽樣),并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析對比?(一)實(shí)驗(yàn)過程:1.兩人一個(gè)小組,分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn).采用簡單隨機(jī)抽樣方案1,利用隨機(jī)數(shù)表法(《必修3》第103-105 頁)或利用電子表格中的數(shù)據(jù)分析功能隨機(jī)抽取12 個(gè)數(shù)據(jù)樣本,并用計(jì)算器計(jì)算出樣本的平均值.采用方案2,先在男生中抽取8 個(gè)數(shù)據(jù),再在女生中抽取4 個(gè)數(shù)據(jù)合成樣本,并用計(jì)算器計(jì)算出樣本的平均值.我們得到多組數(shù)據(jù)后,如何對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,進(jìn)一步判斷哪組樣本數(shù)據(jù)更接近總體真實(shí)水平?2.利用計(jì)算機(jī)電子表格中的數(shù)據(jù)分析功能或利用隨機(jī)數(shù)表(《必修3》第103-105 頁)進(jìn)行抽樣,并描繪出各組數(shù)據(jù)的折線圖.“倡導(dǎo)積極主動,用于探索的學(xué)習(xí)方式”是高中數(shù)學(xué)新課程的基本理念之一.新課程理念要求“教師是引導(dǎo)者、方法的建立者,而不是簡單的知識的傳授者”,倡導(dǎo)學(xué)生“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方法.所以,盡管方案2 看起來有明顯的優(yōu)點(diǎn),但我們應(yīng)該要培養(yǎng)學(xué)生看問題不能流于表面,即使不能進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明,也要通過實(shí)踐去驗(yàn)證自己的認(rèn)識是否正確.讓學(xué)生完整地進(jìn)行一次數(shù)據(jù)收集、整理、分析,解釋的過程,親身體會統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),進(jìn)一步地,提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng),全方位地體現(xiàn)新課程理念.

(二)實(shí)驗(yàn)結(jié)論:實(shí)驗(yàn)完成后請小組代表上臺陳述實(shí)驗(yàn)結(jié)論.方案1、方案2 各抽樣數(shù)據(jù)、樣本平均值、總體平均值對比情況如下:images/BZ_11_589_476_1532_834.png學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)作出折線圖并觀察圖表,直觀體驗(yàn)兩種方案的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,體會采用哪種方案會更科學(xué)合理些.通過數(shù)據(jù)的折線圖,和班級學(xué)生身高的實(shí)際平均水平作比較,可以發(fā)現(xiàn)采用方案2 抽取的樣本算出的平均值和總體的平均值最為接近,而且數(shù)據(jù)的波動性更小.方案2 就是我們今天要介紹的分層抽樣.創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境,讓學(xué)生體會分層抽樣中對“層”的要求,即層與層之間差異明顯,層次分明,把握住分層的重點(diǎn).環(huán)節(jié)二:(Process)給出階段(抽象概念性質(zhì))問題4:你能概括出分層抽樣的概念嗎?學(xué)生抽象概括出分層抽樣概念,師生共同補(bǔ)充完善如下:(一)分層抽樣的定義:一般地,在抽樣時(shí),將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣.師生進(jìn)行了大量的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動,教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從客觀現(xiàn)實(shí)的原型中,形成抽象的數(shù)學(xué)概念.“實(shí)驗(yàn)、觀察、驗(yàn)證、歸納、應(yīng)用”是本節(jié)課的一條主線,至此,達(dá)到了進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維能力的目標(biāo).環(huán)節(jié)三:(Objiect)對象階段(賦予概念形式化的定義和符號,使其達(dá)到精致化,成為思維的一個(gè)具體對象)進(jìn)一步辨析、理解概念:(二)分層抽樣的適用范圍:總體“差異明顯”.(三)分層抽樣的目的:為了使樣本充分地反映總體的情況(樣本有代表性).(四)分層的原則:分成“層次分明”的幾部分,(層和層之間的差異要大).(五)分層抽樣的特點(diǎn):按各部分在總體所占的比實(shí)施抽樣.問題5:你能規(guī)劃下分層抽樣的具體抽樣步驟嗎?(一)將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)分層;(分層)(二)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比;(定比,抽樣比=總體容量樣本容量)(三)按各層個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量;(確定各層的樣本容量)(四)在每一層進(jìn)行抽樣.進(jìn)一步辨析、理解“分層抽樣”概念,使其達(dá)到精致化.“實(shí)驗(yàn)、觀察、驗(yàn)證、歸納、應(yīng)用”是本節(jié)課的一條主線,至此,達(dá)到了進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維能力的目標(biāo).環(huán)節(jié)四:(Scheme)圖式階段(起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號、與其他概念的聯(lián)系等).問題6:分層抽樣,在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛,你能舉出一些在實(shí)際生活中用到分層抽樣的例子嗎?學(xué)生images/BZ_11_996_2073_1027_2105.pngimages/BZ_11_1027_2073_1059_2105.png舉出一些實(shí)例.我們現(xiàn)在所處的是“大數(shù)據(jù)時(shí)代”,互聯(lián)網(wǎng)日益成為人們獲取數(shù)據(jù)的一個(gè)重要來源.例1 某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查,參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000 人,其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表所示:很喜愛喜愛一般不喜歡2435 4567 3926 1072電視臺為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見,打算從中抽取60 人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查,應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣?師:接下來我們具體到每一層應(yīng)該如何抽樣?生:考慮到人數(shù)較多,用系統(tǒng)抽樣.師:分層抽樣主要是解決總體中差異比較明顯的抽樣,但具體到每一層,則應(yīng)該用系統(tǒng)抽樣或是簡單隨機(jī)抽樣.例2 下列問題中,采用怎樣的抽樣方法較為合理?(1)從10 臺冰箱中抽取3 臺進(jìn)行質(zhì)量檢查;(2)某影院有32 排座位,每排有40 個(gè)座位,座位號為1-40.有一次報(bào)告會坐滿了聽眾,報(bào)告會結(jié)束以后為聽取意見,需留下32 名聽眾進(jìn)行座談;(3)某學(xué)校有160 名教職工,其中教師120 名,行政人員16 名,后勤人員24 名.為了了解教職工對校務(wù)公開方面的意見,擬抽取一個(gè)容量為20 的樣本.“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,此處,安排一個(gè)與本節(jié)課開頭類似的案例,學(xué)生同樣要經(jīng)歷選擇簡單隨機(jī)抽樣還是分層抽樣的思維過程.但是,此時(shí),學(xué)生已經(jīng)了解分層抽樣的概念,能夠明確地提出選擇分層抽樣的理由.對于分層抽樣,學(xué)生已經(jīng)從最初的感知上升到較為深刻的認(rèn)識,同時(shí),能夠在數(shù)據(jù)處理中,靈活地應(yīng)用,達(dá)到了提高學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的目標(biāo).

通過例2 的學(xué)習(xí),我們進(jìn)一步了解到了三種抽樣方法的特點(diǎn)及適用范圍,那么這三種抽樣方法,它們之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么?我們一起來完成以下表格:類別特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣(新課程不要求,簡單介紹即可)將總體平均分成幾部分,按一定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí),采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較多抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同分層抽樣將總體分成幾層,按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成這是一組辨析題,學(xué)生需要分析具體條件,選擇合理的抽樣方法進(jìn)行抽樣,溫故知新,加深對不同抽樣方法的理解.本章是高中階段與生活實(shí)際結(jié)合最緊密的內(nèi)容,教師應(yīng)充分利用這一特點(diǎn),設(shè)置多種情境,讓學(xué)生置身于多種不同的生活場景,充分感受數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力.鞏固提高題:(1)某公司生產(chǎn)三種型號的轎車,產(chǎn)量分別為1200 輛、6 000 輛和2000 輛.為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46 輛進(jìn)行檢驗(yàn),這三種型號的轎車應(yīng)分別抽取、和輛.(2)某所學(xué)校有小學(xué)部、初中部和高中部,在校小學(xué)生、初中生和高中生之比為5:2:3,且已知初中生有800 人.現(xiàn)要從這所學(xué)校中抽取一個(gè)容量為80 的樣本以了解他們對某一問題的看法,應(yīng)采用什么抽樣方法?從小學(xué)部、初中部及高中部各抽取多少名?總體上看,平均多少名學(xué)生中抽取到一名學(xué)生?(3)某地有居民100000 戶,其中普通家庭99000 戶,高收入家庭1000 戶.從普通家庭中以簡單隨機(jī)抽樣方式抽取990 戶,從高收入家庭中以簡單隨機(jī)抽樣方式抽取100 戶進(jìn)行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)共有120 戶家庭擁有3 套或3 套以上住房,其中普通家庭50 戶,高收入家庭70 戶.依據(jù)這些數(shù)據(jù)并結(jié)合所掌握的統(tǒng)計(jì)知識,你認(rèn)為該地?fù)碛? 套或3 套以上住房家庭所占比例的合理估計(jì)是.設(shè)置鞏固提高題組,運(yùn)用分層抽樣概念解決實(shí)際問題,進(jìn)一步加強(qiáng)對分層抽樣概念的理解、掌握與靈活運(yùn)用.

4.8 課堂小結(jié)及布置作業(yè)(略)

5 結(jié)束語

“概念是思維的基本形式,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點(diǎn)”,從概念出發(fā),用基本的數(shù)學(xué)知識,解決基本的數(shù)學(xué)問題,是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì).“教師的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個(gè)個(gè)具體知識理解到位并能用于解決問題”[2],這也是落實(shí)對學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵,數(shù)學(xué)教學(xué)始終要圍繞概念進(jìn)行,從概念建立到概念體系完善到概念運(yùn)用始終要凸顯概念的核心地位,概念是事物根本屬性的反映,是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),抓住了概念就是抓住了本質(zhì),同時(shí)也說明,只有重視概念教學(xué),才能把握數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂[3].

章建躍博士認(rèn)為,概念教學(xué)的核心是引導(dǎo)學(xué)生開展概括活動:將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動打開,以若干典型具體事例為載體,引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概括過程[4].

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,教師應(yīng)在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)精心重組教學(xué)內(nèi)容,展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的思維活動,為學(xué)生的思維構(gòu)建創(chuàng)設(shè)問題情境;交給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想方法來研究、探索問題的能力,提高學(xué)生的思維品質(zhì).在概念教學(xué)中,不能僅僅局限于對概念表面的認(rèn)識和理解,要引導(dǎo)學(xué)生多角度去理解挖掘概念的本質(zhì),挖掘概念的豐富內(nèi)涵與外延,挖掘其所蘊(yùn)含和展現(xiàn)的培養(yǎng)學(xué)生思維的活動過程.

整個(gè)概念教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對象的獲得到研究對象再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的完整過程”[2],建立概念只是“萬里長征走完第一步”,能夠運(yùn)用概念解決理論和實(shí)踐中的問題是根本目的,在運(yùn)用概念時(shí),要經(jīng)常對概念進(jìn)行“回頭看”,“養(yǎng)成從基本規(guī)律出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣”,回歸定義,回歸本質(zhì),要進(jìn)行變式轉(zhuǎn)換,在不同環(huán)境下運(yùn)用概念,積累思維和活動的經(jīng)驗(yàn).

概念教學(xué)不可一蹴而就,學(xué)生理解概念、掌握概念有一個(gè)不斷反復(fù)的過程.概念建立后,還需對其“深加工”,要挖掘概念中隱含的思想方法,要在不同情境下引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,實(shí)地應(yīng)用,教師要通過分析解讀、引導(dǎo)學(xué)生回歸概念,回歸本質(zhì).