廣州大學附屬中學(510050) 沈 云

1 引言

《高中數(shù)學素養(yǎng)與學業(yè)質(zhì)量標準》(征求意見稿) 指出:“數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是學生在數(shù)學學習的過程中逐步形成的.數(shù)學核心素養(yǎng)包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性,又相互交融,形成一個有機整體.”[1]在新高考新制度下的數(shù)學課堂教學中,如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),是每位數(shù)學教師需要認真思考的.

教學中學生是主體,要提高教學效率,必須發(fā)揮學生的主體作用.進行“1+3”模式分層教學,“1”就是將一種基本的知識以一個典例的形式體現(xiàn),“3”就是將一個重要知識點變式成三種不同的深度和廣度讓學生接受和理解.在課堂教學中需要對不同層次的學生提出不同的要求,要加強基本概念、基礎(chǔ)知識的教學.分層教學可通過分層講解、分層練習,把數(shù)學知識分解為若干個不同層次的數(shù)學問題.筆者主要對一節(jié)基于“1+3”模式分層教學中數(shù)學核心素養(yǎng)的落實——以“拋物線及其標準方程”的教學實錄進行整理并簡要分析和反思.

2 教學過程分析與課堂實錄

教學片斷一通過折紙活動,探究拋物線的定義

圖1

圖2

師:首先,給學生事先準備好的信紙(如圖1所示),紙面為紙上有七條平行的線和一條直線垂直交于點A,B,C,D,E,F′,G,在中間的直線d上有一個定點F.然后引導學生進行折紙實驗:分別使點A,B,C,D,E,F′,G與點F重合,對應(yīng)的折痕分別與直線a,b,c,d,e,f,g交于點A1,B1,C1,D1,E1,F′1,G1.請用光滑的曲線把這些點連接起來,得到什么曲線?有沒有哪位同學可以展示給大家看看呢?

眾生:有點像初中學習過的拋物線.

師:不錯,你的動手能力很強!哪位同學可以展示給大家看一下呢?(展示學生的作品.)

通過幾何畫板來演示:取更多的直線來做這個實驗(圖2所示),發(fā)現(xiàn)非常像拋物線!那也就可以斷定我們得到的圖像是拋物線.讓我們重復(fù)一下折紙的過程!讓A與點F重合,得到折痕與直線a的交點為A1.大家看看這個折痕是什么線呢?

生:AF的中垂線!

師:那就是說A1是AF中垂線上的點,那么大家考慮一下,這個A1點有什么幾何特征呢?

生:AA1=A1F.

師:非常好,大家在看一下,這個A點是不是垂足呢?直線a與直線l交于點A,因此AA1是不是可以看成是點A1到直線l的距離呢?

生:是的!

師:發(fā)現(xiàn)AA1到直線l的距離等于它與點F的距離!同樣我們來觀察B1也具有同樣的性質(zhì),對應(yīng)的其他的點也有相應(yīng)的關(guān)系.

師:下面我們用幾何畫板來還原一下大家剛剛的折紙實驗.

師:誰來試試,能否由此從軌跡的角度得到拋物線的定義?

生:到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.

師:很好!但不完美!我們觀察一下定點和定直線的位置關(guān)系.

生:點在直線外.

師:若點F在直線l上,動點M的軌跡會是什么呢?

生:過點F與直線l垂直的直線.

師:好,拋物線的定義就是:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.這個定點F叫做拋物線的焦點,而這條定直線叫做拋物線的準線.

設(shè)計意圖為讓學生自己得到拋物線的定義,設(shè)計了兩個教學活動:一是通過學生動手操作的過程,讓學生通過折紙活動得到拋物線的圖形,讓學生參與到數(shù)學活動中.引導學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋找拋物線的定義,讓枯燥單調(diào)的定義變得活潑有趣,學生有得到結(jié)論的成就感.也讓基礎(chǔ)薄弱的學生充滿了好奇,讓他們在數(shù)學課堂中變得更有趣!二是教師以幾何畫板的形式,還原了學生動手實驗的過程.這樣直觀、生動的教學,讓學生動態(tài)的感受“拋物線的形成”,從而讓學生更直觀地感受到動點的運動的軌跡.通過兩種不同的教學活動的展現(xiàn),讓不同層次的學生對拋物線的定義有了更深的理解.大家通過分析觀察,歸納得出了拋物線的定義,強化了具體到抽象、特殊到一般的數(shù)學思維過程,從而培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等的數(shù)學核心素養(yǎng).

教學片斷二探究拋物線的標準方程

師:同學們,拋物線線上的點M滿足到焦點F的距離與到準線l的距離相等.那么動點M的軌跡方程是什么,即拋物線的方程是什么呢?求軌跡方程的首要步驟是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?

師:大家類比橢圓和雙曲線的標準方程的推導過程,我們利用了圖形的對稱性來確定x軸和y軸的位置.那么對于現(xiàn)在的圖形,那我們要如何去建系呢?

教師巡視,有針對性地找了三位學生回答,得到如下三種方法.

方案一方案二方案三images/BZ_25_273_2170_505_2420.pngimages/BZ_25_585_2169_812_2420.pngimages/BZ_25_927_2166_1158_2420.pngy2=2px(p>0)y2=2px+p2(p>0)y2=2px?p2(p>0)

師:請大家在觀察一下,后兩種建系與第一種的建系有沒有什么聯(lián)系呢?請大家從平移的角度思考.

生:通過圖形觀察,我發(fā)現(xiàn)第二、三兩種圖像都可以通過第一種圖形進行左或右平移個單位得到的.

師:非常好,第二、三兩種圖像都可以通過第一種圖形左右平移得到,因此我們一致認為方案一的建系最好,那么我們就來推導一下方案一中的拋物線的方程.我們可以設(shè)點,寫出代數(shù)關(guān)系式,通過化簡求出對應(yīng)的方程.為了方便計算,我們統(tǒng)一規(guī)定焦點F到準線l的距離為p >0,那么我們對應(yīng)的拋物線的準線l:,拋物線的焦點請大家嘗試推導對應(yīng)的方程.

學生動手推導方程,教師巡視指導.

教師板書拋物線的標準方程為:y2=2px(p >0),焦點坐標是準線方程是.

設(shè)計意圖通過類比的方式,是學生獲取知識具有明確的指向;教師通過步步引導學生去回憶,類比已有的學習經(jīng)歷,回顧一般軌跡方程的求法,探討拋物線軌跡方程.鼓勵學生自主探索、大膽預(yù)測建立坐標系的方式,使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.如何建系體現(xiàn)最優(yōu)化方案,為求拋物線標準方程做準備,引導學生觀察、分析圖象,讓學生思維上的沖突,在碰撞中找到更恰當?shù)慕ㄏ捣绞?通過嚴謹細致的分析展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程.培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).

教學片斷三探究拋物線標準方程不同形式

師:類比橢圓、雙曲線右焦點分別在x軸、y軸上的情形,請通過類比、聯(lián)想,獨立完成下格,并總結(jié)概括拋物線的四種形式的共同點.

圖形標準方程焦點坐標準線方程images/BZ_25_1322_1693_1582_2031.pngy2=2px(p>0)(p2,0)x=?p2images/BZ_25_1316_2088_1588_2394.pngy2=?2px(p>0)(?p2,0)x=p2images/BZ_25_1316_2482_1588_2701.pngx2=2py(p>0)(0,p2)y=?p2images/BZ_25_1321_2773_1582_2995.pngx2=?2py(p>0)(0,?p2)y=p2

師:根據(jù)圖表,從定量和定性兩個角度總結(jié):一次項定焦點,正負定開口.一次項系數(shù)與焦點或準線的數(shù)字存在4 倍的關(guān)系.

設(shè)計意圖教師通過讓學生類比及數(shù)形結(jié)合方式寫出其他形式的拋物線的標準方程,并引導學生觀察、分析圖形及拋物線的標準形式,結(jié)合拋物線的位置特征和方程形式進行歸納總結(jié)其特點,是學生更好地掌握本節(jié)的重點內(nèi)容.總結(jié)的目的是為了讓基礎(chǔ)薄弱的學生能夠更準確抓手本節(jié)的重難點.也讓不同層次的學生得到不同程度的發(fā)展.培養(yǎng)了學生邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng).

教學片斷四例題講解,深化理解

例1已知拋物線的標準方程是y2=6x,求它的焦點坐標和準線方程.

變式訓練1-1求下列拋物線的焦點坐標和準線方程.

(3)2y2+5x=0; (4)x2+8y=0.

例2已知拋物線的焦點是F(0,?2),求它的標準方程.

變式訓練2-1根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.

(1)焦點是F(3,0);

(3)焦點到準線的距離是2.

(4)求焦點在直線x?2y?4=0 上的拋物線的標準方程.

(5)求頂點在原點,對稱軸為坐標軸,且過點P(?4,?2)的拋物線的標準方程.

設(shè)計意圖例題是通過拋物線的方程求準線方程和焦點坐標,是典型的知識的考查的題目.通過例題展現(xiàn)需要注意的問題及解題技巧.通過不同題型的變式訓練,以“梯”字難度上升.通過“一題多變”,讓學生層層挖掘知識點中隱含的信息,使學生把知識點挖掘的更透徹,也讓不同層次的學生得到發(fā)展.培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

例3拋物線y2=12x上一點M到焦點的距離等于9,則M點到準線的距離是____,點M的橫坐標是____,點M的坐標是____.

變式訓練3-1已知拋物線y2=4x的焦點F,和A(1,1),點P為拋物線上的動點,則|PA|+|PF|的最小值時,點P的坐標為____.

變式訓練3-2已知P為拋物線x2=4y上的動點,若P到拋物線的準線l的距離為d,記該拋物線的焦點為F,則d+|PQ|的最小值是____.

例4已知動圓過點(1,0),且與直線x=?1 相切,則動圓的圓心的軌跡是____.

變式訓練4-1若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0 的距離小1,則P點的軌跡方程是____.

設(shè)計意圖通過例題及變式訓練,鞏固拋物線的定義以及其標準方程,讓學生借助“數(shù)形結(jié)合”的思想更深層挖掘拋物線的信息,從而靈活運用知識.突出本節(jié)課的重點;通過“一題多解”培養(yǎng)學生思維的深刻性和發(fā)散性,并滲透數(shù)形結(jié)合思想.

3 教學反思

本節(jié)課主要通過折紙游戲,提出合適的探究性問題,明確探究教學任務(wù)要求,圍繞“拋物線軌跡的發(fā)現(xiàn)”——“拋物線標準方程的建立”——“拋物線標準方程的不同形式”.通過具體的折紙游戲讓學生直觀感知拋物線的軌跡,通過對問題的分析,抽象出拋物線的定義,體現(xiàn)了具體到抽象的數(shù)學核心素養(yǎng).另外,學生構(gòu)建直角坐標系,探究出拋物線標準方程.這不僅體現(xiàn)了學生數(shù)學建模和推理運算的素養(yǎng),還體現(xiàn)出分析問題時思維的嚴謹性.數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有長期性.數(shù)學核心素養(yǎng)的形成是一個漸進的過程,數(shù)學知識只是一個載體,教學設(shè)計要有漸進性,才能“隨風潛入夜,潤物細無聲.

3.1 注重探究意識,教學學呈現(xiàn)多樣化

蘇格拉底說:“教育不是灌輸,二是點燃火焰”.本文筆者運用了兩種方式幫助學生理解拋物線上的點所滿足的規(guī)律,首先學生通過折紙游戲可以畫出拋物線簡圖、運用軟件畫拋物線,形象地演示了拋物線這一數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展過程.借助問題串較好地概括出拋物線的定義.類比橢圓、雙曲線的研究過程探究拋物線及其標準方程.這不僅很好地調(diào)動了學生的積極性,激發(fā)學生的活力,活躍了課堂,讓學生愛學、樂學、主動學,而且有效地激發(fā)了學生的思維.更重要的是培養(yǎng)他們從數(shù)學的角度提出問題,解決問題的意識和能力.

3.2 注重問題驅(qū)動,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

問題是數(shù)學的心臟,是課堂的命脈,是數(shù)學核心素養(yǎng)的源頭活水.數(shù)學核心素養(yǎng)是一種綜合性的數(shù)學能力,培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng),要善于以“問題”啟發(fā)學生思考,以“問題”引導學生實踐探究,培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.拋物線是在研究橢圓和雙曲線后的又一種曲線,但初中學生學習了二次函數(shù),知道二次函數(shù)的圖象是拋物線.本文呈現(xiàn)的教學設(shè)計是:拋物線的定義是什么?拋物線上的點有什么幾何性質(zhì)?如何去探究拋物線的標準方程?怎樣研究拋物線?在全部的設(shè)計中堅持以問題為先導,引領(lǐng)學生主動思考,主動發(fā)現(xiàn)學習中的問題;把問題貫穿于課堂始終,筆者不斷為學生提供思考及探究性的活動,讓學生充分發(fā)揮他們的聰明才智,通過層層遞進的問題串,啟發(fā)學生參與到問題中進行思考探究,讓學生輕松、愉悅的氛圍中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.在教學中要以人為本,深化自主探究,從而提高學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

3.3 注重一題多變,實現(xiàn)“1+3”模式分層教學

課堂教學中學生是主體,要提高課堂教學效率,必須發(fā)揮學生的主體作用.本文兩個地方呈現(xiàn)了分層教學模式,一是引入時,通過動手折紙活動,讓后進生和中等生能夠探索拋物線的性質(zhì),而軟件畫圖拓展了優(yōu)等生的眼界;二是通過習題講練,實現(xiàn)“1+3”模式分層教學,通過典例為載體,讓全體學生掌握拋物線的基本的思想、方法從而更好地應(yīng)用知識.這時,我們將典例變?yōu)?-5 種不同的變式題來訓練,變式1 和2 的設(shè)置主要是針對后進生能夠通過模仿典例解答問題;變式3 和4 的設(shè)置主要是針對中等生需要經(jīng)過一定的思考才能完成的問題;變式5 的設(shè)置主要是針對優(yōu)等生探索其解答過程同時引導優(yōu)生摸索不同的方法或技巧的問題.在幫助學生鞏固知識的同時,將數(shù)學的知識更多的聯(lián)系在一起,讓學生在更深的一個層面上理解知識,發(fā)散了學生的思維,提升了學生的數(shù)學水平.

在高中數(shù)學課堂教學中,對于核心素養(yǎng)的滲透已日趨成熟化,運用探究教學滲透數(shù)學核心素養(yǎng),提高學生數(shù)學抽象、邏輯推理以及數(shù)據(jù)分析的能力.學生通過動手實踐,提高學生的數(shù)學運算能力,努力打造高效的課堂.