撰稿：劉達(dá)／上海市教育委員會(huì)教學(xué)研究室

成果完成者：上海市教育委員會(huì)教學(xué)研究室

我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育有著深厚的文化傳統(tǒng)和研究積淀，上海的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育就是扎根于這片沃土之中的。20世紀(jì)末，在以“知識(shí)創(chuàng)新和應(yīng)用”為標(biāo)志的知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代初見(jiàn)端倪的背景下，上海的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革也進(jìn)入了一個(gè)“總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，綢繆未來(lái)”的重要時(shí)期。當(dāng)時(shí)，世界多個(gè)國(guó)家都在實(shí)施或醞釀實(shí)施數(shù)學(xué)課程改革，這一輪改革所主要面對(duì)的挑戰(zhàn)非常相似：信息總量爆炸式增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷膨脹和更新；現(xiàn)代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，使學(xué)生獲取信息和開展學(xué)習(xí)的方式日益多樣化等?；诖?，新世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育為國(guó)家未來(lái)發(fā)展所培養(yǎng)的人才，不僅要具有系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更需要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考，具有較強(qiáng)的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

在此背景下，上海的新一輪課程改革的關(guān)鍵最終聚焦為解決兩大關(guān)鍵問(wèn)題：一是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)”的問(wèn)題。因?yàn)橹挥姓_認(rèn)識(shí)“基礎(chǔ)”，才能有助于化解學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)課時(shí)總量間的矛盾、厘清重視基礎(chǔ)與發(fā)展能力的關(guān)系等基本問(wèn)題。二是有效變革數(shù)學(xué)教學(xué)方式的問(wèn)題。因?yàn)檎n程改革的實(shí)施主陣地一定是課堂，推動(dòng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的持續(xù)改進(jìn)始終是上海義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革聚焦的核心任務(wù)。

問(wèn)題與背景

數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)型其實(shí)是針對(duì)傳統(tǒng)的以灌輸式為主的課堂教學(xué)而言的，變革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式，則是一個(gè)需要經(jīng)歷長(zhǎng)期的思考、實(shí)踐、總結(jié)和反思的循序推進(jìn)的歷程。因此，在上海的課程與教學(xué)研究人員眼里，課堂的轉(zhuǎn)型是相對(duì)的，教學(xué)的改進(jìn)是持續(xù)的。上海的義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)改革，從“學(xué)生發(fā)展為本”的基本理念出發(fā)，以學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視角，將研究聚焦在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的兩種主要類型，一種是以“知識(shí)建構(gòu)”為特征，另一種是以“問(wèn)題解決”為特征。這兩種數(shù)學(xué)課堂教學(xué)特征，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的兩種最典型的目標(biāo)取向，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)在理論與實(shí)踐相結(jié)合方面所取得的進(jìn)展。相對(duì)而言，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)新授知識(shí)教學(xué)的研究經(jīng)驗(yàn)更加豐富，尤其是對(duì)概念課教學(xué)的研究等，在多年的探索與實(shí)踐中形成了較為豐富的經(jīng)驗(yàn)和成果。但是，對(duì)于“問(wèn)題解決”為特征的數(shù)學(xué)教學(xué)，在很多數(shù)學(xué)教師的心目中存在著較大的認(rèn)識(shí)偏差，較為普遍的誤區(qū)是將“問(wèn)題解決”窄化成了“數(shù)學(xué)解題”的教學(xué)。盡管從某種意義來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)解題”與“問(wèn)題解決”的確有著很多關(guān)聯(lián)，但隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，讓數(shù)學(xué)教師真正認(rèn)識(shí)“問(wèn)題解決”、有效實(shí)踐“問(wèn)題解決”的重要性日益凸顯。為此，上海義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程改革在如何有效變革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方面，對(duì)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”的教學(xué)開展了長(zhǎng)期的漸進(jìn)式的探索與實(shí)踐。

對(duì)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”的基本認(rèn)識(shí)

“問(wèn)題解決”并不局限于數(shù)學(xué)教育，教育心理學(xué)理論認(rèn)為，“問(wèn)題解決”（Problem Solving）是由一定的情境引發(fā)的，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動(dòng)、技能等，經(jīng)過(guò)一系列的思維操作，使問(wèn)題得以解決的過(guò)程。國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）甚至將“問(wèn)題解決”單獨(dú)列為一種素養(yǎng)對(duì)學(xué)生開展測(cè)評(píng)，并認(rèn)為這是一種“運(yùn)用于認(rèn)知過(guò)程中的能力”。在2012年P(guān)ISA“問(wèn)題解決”素養(yǎng)的測(cè)試中，上海的學(xué)生在這項(xiàng)成績(jī)上同樣名列前茅?！皢?wèn)題解決”之所以重要，是因?yàn)槠渑c能力和素養(yǎng)的形成有著密不可分的關(guān)系。學(xué)生只有通過(guò)不斷積累“問(wèn)題解決”的經(jīng)驗(yàn)，才能不斷增強(qiáng)自身的認(rèn)知能力和解決各類復(fù)雜問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅在于理解知識(shí)、熟悉技能，更在于掌握探索和解決各類問(wèn)題的過(guò)程與方法，并逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題解決”是與數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo)相匹配的?！皢?wèn)題解決”早在1980年就由美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）明確提出，并作為學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)，這也是美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的特色之一。NCTM在其研制的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將“問(wèn)題解決”定義為“從事沒(méi)有現(xiàn)存解法的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)”，具體歸入數(shù)學(xué)過(guò)程（Process）的目標(biāo)范疇當(dāng)中。在我國(guó)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年）中，也將“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)課程的四個(gè)維度的目標(biāo)之一?？梢?jiàn)，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中開展“問(wèn)題解決”是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)課程改革的目標(biāo)與任務(wù)。針對(duì)性地開展以“問(wèn)題解決”為特征的數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于豐富學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的完整的過(guò)程經(jīng)歷，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和創(chuàng)新精神。

數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)的基本特征

上海在深入推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變革的過(guò)程中，愈發(fā)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”的重要性。

（一）“問(wèn)題解決”兼顧過(guò)程與結(jié)果

數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”的內(nèi)涵并不等同于“解決問(wèn)題”，其內(nèi)涵的復(fù)雜性不同。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“問(wèn)題解決”，不僅需要師生關(guān)注問(wèn)題的結(jié)果，更要關(guān)注尋求問(wèn)題結(jié)果的探究過(guò)程，即解決一類問(wèn)題所需的系統(tǒng)的思維方法和實(shí)施路徑。這個(gè)過(guò)程是按一定的思維方法和策略展開的思維過(guò)程。在此過(guò)程中，需要靈活運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想方法和各種推理形式，也需要綜合多種科學(xué)探究的方法。

在確定數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)的目標(biāo)時(shí)，能更好地體現(xiàn)“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感態(tài)度價(jià)值觀”三維目標(biāo)的融合。教學(xué)中不僅要落實(shí)知識(shí)與技能的要求，更要讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出、問(wèn)題的分析與解決、問(wèn)題的反思與推廣等完整過(guò)程，讓學(xué)生從中主動(dòng)積極地調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，靈活創(chuàng)新地加以運(yùn)用。同時(shí)，通過(guò)問(wèn)題解決活動(dòng)感受數(shù)學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)思維、理性決策等方面的價(jià)值。

（二）“問(wèn)題解決”重視對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的提煉和加工

相比日常的數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)，以“問(wèn)題解決”為特征的教學(xué)需要更多地引發(fā)學(xué)生關(guān)注認(rèn)知活動(dòng)本身，在以下方面為學(xué)生提供學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)：

在新情境下識(shí)別與轉(zhuǎn)化問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。以“問(wèn)題解決”為特征的數(shù)學(xué)教學(xué)首先需關(guān)注問(wèn)題本身。與常見(jiàn)的經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化形式加工的數(shù)學(xué)問(wèn)題不同，學(xué)生所面對(duì)的問(wèn)題情境是新穎的甚至是相對(duì)復(fù)雜的。這就需要學(xué)生具備主動(dòng)調(diào)用自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題本身進(jìn)行抽象和加工，尤其是對(duì)一些基于真實(shí)情境的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程。

適應(yīng)解決問(wèn)題方法的不確定性的經(jīng)驗(yàn)。問(wèn)題解決的過(guò)程本身重要的是學(xué)習(xí)過(guò)程，如果解決問(wèn)題的方法是熟悉的，那么這些不斷再現(xiàn)的方法逐漸就會(huì)異化為訓(xùn)練。但是，在面對(duì)新問(wèn)題的時(shí)候，我們是無(wú)法保證解決問(wèn)題的所有方法都是已知的，換一句話說(shuō)，我們可能無(wú)法在著手解決問(wèn)題之初就能完整地理順?biāo)蟹椒捌涫褂脮r(shí)機(jī)。因此，在問(wèn)題解決過(guò)程中，需要不斷地嘗試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解，并使之盡可能有合理、有效的方法與之對(duì)應(yīng)。這個(gè)過(guò)程所形成的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生而言同樣重要，這不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)已有方法的準(zhǔn)確把握，而且能在某些特定情形激發(fā)學(xué)生獲取新知的意愿和創(chuàng)新的意識(shí)。

對(duì)“問(wèn)題解決”過(guò)程與方法不斷反思和改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)。不少需要我們解決的問(wèn)題是具有開放性的，或者即使理論上會(huì)有最優(yōu)解，但也會(huì)隨著多種變量條件的約束而很難一蹴而就。此時(shí)，就需要教師在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的過(guò)程、方法進(jìn)行不斷反思，并尋求改進(jìn)的空間。例如，用幾何或三角知識(shí)開展測(cè)量活動(dòng)時(shí)，不僅要了解測(cè)量方法和求解方法，還應(yīng)考慮不同測(cè)量方案可能造成的誤差，并嘗試在工具上、方法上加以改進(jìn)。

（三）“問(wèn)題解決”突出數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

以“問(wèn)題解決”為特征的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)活動(dòng)性。與日常數(shù)學(xué)教學(xué)中的例題或習(xí)題教學(xué)的方式不同，“問(wèn)題解決”教學(xué)更多呈現(xiàn)為師生共同參與的課堂活動(dòng)。一般來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決、反思和推廣等，都應(yīng)當(dāng)是一個(gè)個(gè)典型的活動(dòng)環(huán)節(jié)，它們?cè)诮虒W(xué)中表現(xiàn)為若干不同形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，而結(jié)合在一起則共同組成一個(gè)完整的問(wèn)題解決活動(dòng)。在教學(xué)中，教師對(duì)于問(wèn)題解決的思路與方法不應(yīng)局限于采用講授式教學(xué)，而要鼓勵(lì)學(xué)生充分開展對(duì)話交流、合作探究。例如，在研究“一塊草坪上如何合理安裝噴水裝置”的問(wèn)題時(shí)【見(jiàn)《數(shù)學(xué)》（九年級(jí)第二學(xué)期）第27章探究活動(dòng)《生活中的一個(gè)覆蓋問(wèn)題》】，不論是從實(shí)際問(wèn)題到幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象和建?；顒?dòng)，還是形成方案和方案的交流和研討活動(dòng)，或是根據(jù)現(xiàn)實(shí)中的不同約束條件對(duì)方案進(jìn)行評(píng)估與改進(jìn)的活動(dòng)等，都蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)價(jià)值。這些活動(dòng)的意義并不是為了得到某個(gè)確定的方案或結(jié)論，但諸如“將噴水裝置的覆蓋范圍看做一個(gè)圓”“將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何設(shè)置才能讓噴水裝置最少”“解決問(wèn)題的方案是否唯一”等數(shù)學(xué)化的思考，會(huì)不斷與學(xué)生的思想和意識(shí)建立關(guān)聯(lián)，逐步形成具有數(shù)學(xué)學(xué)科特征的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

加強(qiáng)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)研究的意義

（一）促進(jìn)學(xué)生“五種意識(shí)”的形成

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，對(duì)“問(wèn)題解決”這一維度課程目標(biāo)作出了基本論述：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；學(xué)會(huì)與他人合作交流；初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”。這些目標(biāo)分別從“問(wèn)題意識(shí)”“過(guò)程意識(shí)”“創(chuàng)新意識(shí)”“社會(huì)交往意識(shí)”和“評(píng)價(jià)與反思意識(shí)”等角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)需關(guān)注“問(wèn)題解決”的意義。上海的數(shù)學(xué)課程改革提出要“豐富學(xué)習(xí)經(jīng)歷，完善學(xué)習(xí)方式”，這五種意識(shí)正是這一基本理念達(dá)成的重要表現(xiàn)。

（二）促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

以“問(wèn)題解決”為特征的數(shù)學(xué)教學(xué)，重在發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力，培育學(xué)生的正確價(jià)值觀念和必備品格。數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”不等同于數(shù)學(xué)解題，但“問(wèn)題解決”活動(dòng)可以在高位促進(jìn)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的品質(zhì)提升。為落實(shí)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，在上海的數(shù)學(xué)教材中，專門設(shè)計(jì)了“探究活動(dòng)”“閱讀材料”和“實(shí)踐活動(dòng)”等專題，引導(dǎo)師生積極開展以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決為特征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。在實(shí)踐中，不論這些問(wèn)題來(lái)自教材還是由教師自主開發(fā)，“問(wèn)題解決”活動(dòng)的規(guī)范開展都能將其逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)型實(shí)踐的豐富素材，為促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。