韓東

【摘?要】圓是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”的最后一個(gè)平面圖形，也是唯一的曲線(xiàn)圖形。我國(guó)古代關(guān)于圓的闡述很多，文章以“圓出于方，方出于矩”“不以規(guī)矩，不能成方圓”“圓，一中同長(zhǎng)也”三句古語(yǔ)為切入口，挖掘顯性知識(shí)及隱性素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的實(shí)例與思考和文化建立聯(lián)系，并在文化中反思數(shù)學(xué)，在文化熏陶中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，為傳統(tǒng)文化浸潤(rùn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了一個(gè)很好的思考路徑。

【關(guān)鍵詞】傳統(tǒng)文化;圓的認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)教學(xué)

一、教材教法分析

圓是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”的最后一個(gè)平面圖形，也是唯一的曲線(xiàn)圖形?！读x務(wù)教育教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)（數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)）》指出：“從研究直線(xiàn)圖形到研究曲線(xiàn)圖形，對(duì)學(xué)生而言是一種跨越。因?yàn)檠芯壳€(xiàn)圖形的思想、方法與直線(xiàn)圖形相比，是有變化和提升的。因此，通過(guò)對(duì)圓的研究，學(xué)生不僅需要掌握?qǐng)A的一些基礎(chǔ)知識(shí)，還需要通過(guò)學(xué)習(xí)，感受‘化曲為直’‘等積變形’‘極限’等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和問(wèn)題解決能力?！盵1]

有關(guān)圓的研究，自古以來(lái)就有記載。比如我國(guó)最古老的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》曾記載，“圓出于方，方出于矩”;孟子在《離婁章句上》中也說(shuō)，“不以規(guī)矩，不能成方圓”;墨子還為圓下了一個(gè)“定義”——圓，一中同長(zhǎng)也。這三句古語(yǔ)深深地觸動(dòng)了筆者，并引發(fā)了些許思考。

（1）這三句古語(yǔ)，是否濃縮了圓的特點(diǎn)？教師能否以此展開(kāi)本課的教學(xué)探討？

（2）這三句古語(yǔ)與本課知識(shí)有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何將這三句古語(yǔ)與本課知識(shí)進(jìn)行有效組合、整合、融合、化合？

（3）這三句古語(yǔ)之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么，是否具有包含關(guān)系、遞進(jìn)關(guān)系？

（4）這三句古語(yǔ)如何承載文化育人功能？教師如何教學(xué)才能讓學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)更深刻？

（5）傳統(tǒng)文化印記著中華民族的文化品質(zhì)和文化精神，但大多數(shù)枯澀難懂，總讓學(xué)生望而生畏。如何讓學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化從“望之儼然”到“即之也溫”最后到“聽(tīng)其言也厲”的轉(zhuǎn)變？

帶著以上思考，秉承著將傳統(tǒng)文化浸潤(rùn)到圓的教學(xué)中的原則，筆者制訂了本課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）在動(dòng)手操作與閱讀課本中認(rèn)識(shí)圓，學(xué)會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓，探究并掌握?qǐng)A的特點(diǎn)。

（2）挖掘傳統(tǒng)文化的精華，探究圓的特征。

（3）在深入思考中感受極限思想的非凡魅力，在充滿(mǎn)樂(lè)趣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)的趣味性。

本課教學(xué)的重難點(diǎn)是理解和掌握?qǐng)A的特征;傳統(tǒng)文化與圓的特征的有效融合。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）圓出于方，方出于矩

師：這里有一張正方形的紙片，如果只能用剪刀剪，你們能剪出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓嗎？

生：不能，因?yàn)閳A是曲線(xiàn)圖形，不好剪。

教師出示課件（如圖1）。

師：圓是一個(gè)曲線(xiàn)圖形，是不好剪。不過(guò)老師有辦法！我們知道圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，那么在一般情況下，軸對(duì)稱(chēng)圖形怎樣剪更好？

生：對(duì)折剪。

師（把正方形的紙片對(duì)折三次后）：直著剪一刀還是彎著剪一刀？

大部分學(xué)生認(rèn)為，彎著剪才能得到圓，但彎著剪打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)，得到的并不是一個(gè)圓（如圖2）。

師：怎么變成一朵花了？哪里出錯(cuò)了？彎著剪不能得到圓，難道要直著剪？

生（疑惑）：直著剪一刀怎么能剪出曲線(xiàn)圖形呢？

師：我們先試試吧，看看剪出來(lái)是什么樣子的。

學(xué)生直著剪一刀打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)，也不是一個(gè)圓（如圖3）。

教師把兩個(gè)圖形（圖2和圖3）放到一起，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然直著剪也不能得到一個(gè)圓，但比剛才彎著剪更接近一個(gè)圓。

師：我們能不能將圖3修剪一下，使它更像一個(gè)圓？

生：把每個(gè)棱角都剪掉。

教師用剪刀將正八邊形剪成了正十六邊形，果然更像一個(gè)圓了！

師：再如此剪下去會(huì)怎么樣？

生：會(huì)越來(lái)越像一個(gè)圓。

師：今天我們?cè)谡n堂上無(wú)法這樣繼續(xù)剪下去了，但可以請(qǐng)電腦來(lái)幫忙。

教師用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示（如圖4）。

師：如此切割下去，正方形紙片最終會(huì)變成什么？

生（齊聲）：圓！

師：由此老師想到了一句古語(yǔ)——圓出于方，方出于矩。

【設(shè)計(jì)意圖】愛(ài)玩是小學(xué)生的天性，特別是一些趣味性游戲，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。課堂一開(kāi)始就設(shè)置了一個(gè)有矛盾沖突的剪圓活動(dòng)，使學(xué)生興趣盎然，輕松快樂(lè)地進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)，體會(huì)“圓出于方，方出于矩”這一古語(yǔ)的含義。

（二）不以規(guī)矩，不能成方圓

1.畫(huà)圓

（1）圓規(guī)畫(huà)圓

學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫(huà)圓。第一次畫(huà)時(shí)，一些學(xué)生畫(huà)不出標(biāo)準(zhǔn)的圓，但得出了圓規(guī)畫(huà)圓的方法：定點(diǎn)，定長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)一周。按此方法，學(xué)生再次用圓規(guī)畫(huà)圓。

師：用圓規(guī)畫(huà)圓怎么樣？

生（齊聲）：很方便、快捷。

師：這又讓老師想到了一句古語(yǔ)，“不以規(guī)矩，不成方圓”。你們知道這句古語(yǔ)的意思嗎？

（學(xué)生說(shuō)出這句話(huà)的大概意思。）

師：你們覺(jué)得這句古語(yǔ)有道理嗎？

生（齊聲）：有！

（2）圓形物品畫(huà)圓

師：畫(huà)圓一定要用圓規(guī)嗎？

通過(guò)教師的提問(wèn)，學(xué)生馬上想到用圓形筆帽、透明膠帶等圓形物品描出圓。

師：看來(lái)沒(méi)有圓規(guī)也可以畫(huà)圓，一切圓形物體描出的輪廓也是圓。

（3）操場(chǎng)畫(huà)圓

師：老師還有個(gè)疑問(wèn)，有了圓規(guī)，就一定能畫(huà)出我們想要的圓嗎？比如我們想要在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)大圓，怎么畫(huà)？

生1：需要一個(gè)大圓規(guī)。

生2：要大圓規(guī)也沒(méi)有用，誰(shuí)能畫(huà)得動(dòng)?。?/p>

師：看來(lái)我們就算有大圓規(guī)也很難畫(huà)出一個(gè)大圓。

生3：可以在操場(chǎng)上插一個(gè)木樁，把繩子拴在上面，一個(gè)人拉緊繩子的另一端，繞一圈就行了。

教師出示圖5，學(xué)生看后紛紛點(diǎn)頭表示同意。

（4）引申出“不以規(guī)矩，不能成方圓”的內(nèi)在含義

師：通過(guò)剛才的活動(dòng)，我們知道了圓規(guī)可以畫(huà)圓，但不用圓規(guī)我們也可以畫(huà)圓。即使有了圓規(guī)也未必能畫(huà)出我們想要的圓。那古語(yǔ)“不以規(guī)矩，不能成方圓”難道錯(cuò)了？

生3：這里的“規(guī)矩”不一定單指圓規(guī)和畫(huà)直角的工具，可能是指畫(huà)圓一定需要借助工具，并需要有一定的方法。

生4：“不以規(guī)矩，不能成方圓”現(xiàn)在引申為做人要遵循一定的章法，遵守一定的規(guī)則。

師：真了不起，你們將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和哲學(xué)連在一起了。

2.自學(xué)圓各部分的名稱(chēng)

（1）自學(xué)課本第58頁(yè)的內(nèi)容。

自學(xué)提示

1.什么是圓心、半徑、直徑？分別用字母怎么表示？

2.在自己畫(huà)出的圓中標(biāo)出圓心、直徑和半徑。

如圖6，用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)，針尖所在的點(diǎn)叫做圓心，一般用字母O表示。連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做半徑，一般用字母r表示，半徑的長(zhǎng)度就是圓規(guī)兩個(gè)腳之間的距離。通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做直徑，一般用字母d表示。

（2）判斷圖7中哪條線(xiàn)段是半徑，哪條線(xiàn)段是直徑，并說(shuō)出原因。

【設(shè)計(jì)意圖】“不以規(guī)矩，不能成方圓”，簡(jiǎn)單的一句古語(yǔ)，蘊(yùn)含著深刻的哲理。本環(huán)節(jié)教師通過(guò)對(duì)這句古語(yǔ)的追問(wèn)，讓學(xué)生更深刻理解了“規(guī)矩”不僅僅是工具，還有方法、規(guī)則等方面的道理。

（三）圓，一中同長(zhǎng)也

1.自主操作

學(xué)生沿圓的直徑，折一折，畫(huà)一畫(huà)，量一量，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生得出結(jié)論：（1）圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小;（2）在同一圓中，半徑和直徑有無(wú)數(shù)條，且所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，半徑的長(zhǎng)度是直徑的一半。

2.理解“圓，一中同長(zhǎng)也”

師：通過(guò)剛才的動(dòng)手操作和交流，你們對(duì)圓的認(rèn)識(shí)是不是更深入了？老師還記得在《墨子·經(jīng)上》中曾記載“圓，一中同長(zhǎng)也”。你們知道這句古語(yǔ)的意思嗎？

學(xué)生討論得出結(jié)論：一中即一個(gè)圓心，同長(zhǎng)即半徑都相等。

3.解釋剪圓現(xiàn)象

師：為什么正方形紙片對(duì)折三次后彎著剪不像圓而直著剪更像圓？

生：可能是半徑的問(wèn)題吧？半徑必須都相等才是一個(gè)圓。

教師課件演示：從中心點(diǎn)向邊線(xiàn)連線(xiàn)（如圖8）。

生：彎著剪，從中心點(diǎn)到邊線(xiàn)的距離差距很大，而直著剪差距比較小，所以更像圓。

師：彎著剪一定得不到圓嗎？如果可以得到，那為什么剛才彎著剪得不到圓呢？

生：彎著剪也能成一個(gè)圓，但剛才我們彎得太大了，如果彎小一點(diǎn)就更接近圓了。

教師按彎小一點(diǎn)再剪一刀，正方形紙片打開(kāi)后幾乎是一個(gè)圓了。

師：直著剪為什么更像圓？

生：剪的邊越多，中心點(diǎn)到邊上距離相等的線(xiàn)就越多。

生：邊數(shù)越多，同長(zhǎng)的線(xiàn)就越多，就更像一個(gè)圓。

教師出示課件（如圖9），得出結(jié)論：正四邊形有4條同長(zhǎng)的線(xiàn)，正八邊形有8條，正十六邊形有16條，隨著邊形的增加，同長(zhǎng)的線(xiàn)也在增加，直到正無(wú)數(shù)邊形有無(wú)數(shù)條同長(zhǎng)的線(xiàn)，便形成了圓。

師：現(xiàn)在你們明白“圓出于方”的意思了嗎？

生（齊聲）：明白了。

師（出示課件，如圖10）：那生活中有沒(méi)有這樣做的？

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)通過(guò)對(duì)“圓，一中同長(zhǎng)也”進(jìn)行探討，不僅讓學(xué)生理解了圓的本質(zhì)特征，還輕松解決了剪圓的問(wèn)題。

（四）溝通聯(lián)系

師：今天在學(xué)習(xí)圓的過(guò)程中，我們認(rèn)識(shí)了三句有關(guān)圓的古語(yǔ)。如果今天老師只想在黑板上板書(shū)其中的一句，你們認(rèn)為哪句古語(yǔ)最合適？

學(xué)生（大多數(shù)）：圓，一中同長(zhǎng)也。

師：為什么是這句呢？

生1：因?yàn)檫@句話(huà)概括出了圓的特征。

生2：“圓出于方”其實(shí)就是利用“圓一中同長(zhǎng)”的特點(diǎn)，通過(guò)不斷切割來(lái)保證“一中同長(zhǎng)”。

生3：“不以規(guī)矩，不能成方圓”也是為了保證“一中同長(zhǎng)”。

師：是的，墨子就用簡(jiǎn)單的一句話(huà)——圓，一中同長(zhǎng)也，高度概括出圓的本質(zhì)特征，這一發(fā)現(xiàn)比西方早一千多年。（學(xué)生由衷發(fā)出感嘆聲）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)三句古語(yǔ)的對(duì)比解讀，學(xué)生把各自孤立的三句古語(yǔ)建立了聯(lián)系，同時(shí)也感受到了中國(guó)數(shù)學(xué)文化的悠久歷史和魅力，激發(fā)了愛(ài)國(guó)主義情感。

（五）生活中的圓

（1）舉例說(shuō)明生活中的圓。

（2）車(chē)輪為什么是圓的？車(chē)輪造成圓形就一定不顛簸嗎？還要考慮什么問(wèn)題？

（3）為什么有圓桌會(huì)議？

學(xué)生得出結(jié)論：圓代表著平等、尊重、團(tuán)結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】“車(chē)輪造成圓形就一定不顛簸嗎？”這一問(wèn)題把圓的學(xué)習(xí)引向深入，同時(shí)又以“為什么有圓桌會(huì)議？”把圓的認(rèn)識(shí)升華到哲學(xué)的高度。

三、教學(xué)反思

（一）數(shù)學(xué)的趣味性

數(shù)學(xué)是枯燥的，這是大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感受。抽象的概念、復(fù)雜的運(yùn)算和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)望而卻步。如何讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣？方法有很多，而設(shè)置懸念，讓學(xué)生對(duì)習(xí)以為常的事情充滿(mǎn)疑問(wèn)和好奇，是行之有效的方法之一。

“把一張正方形的紙片對(duì)折三次，要想剪出一個(gè)圓，是直著剪一刀還是彎著剪一刀？”當(dāng)學(xué)生面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，會(huì)下意識(shí)地想到“彎著剪”，因?yàn)閳A是一個(gè)曲線(xiàn)圖形?？僧?dāng)“彎著剪”后，正方形紙片居然變成了一朵“小花”，而“直著剪”更像一個(gè)圓，由此生發(fā)的強(qiáng)烈疑問(wèn)驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極探究“圓的世界”。當(dāng)學(xué)生明白“圓出于方”和“圓，一中同長(zhǎng)也”后，便會(huì)深深感嘆知識(shí)之間的微妙聯(lián)系。

（二）文化與數(shù)學(xué)

學(xué)校作為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化的重要陣地，擔(dān)負(fù)著創(chuàng)新發(fā)展、傳播交流等重任，數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門(mén)重要學(xué)科，自然也承擔(dān)著這樣的責(zé)任。但數(shù)學(xué)因具有理性思維的特性，很難直接表達(dá)文化與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系。如何尋找傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)合點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新思維值得教師深思。

本課以三句描述圓的古語(yǔ)為切入點(diǎn)，逐步深入地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)圓，為傳統(tǒng)文化浸潤(rùn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了一個(gè)很好的思考路徑。傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，很多內(nèi)容都隱含著數(shù)學(xué)知識(shí)，有待于教師開(kāi)發(fā)。但如果教師刻意地在教學(xué)中加入所謂的“文化因子”，過(guò)度地宣揚(yáng)傳統(tǒng)文化的“驕傲之處”，反而會(huì)適得其反。在本課教學(xué)中，筆者試圖挖掘顯性知識(shí)及隱性素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的實(shí)例與思考和文化建立起聯(lián)系，并在文化中反思數(shù)學(xué)，在文化熏陶中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（三）極限思想

極限思想是近代數(shù)學(xué)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，乃至哲學(xué)等學(xué)科中都有廣泛應(yīng)用，可見(jiàn)極限思想在學(xué)習(xí)中的重要性。但小學(xué)生因?qū)τ邢奘挛锏睦斫廨^為清晰，而對(duì)無(wú)限事物的理解較為困難的身心發(fā)展規(guī)律，如學(xué)生對(duì)推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)和面積公式的思想很難理解。極限思想在教學(xué)中的滲透，不能急于求成，教師要善于將單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜相結(jié)合的辯證邏輯思維，善于挖掘，并抓住時(shí)機(jī)，適度滲透。因此，在“圓的認(rèn)識(shí)”一課中，筆者試圖讓學(xué)生通過(guò)觀察有限分割，想象無(wú)限分割的終極狀態(tài)，自然地在“曲”與“直”的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)無(wú)限逼近的極限思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)和面積公式打下基礎(chǔ)。

（四）哲學(xué)思想

沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們無(wú)法看穿哲學(xué)的深度;而沒(méi)有哲學(xué)，人們也無(wú)法看穿數(shù)學(xué)的深度;而若沒(méi)有兩者，人們就什么也看不透[2]?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)有著密切的聯(lián)系。正如柏拉圖所說(shuō)，數(shù)學(xué)就是理性哲學(xué)的前提條件，在哲學(xué)家的思想深處，他們的理念往往是通過(guò)數(shù)學(xué)的圓滿(mǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，比如在哲學(xué)思辨中大名鼎鼎的反證法，就是一個(gè)源自數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵工具[3]。

在本課教學(xué)中，恰能很好地反映了數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想。首先，“不以規(guī)矩，不能成方圓”，體現(xiàn)了工具和章法的重要性;其次，“沒(méi)有規(guī)矩就不能成方圓嗎？”，體現(xiàn)了異曲同工的妙處;再次，“有了規(guī)矩就一定能成方圓嗎？”，體現(xiàn)了通權(quán)達(dá)變的思想方法。這三個(gè)問(wèn)題不僅有著知識(shí)層面的思考，更有著比數(shù)學(xué)知識(shí)體系更為豐富和深邃的哲學(xué)內(nèi)涵。本節(jié)課的最后關(guān)于由圓到圓桌會(huì)議的探討，也彰顯了平等交流、深度匯談的哲學(xué)意蘊(yùn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)（數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]汪樹(shù)林.數(shù)學(xué)教育：在哲學(xué)思想牽引下自由呼吸[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2014（5）：38-41.

[3]黃逸文.從志同道合到分道揚(yáng)鑣：數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間的恩怨情仇[EB/OL].（2018-03-19）.http：//www.360doc.com/content/18/0319/10/4450299_738347355.shtml.