杜金金

【摘?要】棱柱的概念是滬教版高中數(shù)學(xué)高三上冊第15章第1節(jié)“多面體的概念”第一課時的內(nèi)容，重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀等核心素養(yǎng)，并為后續(xù)其他幾何體的學(xué)習(xí)做鋪墊。教師可以從HPM視角設(shè)計本節(jié)課教學(xué)，直接或間接利用歷史素材，設(shè)計一系列操作和問題，讓學(xué)生在實際操作和解決問題的過程中經(jīng)歷棱柱定義的發(fā)生和發(fā)展過程，加深對棱柱概念的理解，發(fā)展學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及實施數(shù)學(xué)學(xué)科德育。

【關(guān)鍵詞】棱柱概念;核心素養(yǎng);HPM視角

一、引言

棱柱是基本的立體圖形?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出，利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu);在教學(xué)中，需要幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[1]。棱柱的概念是滬教版高中數(shù)學(xué)高三上冊第15章第1節(jié)“多面體的概念”第一課時的內(nèi)容，滬教版教材先在第14章中引入立體幾何的公理體系，系統(tǒng)介紹空間中的直線與平面，再在第15章中研究簡單幾何體。棱柱是最典型也是最常見的柱類幾何體，其概念的學(xué)習(xí)重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀等核心素養(yǎng)，并為后續(xù)其他幾何體的學(xué)習(xí)做鋪墊。在空間幾何體的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往存在概念理解不透、空間想象能力欠缺、考慮不全面等問題[2-3]。

在實際教學(xué)中，有些教師通過分類辨析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)多面體與旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)概念，鼓勵學(xué)生自主探究棱柱等幾何體的結(jié)構(gòu)特征與概念[4]。也有些教師從生活中抽象出柱體，類比線動成面，得到棱柱概念的動態(tài)定義[5-7]。實際上，棱柱的概念有著漫長的發(fā)展過程，其定義的歷史演變反映了人們對棱柱概念由直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J識過程[8]。教學(xué)實踐表明，如今學(xué)生對棱柱定義的理解具有歷史相似性[9]?；诶庵拍钚纬傻臍v史以及學(xué)生認知的歷史相似性，有些教師設(shè)計了棱柱概念的學(xué)習(xí)單和課堂教學(xué)，重點通過探究引導(dǎo)學(xué)生辨析定義的嚴(yán)謹(jǐn)性，在與數(shù)學(xué)對話的過程中提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心[10-11]。因此，將數(shù)學(xué)史融入棱柱概念有助于加深學(xué)生對棱柱概念的理解，發(fā)展相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及實施數(shù)學(xué)學(xué)科德育[12]。

鑒于此，筆者從HPM的視角設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)，并擬定如下教學(xué)目標(biāo)。

（1）建構(gòu)棱柱的概念，了解平行六面體、直棱柱、正棱柱的特性，能夠熟練地運用定義判斷各種棱柱;

（2）學(xué)會用三維空間中的基本量“點、線、面”的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系研究多面體，總結(jié)其中的共性與差異，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀等核心素養(yǎng);

（3）從數(shù)學(xué)史中了解棱柱定義發(fā)展的來龍去脈，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和發(fā)展性，鼓勵敢于質(zhì)疑和勇于探索真理的精神。

二、歷史材料及應(yīng)用

1.歐氏定義

公元前3世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》中首次給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四邊形?！盵13]這個錯誤的定義由于歐幾里得的權(quán)威性和《幾何原本》的專業(yè)性而流傳了20多個世紀(jì)，一直被人們信奉和使用。

2.改進的歐氏定義

在歐氏定義的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家通過增加側(cè)面的屬性，從而使棱柱的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)。所增加的屬性有兩類。

一類為增加側(cè)面是平行四邊形且有一組對邊為兩個底面的對應(yīng)邊，如在1876年，美國數(shù)學(xué)家舒伊勒（A.Schuyler）較早給出這類定義：“棱柱是一個多面體，它有兩個面為全等、平行的多邊形且對應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對應(yīng)邊為底的平行四邊形。”[14]美國數(shù)學(xué)家斯頓（J.C.Stone）等人在其《立體幾何》中首次給出了歐氏定義的反例[15]。

另一類為增加側(cè)面的交線平行這一屬性，美國數(shù)學(xué)家郝克斯（H.E.Hawkes）等人在其《立體幾何》中給出了和現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中幾乎一致的定義：“棱柱是一個多面體，有兩個面位于兩個平行平面上，其余各邊均為平行四邊形，且其交線平行?！盵16]

3.動態(tài)定義

18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家瓦里格農(nóng)（P.Varignon）在其《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中摒棄了歐幾里得的定義而采用新的動態(tài)定義：“若平面直線形（如ABF）按照平行于自身的方向從點A移動到點C，則該直線形畫出一個介于兩個相似且全等的圖形ECD和ABF以及所有以圖形ABF的邊為一邊的平行四邊形之間的立體CB。則該立體稱為棱柱?！比鐖D1所示[8]。

三、教學(xué)設(shè)計與實施

1.小試牛刀，引出新知

課前，教師先讓學(xué)生利用磁力片搭建一個封閉體。

師：同學(xué)們搭建的封閉體都很有創(chuàng)意，有摩天輪、變形金剛……請同學(xué)們互相觀察搭建的封閉體，它們有哪些共同的特征？

生（齊答）：每個面都是多邊形。

師：對，這樣的幾何體在生活中其實很常見。在數(shù)學(xué)中，我們把由上述平面多邊形（或三角形）圍成的封閉體叫做多面體，構(gòu)成多面體的各平面多邊形（或三角形）叫做多面體的面，其相鄰多邊形（或三角形）的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的交點叫做多面體的頂點。

2.幾何直觀，數(shù)學(xué)抽象

師：生活中有一類特殊的多面體也很常見，比如巧克力、斜堆的撲克牌、沙發(fā)等，因為這類多面體的構(gòu)造美觀且獨特，才使這些商品奪人眼球，銷量大增。今天我們就來研究這樣一類多面體。請同學(xué)們用手中的磁力片搭建出這三個實物的模型，然后繪制出其圖像（如圖2）。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何，那可以從哪些角度研究多面體呢？

生1：從基本量“點、線、面”出發(fā)進行研究。

師：可以研究哪些關(guān)系呢？

生2：數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

師：請同學(xué)們對照這幾個多面體試著完成表1。

師：同學(xué)們的表格填寫得十分正確，請同學(xué)們試著依據(jù)表1的共性對這幾個從實物中抽象出的多面體下一個定義。

生3：有兩個全等的多邊形的面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體。

生4：有兩個多邊形的面全等且相互平行，側(cè)面上的棱相互平行的多面體。

師：對于這樣一類特殊的幾何體，能否給它起一個名字。這樣的幾何體是什么形狀？

生（齊答）：柱狀。

師：柱是建筑物中的主結(jié)構(gòu)件，承托在其上方物件的重量。而這樣的多面體確實能作為承重結(jié)構(gòu)，用柱表示非常合適。同學(xué)們在初中學(xué)過的正方體就是柱體，如果將這些多面體歸類，你們認為正方體和這三個柱體是否為一類呢？

生5：斜堆的撲克牌是一種抽象的柱，它和正方體屬于一類，因為兩個全等且平行的多邊形都是四邊形，看起來結(jié)構(gòu)相同。

師：我們可以通過兩個全等多邊形的邊數(shù)進行分類，稱n邊形所對應(yīng)的柱狀多面體為“n棱柱”，統(tǒng)稱為“棱柱”。

3.動手實踐，探索真理

師：第一個給出棱柱明確定義的是數(shù)學(xué)家歐幾里得，他在《幾何原本》中寫道：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四邊形?！?/p>

生6：生3的定義和歐幾里得的定義幾乎一樣。

師：對，非常棒！按照我們之前總結(jié)的棱柱的性質(zhì)，歐幾里得采用的是和“面”有關(guān)的兩個性質(zhì)以及和“線”有關(guān)的一個性質(zhì)定義棱柱，那么能否保證剩下的一個和“線”有關(guān)的性質(zhì)，即“其余的面上的棱相互平行”也正確呢？在1916年，數(shù)學(xué)家斯頓不顧眾人議論，堅持說歐幾里得的定義錯了。同學(xué)們，你們能否用手中的磁力片為歐幾里得正名，又或者為斯頓翻身呢？

生7：斯頓說的是對的，只需要將兩個四棱柱拼接即可（如圖3）。

師：這的確是一個反例，也是歷史上真實被舉出的反例。你能不能告訴大家，如何想到構(gòu)造這個反例的呢？

生7：我注意到了數(shù)量關(guān)系，歐幾里得的定義中只限定了除兩個全等多邊形的面以外的面的位置關(guān)系，卻沒有限定數(shù)量關(guān)系。事實上n（n≥3，n∈N*）棱柱應(yīng)該有2n個頂點、3n條棱和（n+2）個面。顯然，四棱柱應(yīng)該只有6個面，而這個多面體有11個面，因此是一個反例（見表2）。

師：但是老師作為歐幾里得的支持者，認為這個反例無法說服歐幾里得，也無法服眾。這個反例的幾何體并不常見，且局部是凹進去的，俗稱凹多面體。能否再舉出一個平時我們常見的多面體——凸多面體的反例，令眾人不得不信服呢？

生8：可以構(gòu)造一個常見的十二面體（如圖4）。

師：這個反例便是斯頓當(dāng)時舉出的反例，它是一個凸多面體，比之前的凹多面體更常見，也與之前的反例有著異曲同工之妙。由于歐式定義無法限制面的數(shù)量，因此可以通過擴充面的數(shù)量來制造很多反例。

師：早在1876年，數(shù)學(xué)家舒伊勒就改進了歐幾里得的定義：“棱柱是一個多面體，它有兩個面為全等、平行的多邊形且對應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對應(yīng)邊為底的平行四邊形。”你們認為舒伊勒的定義正確嗎？

生（齊答）：正確。

師：緊接其后，數(shù)學(xué)家斯頓在1916年給出了十二面體的反例，給出了和舒伊勒一致的定義。1922年，數(shù)學(xué)家郝克斯和貝克等人也修改了定義：“棱柱是一個多面體，有兩個面位于兩個平行平面上，其余各面均為平行四邊形，且其交線平行?！边@也是生4的定義，請同學(xué)們判斷一下這個定義是否正確，和舒伊勒、斯頓的定義相比，你們更喜歡哪一個呢？

生（齊答）：這個定義是正確的。我們覺得數(shù)學(xué)家郝克斯和貝克的定義更好一些，它不僅簡潔明了，而且能體現(xiàn)出柱狀的結(jié)構(gòu)。

師：一般地，如果一個多面體有兩個全等的多邊形的面相互平行，且不在這兩個面上的棱都相互平行，那么這個多面體叫做棱柱。棱柱的兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形。不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱，兩個底面間的距離叫做棱柱的高。

4.百花齊放，百家爭鳴

師：判斷圖中（如圖5）的四種幾何體是否為棱柱？

生（一部分齊答）：不是。

生（一部分齊答）：是。

師：生活中有一些特殊的棱柱為我們所常見，請同學(xué)們依次說出它們（如圖6）的典型特征或定義。

生1：平行六面體是底面為平行四邊形的棱柱。

生2：直棱柱是側(cè)棱與底面垂直的棱柱。

生3：長方體是底面為矩形的直棱柱。

生4：正方體是所有棱長都相等的長方體。

生5：正棱柱是底面為正多邊形的直棱柱。

師：棱柱的發(fā)展到這里并沒有停止，越來越多棱柱的應(yīng)用被開發(fā)出來，百花齊放下的“蜂巢”就是典例之一。越來越多的數(shù)學(xué)家也對棱柱下了新的定義，呈現(xiàn)百家爭鳴之勢。下面請同學(xué)們觀賞一個微視頻，試試看能否對棱柱下一個新的定義。

生6：可以從動態(tài)的角度定義棱柱。由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱。

師：非常棒！棱柱的概念經(jīng)歷了從實物到定義，從崇拜到質(zhì)疑，從錯誤到正確，從個性到共性，從復(fù)雜到簡單，從單一到多樣，從獨樹一幟到百家爭鳴的過程。數(shù)學(xué)的發(fā)展也許曲折，道路荊棘，但探索真理的腳步在一代又一代人的努力下從未停止過，就像那直棱柱一般堅忍不拔！

四、學(xué)生反饋

課后，筆者收集了28名學(xué)生對本節(jié)課的反饋信息。有一半以上的學(xué)生認為，自己在課堂中給棱柱下的定義與歐幾里得的一致或基本一致。

有關(guān)這節(jié)課印象最深的部分。學(xué)生提到的有：

·動手拼磁力片的過程，讓我對棱柱有了清晰的概念。

·我們自己舉出的那一個十二面體反例，讓人震驚，也為我們自己感到驕傲。

·老師不斷地讓我們提出棱柱的定義，并討論、改進，這樣的試錯體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力。

·拼搭棱柱的過程，讓我意識到有時仿佛符合認知的事物其定義也不是那么顯然，需要通過仔細、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎紒碚业浇Y(jié)果。

學(xué)生對課堂中的反例印象深刻，課后他們甚至自主研究出十六面體的反例（如圖7）。

有關(guān)課堂中提到的“歷史上的數(shù)學(xué)家也會犯錯誤”的事實，學(xué)生的感想有：

·后人的結(jié)論是站在前人的肩膀上得出的，所以我們通過學(xué)習(xí)，或許將來也可以再次對現(xiàn)在的理論進行補充或反駁。

·人無完人，誰都會犯錯，即使是數(shù)學(xué)家，也會有犯錯的時候，只能說理論在發(fā)展的時候總會經(jīng)歷錯誤。

·我們不能盲目相信別人，要有自己的思考，與別人不一致的時候不能盲目從眾，要堅持自我，有時候少數(shù)人堅持的往往是最終的真相。

五、結(jié)語

本節(jié)課數(shù)學(xué)史的應(yīng)用方式有重構(gòu)式、附加式和順應(yīng)式?；诶庵x在數(shù)學(xué)史上的演變與發(fā)展，本節(jié)課重構(gòu)了這一過程。首先，通過磁力片搭建讓學(xué)生對多面體產(chǎn)生感性的認知。其次，通過幾何體的抽象讓學(xué)生關(guān)注到幾何體中的點、線、面之間的關(guān)系，從而為后面棱柱定義的學(xué)習(xí)做鋪墊。然后，讓學(xué)生自己給棱柱下一個定義，并通過凹多面體和凸多面體各舉一個反例對定義進行辨析，增強學(xué)生對棱柱的理解。最后，補充棱柱的動態(tài)定義，拓展學(xué)生的思維。其中，將學(xué)生的定義與歷史上數(shù)學(xué)家的定義相比較，屬于附加式;讓學(xué)生辨析歷史上數(shù)學(xué)家給出的棱柱定義，屬于順應(yīng)式。

本節(jié)課中，從棱柱的幾何特征中不斷總結(jié)共性，最終得到正確的定義則是對概念的外延抽象化、嚴(yán)謹(jǐn)化和精簡化的過程。學(xué)生在課堂的進程中不知不覺地經(jīng)歷了棱柱概念的產(chǎn)生過程，構(gòu)建了知識之諧。課堂中磁力片的使用，很大程度上增加了學(xué)生的體驗感;讓學(xué)生自己給棱柱下定義，增強了學(xué)生的參與感，營造了探究之樂。在教學(xué)中，給予學(xué)生具體的實物進行全方位的觀察，從中抽象出棱柱的幾何模型，同時關(guān)注數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)，實現(xiàn)了能力之助。

本節(jié)課中，德育之效的體現(xiàn)尤為明顯。數(shù)學(xué)家歐幾里得的錯誤拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)、與數(shù)學(xué)家之間的距離，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中富有情感，熱情高漲。數(shù)學(xué)家的錯誤對于學(xué)生而言是一種警示，即不要盲目迷信權(quán)威，要敢于質(zhì)疑，勇于探索真理，追求理性精神。通過對棱柱定義的不斷修正，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是發(fā)展的，培養(yǎng)動態(tài)的數(shù)學(xué)觀。學(xué)生并沒有因為數(shù)學(xué)家歐幾里得的錯誤而否認他在幾何學(xué)中做出的巨大貢獻，反而懷有包容的態(tài)度面對錯誤。通過修正歐幾里得的錯誤，動手構(gòu)造反例并總結(jié)出正確定義的過程，學(xué)生收獲了別樣的自信心和成就感。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]朱丹.躺下的棱柱還是柱嗎？——淺談立體幾何的教學(xué)現(xiàn)狀及由此產(chǎn)生的幾點思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（24）：9-13.

[3]傅海倫，李慧娟，柏宗玲.優(yōu)化空間幾何體概念教學(xué)例析[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（9）：3-5.

[4]張磊.在分類中辨析數(shù)學(xué)概念：以“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”的教學(xué)設(shè)計為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（6）：14-17.

[5]張培強.課堂生成的精彩：感觸“棱柱、棱錐、棱臺”教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（7）：19-20.

[6]汪留嶼.基于直觀想象素養(yǎng)下立體幾何概念課的設(shè)計與反思：以“棱柱、棱錐和棱臺”為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（3）：21-24.

[7]劉洪璐.“棱柱、棱錐和棱臺”的教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005（12）：4-6.

[8]洪燕君，汪曉勤.美國百年幾何教科書中的棱柱定義[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（5）：67-72.

[9]沈金興.中學(xué)生對棱柱的理解：歷史相似性探究[J].數(shù)學(xué)通訊，2016（20）：10-14.

[10]陳鋒.基于歷史相似性的棱柱定義教學(xué)[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2015（5）：52-57.

[11]沈金興.數(shù)學(xué)史視角下的棱柱定義“學(xué)習(xí)單”設(shè)計[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（11）：45-48.

[12]WANG X Q，QI C Y，WANG K.A categorization model for educational values of the history of mathematics[J].Science & Education，2017（11）：1029-1052.

[13]歐幾里得.幾何原本[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[14]SCHUYLER A.Elements of geometry[M].Cincinnati：Wilson，Hinkle & Company，1876.

[15]STONE J C，MILLIS J F.Solid geometry[M].Chicago：B.H.Sanborn & Company，1916.

[16]HAWKES H E，LUBY W A，TOUTON F C.Solid geometry[M].Boston：Ginn & Company，1922.