[摘 要]問題驅動以提好問題為前提，方式有以大帶小、以點帶面、以實帶虛等?；趩栴}驅動的數(shù)學化教學，是從“準點的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉變成“個性表達與共性建構的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進為“自我反思的感悟提升”。教學應以凝練和實施教學設計為抓手，做到問題情境注重數(shù)學含量，過程經(jīng)歷指向模型建構，思維訓練遵循發(fā)展規(guī)律，最終，理論與實踐辯證統(tǒng)一，共同作用促使教學相長。

[關鍵詞]問題驅動;數(shù)學化;教學實踐;教學設計

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0001-03

課改，就是改課，而要想改變課堂中教與學的行走方式，首先就要改變我們教師的思想。邂逅“數(shù)學化”思想，源于《作為教育任務的數(shù)學》這本書，這一思想是荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾首次提出的。簡單來說，數(shù)學化就是“數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程”。隨著研究的不斷深入，“數(shù)學化”教學的實施前提應時而變，即從“生態(tài)課堂”到“有效經(jīng)歷”，再到現(xiàn)在的“問題驅動”，越來越聚焦教學本質(zhì)，接地氣且方便操作?！八甲儎t通，通則生智?！痹凇盎趩栴}驅動的數(shù)學化教學”的主張下，教學行為悄然改變，教學效果明顯改善。

一、問題驅動：以“提好問題”為前提

要想教得好，需要問得巧。這里的“巧”至少包含兩個層面：首先是弄清楚教學內(nèi)容，把準知識性的核心問題，梳理思維性的基本問題，即確認“教什么”;其次是對教學內(nèi)容的再加工，使問題產(chǎn)生最大效益，即確認“如何教”。也就是說，“問得巧”既要能“提出好的數(shù)學問題”，還要能用這些“啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學本質(zhì)的、在教學中起統(tǒng)領作用的問題”驅動數(shù)學教學。

1.整合情境，以大帶小

例題承載著碎片化的知識，“一步一景”催生“一題一得”。 “順利地教”并不一定能實現(xiàn)“有效地學”。教師的“關懷備至”，往往是“牽引”過度，學生的“即時回答”，很多時候只是“思考簡單”，這些直接導致學生失去自主探究和自由發(fā)展的可能。這種境界較低、格局較小的教學，我們稱之為“小問題”教學?！按髥栴}”的“大”主要涉及這四個方面：學科本身的大問題;教學方式的大問題;教學行為背后的教育大問題;學科發(fā)展性傾向的大問題。這四個方面只有和諧統(tǒng)一，才能共同服務于學生思維的發(fā)展。

以“認識負數(shù)” 的教學為例，可設計“大問題”：“用合適的方式把你知道的負數(shù)表示出來?！薄柏摂?shù)的意義是什么？”“怎樣在數(shù)軸上表示負數(shù)？”……以驅動數(shù)學化教學。首先，引導學生調(diào)用已有的經(jīng)驗理解問題，并掌握正負數(shù)的讀法和寫法;接著，梳理創(chuàng)造負數(shù)的途徑，即“人為創(chuàng)造”和“生活約定”，并在不同中找相同，發(fā)現(xiàn)“相反意義”的數(shù)量可以用負數(shù)表示，觸摸負數(shù)的本質(zhì);最后，在將負數(shù)與正整數(shù)的對比中，確認負數(shù)在數(shù)軸上的位置，豐富數(shù)的認知。顯然，整合情境后的“以大帶小”，能夠助推學生建構知識和拔節(jié)生長。

2.統(tǒng)攝全局，以點帶面

有些數(shù)學知識板塊特征明顯，學生思考和解決問題的過程“異構同質(zhì)”。對于這種屬性的知識，教師可以從“點”入手，深入挖掘，并以此統(tǒng)攝全局，過渡到“面”。因為課堂教學時間有限，教師很難做到“面面俱到”，而通過聚焦典型例子，能夠將抽象的思考模型順利遷移到不同的情境中，以實現(xiàn)學生“一通百通”。

以“解決問題的策略——轉化”的教學為例，可緊扣“不變量思想和等量代換”的轉化本質(zhì)，設計完整的“智慧鏈”來統(tǒng)攝教學全局：“是怎樣轉化的 ？（外觀其形） ”“為什么可以這樣轉化？ （內(nèi)辨其理） ”“一定是這樣轉化嗎 ？（內(nèi)外平衡拓其思） ”在具體實施時，引導學生聚焦“曹沖稱象”，提煉等量轉化，感知轉化的思考路徑;聚焦“面積比較”，提煉等面積轉化，掌握轉化的方向和方法;聚焦“整理回顧”，提煉“等周長”轉化、“等計算結果”轉化等，內(nèi)化轉化生智的模型和價值。顯然，問題情境在變化，但是驅動教學的“動點”沒有改變，因為這個“動點”能反映典型問題，能直達轉化本質(zhì)，還能演繹智慧路徑。

3.貫通前后，以實帶虛

教師既要“務實地教”，還要引導學生“務虛地學”。這里的“務虛”是指“從具體實際出發(fā)，又要離開感性的具體，舍棄具體事物的特殊性，抽象出事物的普遍本質(zhì)和一般規(guī)律”。顯然，只有“務實”地引導學生經(jīng)歷數(shù)學學習的“關鍵步子”，才能引發(fā)學生“務虛”地體驗和感悟，形成必要的、能帶走的“關鍵能力”。

以“認識面積”的教學為例，教師通過“定標準、去測量、得結果”三個板塊，驅動學生主動建構面積的概念。首先，用操作活動引發(fā)認知沖突，讓學生感知表征的豐富性和結果的不確定性，產(chǎn)生統(tǒng)一標準的需求;接著，引導學生嘗試使用“標準”初步測量面積，體會“面積”其本質(zhì)上是“面”的積累，從而感知面的大小與數(shù)出的結果之間的對應關系;最后，鎖定“標準大小”和“數(shù)量多少”這兩個關鍵因素，解決相關的實際問題。教學中還要引導學生將面積與長度、時間和質(zhì)量等計量單位放在一起觀察、對比和感悟，明確凡是計量多少的需要，都要經(jīng)歷“三個階段”和鎖定“兩個關鍵”。顯然，這樣的問題架構，有助于實現(xiàn)“虛實相生”，并且“生生不息”。

二、數(shù)學化：以“和諧共生”為核心

弗賴登塔爾認為，數(shù)學化有兩種，一類是橫向數(shù)學化，即把生活世界引向符號世界;另一類是縱向數(shù)學化，即在符號世界里，符號生成、重塑和被使用。換句話說，前者將生活引向數(shù)學，“生活味”濃一些，后者是數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展，“數(shù)學味”濃一些。相對而言，小學階段的學習，兩種味道應兼而有之，并且能因需側重、和諧共生。

1.起點和諧：生活問題或數(shù)學問題

數(shù)學化注重“讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”，即要想成功實施數(shù)學化，只有考慮了學生的基礎，后續(xù)的組織、抽象和建模才具有針對性和實效性。這里的學生基礎有“數(shù)學基礎”和“生活基礎”之分?！皵?shù)學基礎”與學生受教育的程度有關，主要是通過學習已經(jīng)獲得的知識技能、思考方法和數(shù)學思想等?！吧罨A”與學生生活的環(huán)境質(zhì)量有關，主要是指學生在生活世界里沉淀的經(jīng)驗、技能和價值觀等，盡管這些經(jīng)驗不深刻，技能不精湛，價值觀也不穩(wěn)定，但作為“等待發(fā)掘的礦藏”，不可小覷，更不能忽視。因此，數(shù)學化的起點既可以是生活問題，也可以是數(shù)學問題，還可以是兩者的優(yōu)化組合。進一步說，只要貼近學生生活實際，能夠引發(fā)學生認知沖突、激發(fā)學生積極參與、有利于學生發(fā)展的問題，都可以作為數(shù)學化的起點。

2.過程和諧：觀察比較或需求創(chuàng)造

弗賴登塔爾提倡“再創(chuàng)造”，希望學生能像數(shù)學家一樣思考，能將知識“從無到有”地創(chuàng)造出來，實現(xiàn)有效的數(shù)學化。因為知識的屬性不同，所以“再創(chuàng)造”的路徑也就有了差異。比如“長方體的體積”，這個知識點反映的是體積大小與長方體內(nèi)部元素（長、寬和高的長度）之間相互依賴與制約的關系，其基本屬性是對客觀規(guī)律的描述，知識是“確定的”。認識這種知識的基本方法是“發(fā)現(xiàn)”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發(fā)現(xiàn)共性，這樣的共性就成為具有一定普遍意義的規(guī)律。又如“認識分數(shù)”，就是源于語言表達、量的測量和數(shù)的運算三方面的需要而被發(fā)明出來的，什么樣子都有可能，知識是“不確定的”。像這一類知識，其本質(zhì)屬性是人的“發(fā)明”，通常是因人的主觀“需求”而出現(xiàn)的。顯然，發(fā)現(xiàn)的過程核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，發(fā)明的過程重在“需求與創(chuàng)造”。因此，在踐行“再創(chuàng)造”的理念時，不能空喊口號，不能以偏概全，而要實事求是地研究知識屬性、選擇合適路徑。畢竟只有合適的，才是最好的。

3.終點和諧：引向生活或引向數(shù)學

終點只是為了休整，目的是更好地再次出發(fā)。但有一點可以肯定：“學以致用”不能止步于練習題，這樣的“終點”行為只是遷移模仿、機械復制，而且沒完沒了，極易“終結”學生對數(shù)學學習的興趣。從聯(lián)系的角度看，起點和終點本身就是認知回路的重要節(jié)點，看似外在分離，其實內(nèi)在統(tǒng)一，因此，數(shù)學化終點也可以引向生活或引向數(shù)學。比如“解決問題的策略——轉化”，最后將轉化策略引向生活，創(chuàng)造出“司馬光砸缸”（人離開水→水離開人）、埃舍爾鑲嵌圖形 （簡單圖形→藝術作品，引導學生感知轉化的魅力和價值，培養(yǎng)學生自覺地把數(shù)學應用于日常生活的態(tài)度）、哥尼斯堡七橋問題 （生活問題→數(shù)學模型）……又如“平行四邊形的面積”，設置“通過轉化成規(guī)則的長方形，順利解決了平行四邊形的面積計算，那么要計算三角形的面積又該如何轉化呢？兩者面積計算之間有什么相同點和不同點呢？”問題，激發(fā)學生探究的欲望和興趣，引導學生感受知識的關聯(lián)性和差異性。當然，引向哪里并不絕對，主要考量是否能夠助推學生有所思、有所悟和有所得，這才是和諧共生的關鍵。

顯然，現(xiàn)實的教學需要兩種數(shù)學化動態(tài)平衡和辯證統(tǒng)一。尤其是“當學生的基礎知識儲備不足時，‘生活味是學生理解和掌握知識的‘調(diào)味劑;當學生已經(jīng)儲備了足夠的基礎知識，能夠用數(shù)學的思維來理解和掌握數(shù)學知識時，‘生活味就要淡一點”。 換句話說，只有兩種數(shù)學化結伴而行、共同作用，才能幫助學生有效“經(jīng)歷”。但是，我們也要清醒地認識到，隨著年級的增長，“數(shù)學味”會逐漸濃于“生活味”，這是數(shù)學學科的特質(zhì)所決定的，也是對生活數(shù)學化的回歸和超越。

三、教學實踐：以“教學設計”為抓手

好的問題，能為思維搭建“腳手架”，為教學制訂“路線圖”。這要求教師能夠把握教材、整合情境和提煉知識，屬于“靜態(tài)規(guī)劃”。但是，教學還要以“好問題”為引領，實施有效的數(shù)學化，屬于“動態(tài)經(jīng)歷”。而教學實踐則需要動靜結合，并最終凝練成教學設計，觀照教育教學的現(xiàn)場。

1.問題情境注重數(shù)學含量

無論是生活的問題情境，還是數(shù)學的問題情境，它們的作用主要是激發(fā)興趣、引發(fā)困惑和觸發(fā)思考，它們恰似肥沃的土壤，為數(shù)學問題的生長提供了良好的環(huán)境。對于一節(jié)課而言，問題的情境可以不一樣，但是從情境中提煉出來的“數(shù)學”是一樣的，情境創(chuàng)設服務于問題生成，這個功能和作用不能本末倒置。如教學“可能性”時，可設計“摸球”和“摸撲克牌”的問題情境，游戲中摸什么不是重點，重點是引導學生感知“確定事件”和“不確定事件”，會用“可能”“一定”和“不可能”來描述概率事件，并且基于問題情境中數(shù)量的多少，把握可能性大小的本質(zhì)。

2.過程經(jīng)歷指向模型建構

過程經(jīng)歷的豐富性是為了建構模型的深刻性。精密的傳授，往往導致學生“努力說服自己從教學中獲得特定的知識與技能，盡量控制大腦（個性的）去適應教師‘精心準備的問題情境，去尋求與教師一致的理解”，看起來快捷和高效，其實被動和無趣。比如“認識分數(shù)的初步”，首先創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生創(chuàng)造分數(shù)的內(nèi)需，然后引導學生經(jīng)歷生態(tài)的表征問題的過程，通過對比、歸納，抽象出分數(shù)的模型。雖然學生的“再創(chuàng)造”相對粗糙，但這是最真實的存在。教學要做的是捕捉學生表達中蘊含的關鍵信息，逐步將“個性表達”提煉成“共性建構”。顯然，這樣的學習立足學生實際，過程有溫度又不失深度。當然，在這個過程中，教師要精準指導、合理調(diào)控和有序推進，可以放手，但絕不能放任。

3.思維訓練遵循發(fā)展階段性

顧泠沅教授認為，實現(xiàn)數(shù)學化一般要經(jīng)歷三個階段，即實物操作、表象操作和符號操作。表象操作作為中間環(huán)節(jié)，助推實物操作順勢過渡到符號操作，以突破形式化的難關。與此對應，三種階段還匹配三種數(shù)學思維，即直覺思維、表象思維、邏輯思維，以適應各個階段的需要。比如“9加幾的進位加”，可創(chuàng)設數(shù)蘋果的情境，先讓學生用自己的方式，一個一個地數(shù)，或者從9往后數(shù)，這屬于直覺的思考;接著，引導學生觀察盒子的特點（每盒放10個），催生學生拆分和合并的需求，得到9+1=10和10+3=13，并通過對比發(fā)現(xiàn)“湊整十”的優(yōu)勢;然后，脫離具體實物，通過圈畫圖形，遷移知識，進入對表象的思考;最后，脫離圖形，順利運用“湊十法”計算，實現(xiàn)“9加幾的進位加”的形式化。當然，在有序推進的過程中，如果后一階段難以突破，仍舊可以回頭，從較低思維層次入手，以幫助學生理解和建構。

綜上所述，相比傳統(tǒng)教學，基于問題驅動的數(shù)學化教學，是從“準點的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉變成“個性表達與共性建構的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進為“自我反思的感悟提升”。也就是說，教學不再是簡單地解決問題，而是借助問題解決驅動“再創(chuàng)造”過程，以體驗的豐富助推建構的深刻，使學習變得有生長、有意思和有道理，最終實現(xiàn)教學相長。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 黃愛華，張文質(zhì). 大問題“教學的形與神” [M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2] 丁洪，洪薈春.緊扣問題本質(zhì)，驅動自主建構：“解決問題的策略 （轉化） ”磨課實踐與思考[J].小學教學參考，2018（20）：13-15.

[3] 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[4] 郜舒竹.小學數(shù)學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[本文系南通市“十三五”教育科學規(guī)劃2016年度青年專項課題“基于問題驅動的數(shù)學化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責編 童 夏）