丁洪

[摘 要]“再創(chuàng)造”能搭建自由的學(xué)習(xí)平臺，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)中的“關(guān)鍵步子”，幫助學(xué)生跨越思維的斷層。在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，梳理、對比和整合 “差異化資源”，驅(qū)動學(xué)生思維的“可視化”，達(dá)到“激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)展”的教育目的。

[關(guān)鍵詞]再創(chuàng)造;有效經(jīng)歷;思維訓(xùn)練;數(shù)學(xué)化

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0006-03

現(xiàn)實的教學(xué)側(cè)重理性，短平快的“跨越”會使思維產(chǎn)生斷層，機(jī)械模仿只為“以學(xué)備用”。弗賴登塔爾推崇的“再創(chuàng)造”思想強(qiáng)調(diào)依靠學(xué)生的原有經(jīng)驗和前概念，順勢而為地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生和發(fā)展的全過程。尤其是“關(guān)鍵步子”的聚焦，“可視化”的思維碰撞，既能推動學(xué)習(xí)深入，獲得必要知識，又能促進(jìn)思維發(fā)展，提升關(guān)鍵能力，真正實現(xiàn)“以學(xué)促思”的數(shù)學(xué)化教學(xué)目標(biāo)。

筆者在某次觀摩活動上執(zhí)教的“用字母表示數(shù)”一課，就緊緊圍繞“再創(chuàng)造”的理念來演繹數(shù)學(xué)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用已有的經(jīng)驗驅(qū)動概念的建構(gòu)。

【教學(xué)片段一】初步創(chuàng)造，激活經(jīng)驗

師：星期天，大頭兒子和小頭爸爸在家玩拼圖游戲。拼1個獨(dú)立的三角形，用3根小棒。你能往下接嗎？

生1：拼2個三角形，用6根小棒。

生2：拼3個三角形，用9根小棒。

師：為了方便研究，我將信息整理成表格，把6根換成“3×2”，以此類推，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：每個三角形用的根數(shù)一樣多。

生4：多一個三角形，就多3根。

生5：三角形越多，用的根數(shù)也越多。

師：6個三角形需要多少根小棒？8×3表示什么含義？

生6：6個三角形，需要6個3根，列式為6×3。

生7：8×3表示拼8個三角形需要的小棒根數(shù)。

師：能拼得完嗎？

生（齊）：不能。

師：請想個辦法，把已經(jīng)拼的和還沒有拼的情況都包含進(jìn)去，并且能清楚反映三角形的個數(shù)和對應(yīng)的小棒根數(shù)。期待你的創(chuàng)造！

（學(xué)生在活動單上嘗試創(chuàng)造）

師：都用“？”或者“……”算一類，還有第二類（出示：“？”和“3×？”、“□”和“3×□”、“（ ）”和“3×（ ）”、“x”和“3×x”）。對比之后，你有什么想說的？

生8：感覺第二類要清楚一些。

生9：第二類容易看出對應(yīng)關(guān)系。

生10：三角形有幾個，小棒根數(shù)對應(yīng)就是幾個3根。

師：遇到未知的數(shù)，常用“？”“（ ）”和“□”。今天我們換種方式——用字母表示數(shù)。你怎么想到用x表示的？

生11：數(shù)學(xué)社團(tuán)的老師提起過。

師：除了用x可以表示三角形個數(shù)，其他字母行嗎？

生12：都可以，外形不同，作用一樣。

師：被你們看穿了。如果我選a表示三角形個數(shù)，對應(yīng)的小棒根數(shù)就是——

生13：3×a。

師：a可以是哪些數(shù)？

生（齊）：0、1、2、3…是自然數(shù)。

師：可以是半個嗎？

生（齊）：不可以。

師：看來，從三角形的實際情況來考慮，a相應(yīng)的就有了范圍。

【思考：首先創(chuàng)設(shè)“拼圖形”情境，將零散的信息整理成表格，對比發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)和小棒根數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，巧借概括性表達(dá)的實際需要，驅(qū)動學(xué)生調(diào)用經(jīng)驗進(jìn)行創(chuàng)造活動;接著在分類比較的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生感知符號和字母具有相同的效用，使學(xué)生換個方式表達(dá)的想法自然生長;最后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角形的圖形特征，理解字母范圍。】

【教學(xué)片段二】對比創(chuàng)造，建構(gòu)模型

師：不知道大頭兒子和小頭爸爸的年齡，我們可以用哪個字母表示？

生1：用字母a表示。

生2：用字母b表示。

生3：26個字母都可以。

師：是的，字母在這里的作用是一樣的。如果用字母x表示爸爸的年齡，大頭兒子的年齡可以用字母x表示嗎？

生4：我覺得不行，用相同的字母，感覺年齡一樣了。

師：你的感覺是對的。在同一個問題情境中，不同數(shù)量一般用不同的字母表示。

師（出示：大頭兒子比小頭爸爸小24歲）：怎么表示大頭兒子的年齡？

（學(xué)生活動，教師巡視）

師：你覺得哪種方法比較好？先獨(dú)立思考，再小組交流。

（第一類：用單個字母表示，如“y”;第二類：x-24）

生5：我們小組認(rèn)為“x-24”能表示大頭兒子的年齡，還能看出父子之間相差幾歲。

師：給了結(jié)果，還說出理由，真棒！接下來，玩“對口令”游戲，試著用含有字母的式子表示數(shù)量，看誰的反應(yīng)快！

師：小頭爸爸a歲，大頭兒子——

生6：（a-24）歲。

師：大頭兒子b歲，小頭爸爸——

生7：（b+24）歲。

師：你們都能緊扣條件表達(dá)，非常好！再來“對口令”，如果小頭爸爸25歲，大頭兒子幾歲？

生（齊）：1歲。

師：出生了。如果小頭爸爸31歲，大頭兒子幾歲？

生（齊）：7歲。

師：上學(xué)了。能說得完嗎？

生（齊）：說不完。

生8：不對，人的年齡是有限的。

師：是的，年齡有范圍，相應(yīng)的，含有字母的式子就有范圍。

【思考：首先創(chuàng)設(shè)“算年齡”情境，將知識順勢遷移，使學(xué)生在簡單運(yùn)用中體會“同一情境中，不同數(shù)量一般用不同字母表示”的數(shù)學(xué)約定;接著增設(shè)條件，搭建“再創(chuàng)造”平臺，促使學(xué)生通過對比評價活動，感知含有字母的式子不但能表示數(shù)量，還能清楚地反映數(shù)量之間的關(guān)系;最后的游戲活動，一是“變式訓(xùn)練”，二是“代數(shù)求值”，讓學(xué)生進(jìn)一步感知取值范圍對應(yīng)的問題實際。】

【教學(xué)片段三】反思創(chuàng)造，理解簡化

師：你能寫出正方形的周長和面積公式嗎？

生1：正方形的周長C=a×4。

生2：正方形的面積S=a×a。

師：用字母表示公式，顯然比文字表達(dá)要簡潔。其實，簡潔是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，這些式子還能再簡潔嗎？

（學(xué)生創(chuàng)造： C=a4、C=4a、S=aa）

師：數(shù)學(xué)家又是怎樣創(chuàng)造的呢？請自學(xué)課本。

生3：C=a4是錯的，省略乘號時“數(shù)字在前，字母在后”，應(yīng)寫成C=4a。

生4：S=aa是對的，還可以寫成“S=a2”，“a2”讀作“a的平方”。

生5：a×1=a，字母和1相乘等于本身。

師：“·”表示什么？

生6：我覺得像是“×”的縮小變形。

生7（手勢配合）：就是這樣，把四邊向中間合攏。

師：思維碰撞，渡人渡己，真棒！從上往下看，越來越簡潔，方便表達(dá);從下往上看，能追根溯源，把握本質(zhì)。

師：在歷史上，用字母表示數(shù)的過程可沒有這么簡單，不信你聽！

[z][r][j]

（播放“字母表示數(shù)的歷史”錄音;略）

師：看來，從只能表達(dá)特定意思的字母，到現(xiàn)在擁有變通魔力的符號，這是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造，也是歷史的選擇。

【思考：首先是借用簡潔表達(dá)的需要，驅(qū)動學(xué)生自主創(chuàng)造;接著基于評判對錯的需要，驅(qū)動學(xué)生自學(xué)反思，并在辨析中梳理知識、解決困惑和建構(gòu)規(guī)則，尤其是“自上而下”和“自下而上”的觀察比較，能夠引導(dǎo)學(xué)生掌控方向、聚焦方法和把握本質(zhì);最后的穿越歷史相當(dāng)于“替代性創(chuàng)造”，引導(dǎo)學(xué)生體驗字母的作用和內(nèi)涵，感悟“再創(chuàng)造”的生活基礎(chǔ)和智慧付出，以豐富學(xué)習(xí)的意義?！?/p>

【評析】

“用字母表示數(shù)”是人們?yōu)榉奖闵畋磉_(dá)的創(chuàng)造，也是數(shù)學(xué)自身簡約發(fā)展的追求。在整個“數(shù)與代數(shù)”板塊中，“用字母表示數(shù)”的作用和地位比較特殊，既屬于核心知識，又肩挑承前啟后的重任。學(xué)習(xí)這部分知識，能夠增強(qiáng)學(xué)生表達(dá)問題的能力，沉淀“代數(shù)”的數(shù)學(xué)思想，為代數(shù)式及其運(yùn)算、方程等的后續(xù)學(xué)習(xí)做好必要鋪墊。

要想達(dá)到理想的學(xué)習(xí)效果，教學(xué)中不能忽視這些問題，即“為什么選擇用字母表示數(shù)？”“字母怎樣表示數(shù)？”“在具體情境中，字母表示什么樣的數(shù)？”“字母表示數(shù)的意義和價值是什么？”“字母表示數(shù)的歷史是什么？”等。只有把這些問題想清楚，才能更好地設(shè)計和實施“再創(chuàng)造”活動，以幫助和驅(qū)動學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)創(chuàng)造

教學(xué)中，圍繞大頭兒子和小頭爸爸的周末生活，先后創(chuàng)設(shè)“拼圖形”“算年齡”和“巧簡化”的情境，以及展示練習(xí)中衣食住行的問題場景。連續(xù)的、完整的和全方位的情境體驗，使“再創(chuàng)造”活動順利切入，并因接地氣而孕育靈氣。

例如，在“拼圖形”情境中，提出“請想個辦法，把已經(jīng)拼的和還沒有拼的情況都包含進(jìn)去，并且能清楚反映三角形的個數(shù)和對應(yīng)的小棒根數(shù)?！彬?qū)動未知數(shù)量表達(dá)方式的創(chuàng)造;在“算年齡”情境中，提出“怎么表示大頭兒子的年齡？”驅(qū)動含有字母的式子的創(chuàng)造;在“巧簡化”情境中，提出“這些式子還能再簡潔嗎？” 驅(qū)動規(guī)則簡化的創(chuàng)造。顯然，這些問題貼近學(xué)生的認(rèn)知，具有真實性，能激發(fā)學(xué)生的興趣和潛能，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)從“被動”走向“主動”。

二、搭建平臺，個性創(chuàng)造

智慧的火花被問題點燃后就需要“平臺”來記錄和整理。這里的平臺，其實是指學(xué)生思考的時間和空間。這樣做是想讓學(xué)習(xí)進(jìn)程慢下來，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，養(yǎng)成獨(dú)立思考和自我對話的習(xí)慣。

例如，在“拼圖形”情境中，學(xué)生調(diào)用原有表示未知數(shù)的經(jīng)驗，創(chuàng)造出純符號和形如“？”和“3×？”的表達(dá)方式;在“算年齡”情境中，結(jié)合已知數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)造出單個字母和含有字母的式子兩種表示年齡的方式;在“巧簡化”情境中，根據(jù)自己的理解，進(jìn)行初步的簡化嘗試。盡管創(chuàng)造的結(jié)果相對“粗糙”，但是卻生動地、充分地暴露了學(xué)生的即時狀態(tài)和思維過程。直播式的“再創(chuàng)造”，可愛、可控和可調(diào)，使學(xué)習(xí)方向由“模糊”變得“清晰”。

三、巧妙對比，優(yōu)化創(chuàng)造

創(chuàng)造的成果為互動交流和問題爭鳴提供了素材。這些素材豐富多彩、角度多樣，是差異化和共性化的并存。將這些素材巧妙梳理和分類，有序呈現(xiàn)和對比，能激發(fā)學(xué)生的表達(dá)欲望，提升學(xué)生的表達(dá)質(zhì)量，優(yōu)化學(xué)生的創(chuàng)造成果。

例如，在“拼圖形”的情境中，先將表示數(shù)量的方法梳理成兩類，比較后發(fā)現(xiàn)第二類能清楚地表示數(shù)量，接著聚焦第二類的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在發(fā)現(xiàn)符號和字母都具有表示數(shù)量的功能后，順勢引入新知的學(xué)習(xí);在“算年齡”情境中，先將表示年齡的方法梳理成兩類，比較后發(fā)現(xiàn)，第二類能表示年齡，還能反映年齡之間的關(guān)系;在“巧簡化”情境中，將文字公式、字母公式和逐步簡化過程中的公式進(jìn)行對比，還將歷史中字母的自我發(fā)展一起對比。顯然，經(jīng)過對比的過程更生動、思維更透徹和結(jié)構(gòu)更穩(wěn)固，促使學(xué)習(xí)方式從“植入”變成“建構(gòu)”。

四、積極反思，感悟創(chuàng)造

就本課而言，在板塊教學(xué)中，已經(jīng)借助即時反思，解決了部分課前提出的問題。但是，這樣的反思行為是局部的，缺少連續(xù)性和整體性，對學(xué)習(xí)的幫助也就是“點到為止”，難以讓學(xué)生習(xí)得“能帶得走的能力”。

要想反思有效，可以將思考的零散碎片整合在“再創(chuàng)造”模塊之內(nèi)。例如，在“巧簡化”情境中，數(shù)量關(guān)系的表達(dá)方式有4種，每種表達(dá)方式都對應(yīng)一種抽象水平?！白陨隙隆钡膶Ρ确此?，能感知簡化的方向和方法;“自下而上”的對比反思，能還原簡化本來的“面貌”;“一上一下”的整體互動，使模塊學(xué)習(xí)自成體系。又如，將字母表示數(shù)的相關(guān)問題，巧妙融合在字母表示數(shù)的歷史中，通過其發(fā)展歷程的動態(tài)演繹，將靜態(tài)的、濃縮的和人為分解的知識“無縫對接”?！耙粍右混o”，使模塊學(xué)習(xí)更具畫面感和生命力。顯然，有反思的學(xué)習(xí)更具溫度和深度，促使學(xué)習(xí)收獲從“知識”變成“能力”。

顯而易見，弗賴登塔爾所提倡的“再創(chuàng)造”，既搭建了學(xué)生自主、自由和自在的學(xué)習(xí)平臺，又在梳理、展示和整合思維方面做出最大努力，達(dá)到“激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)展”的教育目的。但是，在教學(xué)實踐中，有一種現(xiàn)象要警惕，就是只有自由創(chuàng)造之形，缺少有條理的思維訓(xùn)練之實的活動。這種虛偽的“再創(chuàng)造”，華而不實、牽強(qiáng)附會和漫無目的，需要認(rèn)真甄別。

[本文系南通市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃2016年度青年專項課題“基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責(zé)編 金 鈴）