魏巍

【摘要】課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教育落實(shí)的主要方式，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的能力和意識，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，是每位教師都應(yīng)該著重研究的方向。文章借助基本不等式的教學(xué)過程展示了預(yù)設(shè)與生成是教學(xué)中的一對矛盾統(tǒng)一體，兩者相輔相成，缺一不可。

【關(guān)鍵詞】基本不等式；課堂教學(xué)；預(yù)設(shè)；生成

2018年，筆者有幸參加了山東省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評選活動，課題是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》中的“基本不等式 ”。本節(jié)課中，教材運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法對基本不等式進(jìn)行了證明和解釋。在備課、上課及課后反思中，筆者對課堂教學(xué)中的預(yù)設(shè)與生成有了深刻體會，不吐不快。下面把這節(jié)課的內(nèi)容分析、教學(xué)設(shè)計、教后反思與教學(xué)心得記錄下來，愿與同行研討。

一、教學(xué)內(nèi)容分析與教法說明

“基本不等式 ”是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來了。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步研究。在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值是高考的熱點(diǎn)。同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

本節(jié)課是第一課時，教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程，而不是如何應(yīng)用基本不等式解決具體問題。在教學(xué)中，筆者應(yīng)用“情景-問題-研究”模式教學(xué)，展示了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”。教師是活動的組織者、指導(dǎo)者、協(xié)作者和調(diào)控者，學(xué)生是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動的主人。教學(xué)設(shè)計不是用傳統(tǒng)的“公式+例子+練習(xí)”模式設(shè)計，而是把公式的建立當(dāng)作一種情境，設(shè)計問題串為學(xué)習(xí)搭建腳手架，引發(fā)學(xué)生去操作，活動，討論，反思。

二、教學(xué)設(shè)計及設(shè)計意圖

（一）設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境

（多媒體展示）華羅庚先生的詩：

“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！?/p>

開場白：華羅庚先生有數(shù)學(xué)家的睿智、詩人的浪漫。同學(xué)們請說出華先生的這首詩表達(dá)的思想。

生：“數(shù)形結(jié)合百般好”。

師：今天我們一同來體會如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來研究問題。

設(shè)計意圖：使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想，盡快進(jìn)入數(shù)學(xué)情景；為本節(jié)課問題的探究指明方法，做鋪墊。給學(xué)生留下疑問：“我們要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究什么問題呢？如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來研究問題呢？”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對將要出現(xiàn)的探究問題充滿期待。

（多媒體展示）第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。

師：第24界國際數(shù)學(xué)家大會于2002年在北京召開，這是大會的會標(biāo)，其中的圖案大家見過么？

生：見過，這是“趙爽弦圖”，在初中曾用它證明過勾股定理。

師：我們還能在“趙爽弦圖”中探究出什么信息呢？

（多媒體展示）

問1：同學(xué)們在原來的學(xué)習(xí)過程中見過這個圖形嗎？

問2：在此圖中有哪些幾何圖形？

問3：若我們設(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為 、 ，你能用 、 表示四個直角三角形的面積和嗎？你能用 、 表示大正方形的面積嗎？

問4：根據(jù)圖形，比較四個直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系，寫出不等式。

設(shè)計意圖：尋求學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生初中已經(jīng)接觸過的趙爽弦圖作為導(dǎo)入素材，使學(xué)生有熟悉的感覺，樂于探究新的知識。以 、 表示直角三角形的兩條直角邊，為后面的學(xué)習(xí)掃清障礙。若以教材的安排，以 、 分別代替 、b，學(xué)生不太容易理解。四個問題的設(shè)置，便于學(xué)生層層深入地研究，使研究方向更明確。

（二）學(xué)生探究，嘗試解決

師生互動：學(xué)生觀察圖形，思考問題，寫出結(jié)果。教師巡視，了解學(xué)生情況，在適當(dāng)時候建議學(xué)生小組內(nèi)部相互交流。學(xué)生在小組內(nèi)部對比結(jié)果，互相交流，達(dá)成共識，展示成果。

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立動手、動腦能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法、思想解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生交流合作的能力，通過交流培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題（不全面）的能力，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的意識以及努力探究的精神。

師：請一位同學(xué)展示一下研究成果。

預(yù)設(shè)：有的學(xué)生可能會寫出 ，也可能寫出 。

師：四個直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒有可能相等？相等時，圖形產(chǎn)生了怎樣的變化？ 、 有什么關(guān)系？

生：有可能相等，四個直角三角形的直角頂點(diǎn)會重合，此時 。

師：如此一來，我們可以得到如下結(jié)論：（多媒體展示并板書）結(jié)論（1）：對任意實(shí)數(shù) ， ，我們有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立。

以上結(jié)論是我們從幾何圖形中的面積關(guān)系獲得的，同學(xué)們能否運(yùn)用代數(shù)的方法對這個結(jié)論進(jìn)行證明？

師生互動：學(xué)生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫出證明過程；教師巡視，及時掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)的問題，適當(dāng)?shù)臅r候挑選學(xué)生板演證明過程。

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、解決問題的能力，使學(xué)生體會不等式證明的常用方法，使學(xué)生感受到幾何的直觀性后，進(jìn)一步感受代數(shù)證明的嚴(yán)謹(jǐn)。

預(yù)設(shè)：有的同學(xué)會把要證明的結(jié)論作為條件使用；有的同學(xué)只證明 ，而忽視了“當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立”的證明；有的同學(xué)會以 為條件，證明“當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立”；有的同學(xué)會使用作差法證明這個結(jié)論。

（三）師生交流，解釋規(guī)律

師生互動：教師對學(xué)生板演的證明過程做出評價；注意方法的選擇、步驟的規(guī)范；強(qiáng)調(diào)等號成立的條件。

師：同學(xué)們對結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”如何理解？

生：當(dāng) 時，并且只有 時，等號成立。