郭龍祥

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)要確立數(shù)學(xué)思維與認(rèn)知體系兩個著力點，前者需要問題去激活，后者需要在自主建構(gòu)的基礎(chǔ)上形成.當(dāng)問題具有引領(lǐng)作用，且能與自主建構(gòu)相輔相成時，往往就能夠有效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的完善.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；問題引領(lǐng)；自主建構(gòu)；數(shù)學(xué)思維；認(rèn)知體系

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師最需要施力的兩個重點是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)認(rèn)知體系. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)認(rèn)知體系是相輔相成的關(guān)系，前者可以促進(jìn)后者的形成，而后者則可以讓前者更完整且在問題解決的過程中發(fā)揮更大的作用. 從教學(xué)經(jīng)驗來看，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思維激活還是存在挑戰(zhàn)的，機(jī)械學(xué)習(xí)、模仿式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)不在少數(shù)，而學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的建立本身就沒有太大的興趣，一個重要原因同是認(rèn)知體系的建立并不能給數(shù)學(xué)問題解決尤其是數(shù)學(xué)習(xí)題解答帶來直接的好處，將學(xué)習(xí)的大部分精力放在解題上以更好地面對考試，是學(xué)生現(xiàn)實而又無奈的選擇.

在這樣的背景下，尤其是考慮到當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，筆者以為還是要將數(shù)學(xué)思維置于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的位置，要將數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的建立視作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ). 這樣才能在數(shù)學(xué)應(yīng)試與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育之間尋找到一個更好的平衡點，從而在滿足學(xué)生應(yīng)試需要的同時，更好地讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有真正的收益.基于這樣的思路，筆者此處談三點認(rèn)識：

通過問題引領(lǐng)來激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

問題引領(lǐng)是數(shù)學(xué)教師并不陌生的一個概念，問題引領(lǐng)有兩個關(guān)鍵詞：一是問題；二是引領(lǐng). 問題對于數(shù)學(xué)教師來說，是教學(xué)環(huán)節(jié)中無法回避的重要載體，而問題要想發(fā)揮引領(lǐng)作用，進(jìn)而去激活學(xué)生的思維，問題本身就必須具有適切性，而不是簡單地在陳述句后面加一個問題，也不是教師基于自身的想象去隨意提出問題. 所謂問題的適切性，是指適合學(xué)生的認(rèn)知需要，在學(xué)生建構(gòu)知識的過程中有所疑惑卻未經(jīng)數(shù)學(xué)加工的背景下提出問題，這樣的問題才具有引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的作用，也只有在這樣的情形下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才有可能真正被激活.

例如，在“函數(shù)”的教學(xué)中，要判斷兩個函數(shù)是否相等，教師可以進(jìn)行這樣的設(shè)計：首先，跟學(xué)生一起回憶確定函數(shù)的兩個基本要素——定義域和對應(yīng)法則（這兩者可以讓學(xué)生自主說出，最好是舉例說明）；然后，跟學(xué)生一起討論：如果兩個函數(shù)相等，那需要滿足什么樣的條件？

這是一個具有初步引領(lǐng)作用的問題，這個問題建立在對函數(shù)相等的兩個條件的回憶基礎(chǔ)之上，因而學(xué)生可以迅速反應(yīng)出只有定義域和對應(yīng)法則都相同時，兩個函數(shù)才是相等的，即是同一個函數(shù). 但只滿足于這樣的教學(xué)顯然是不夠的，因為只有這樣的問答，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實際上是沒有發(fā)生的. 因而還需要第三個教學(xué)步驟，那就是引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)相等的相關(guān)知識進(jìn)行剖析，如提出這樣的幾個問題：兩個函數(shù)的定義域不同，那這兩個函數(shù)一定不相等嗎？兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不同，這兩個函數(shù)一定不相等嗎？（這兩個問題需要學(xué)生能夠舉例佐證）其后繼續(xù)提出問題：如果定義域和值域都相同，那這兩個函數(shù)是否一定相等呢？這才是基于前面問題鏈的基礎(chǔ)上提出的最重要的一個問題，因為這個問題具有一定的“迷惑性”，因為定義域和值域相等，通常容易讓學(xué)生認(rèn)為兩個函數(shù)是相等的，這個時候要學(xué)生舉反例，在初學(xué)之時學(xué)生是有一定困難的.

此時教師怎么辦？“引領(lǐng)”一詞可以給我們以啟發(fā)，既然是要引領(lǐng)，那就要讓問題發(fā)揮引領(lǐng)性的作用. 筆者在教學(xué)中是跟學(xué)生一起分析的：既然在確定函數(shù)相等的時候，是用定義域和對應(yīng)法則來界定的，那理論上只有定義域與值域相同，就不能說函數(shù)是相等的，那如何反證呢？（這實際上也是一個具有引領(lǐng)作用的問題，可以讓學(xué)生的思維進(jìn)一步深入），在師生共同分析的基礎(chǔ)上，共同決定尋找反例，而當(dāng)類似于y=3x+5與y=6x-8的兩個函數(shù)同時呈現(xiàn)時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原來它們的定義域與值域都是R，但它們的對應(yīng)法則并不相同，因此這兩個函數(shù)顯然不是同一個函數(shù). 實際教學(xué)中，此環(huán)節(jié)中的學(xué)生思維常常會有一種變換：原本以為要尋找兩個復(fù)雜的函數(shù)，哪里知道兩個簡單函數(shù)就成了反例，于是學(xué)生也認(rèn)識到了自己思維的盲點：判斷兩個函數(shù)相等與否，其實關(guān)鍵還是要看對應(yīng)法則，而定義域則是對應(yīng)法則基礎(chǔ)上的必要條件.

由此也可以發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生思維的激活，問題可以發(fā)揮不可替代的作用，只有問題能夠打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，只有問題能夠讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的思維盲點，而教師只要讓問題在提出的同時引領(lǐng)學(xué)生的思維，那數(shù)學(xué)思維的激活就是輕而易舉的事情.

通過自主建構(gòu)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知體系完善

自主建構(gòu)也有兩個關(guān)鍵詞：一是自主；二是建構(gòu).這里其實蘊含著兩個重要的理念：自主學(xué)習(xí)是課程改革中的最重要的關(guān)鍵詞之一，其強(qiáng)調(diào)學(xué)生在非他主的情形下進(jìn)行學(xué)習(xí)，而其價值在于學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)自身學(xué)習(xí)不足的情況下，通過自身的努力來彌補(bǔ)不足；建構(gòu)強(qiáng)調(diào)的則是認(rèn)知體系的建立，每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)最終都應(yīng)形成相應(yīng)學(xué)科的認(rèn)知體系，而高中數(shù)學(xué)又是最需要認(rèn)知體系來支撐的. 經(jīng)驗表明，只有認(rèn)知體系完善的學(xué)生，才能在問題解決中準(zhǔn)確地判斷出問題解決的思路，準(zhǔn)確地尋找到問題解決所需要的數(shù)學(xué)工具.

在自主建構(gòu)的教學(xué)要求中，有一個默認(rèn)的前提，那就是只有學(xué)生自主建構(gòu)出來的認(rèn)知體系，才能真正納入學(xué)生原有的體系當(dāng)中. 任何外界灌輸?shù)挠芍R框圖表征的所謂體系，如果不能為學(xué)生所內(nèi)化，是不能真正成為學(xué)生認(rèn)知體系的一部分的.

例如，“函數(shù)”這一概念建構(gòu)的過程中，需要解決函數(shù)的判斷、函數(shù)相等的判斷、求一般函數(shù)的定義域、求函數(shù)值、求函數(shù)的值域、作函數(shù)的圖像、應(yīng)用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小等若干個問題.這些問題如果能夠有效融合，那就可以形成學(xué)生的認(rèn)知體系. 在實際教學(xué)中，教師常常采取的措施是這里列出的每一點通過一兩個例題來訓(xùn)練學(xué)生，以讓學(xué)生形成認(rèn)識. 這樣的教學(xué)思路中，學(xué)生是被動的，是談不上自主的，因此教學(xué)效果并不理想——最直接的表征，就是學(xué)生的認(rèn)知體系難以建立.

筆者在教學(xué)中嘗試了另一種教學(xué)方式，將每一個相應(yīng)的知識點所準(zhǔn)備的習(xí)題打亂了，按照從易到難的順序編制成一張學(xué)習(xí)單，先讓學(xué)生就著這張學(xué)習(xí)單去解決問題（習(xí)題），在問題解決的過程中，首先強(qiáng)調(diào)自主思考并解答，如果有困難則可以在小組內(nèi)討論交流.等到所有問題都解決（這一過程與常規(guī)教學(xué)無異，不贅述）之后，筆者再提出一個問題：梳理這些問題并進(jìn)行分類，你有什么發(fā)現(xiàn)？

既然要分類，就要尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，而在學(xué)生比較這些習(xí)題過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)有的是判斷是不是函數(shù)的，有的是判斷函數(shù)是否相等的，有的是求定義域和值域的，有的則是求函數(shù)值的，還有的則是利用函數(shù)圖像解決問題的. 有了這些分類標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果也就自然而然地呈現(xiàn)了，于是原本雜亂無章的習(xí)題，在分類標(biāo)準(zhǔn)中紛紛“歸位”，而此過程由于完全屬于學(xué)生的自主探索，從而也就建構(gòu)起了關(guān)于函數(shù)的一個認(rèn)知體系. 這個體系形成之后，可以讓學(xué)生在類似的情境中，更順利地解決問題.

讓問題引領(lǐng)和自主建構(gòu)作用相輔相成

在實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，問題引領(lǐng)與自主建構(gòu)實際上是相輔相成的，問題引領(lǐng)的過程中常常有著學(xué)生自主建構(gòu)的過程，而學(xué)生自主建構(gòu)的過程也離不開問題的驅(qū)動. 日常的教學(xué)中，看到的更多的往往是偏重于一端的情形，而如果讓兩者相輔相成的作用真正發(fā)揮，那就可以更有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).這一點，在稍微復(fù)雜點的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，體現(xiàn)得尤其明顯.

例如，在“復(fù)合函數(shù)的定義域問題”學(xué)習(xí)中，常常有學(xué)生因為函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，在復(fù)合函數(shù)向一般函數(shù)轉(zhuǎn)換的過程中容易出現(xiàn)錯亂，而對此部分的知識感覺不佳. 事實上，如果例題提供恰當(dāng)，問題引領(lǐng)恰當(dāng)，那學(xué)生建立起這部分知識的理解，并將其納入原有的知識體系當(dāng)中，也不是一件非常困難的事情. 對此，筆者的設(shè)計是這樣的：首先提供若干個例題，如：已知f（x）的定義域為[0，2]，求y=f（x+1）的定義域；已知y=f（x+1）的定義域為[0，2]，求f（x）的定義域；已知y=f（2x-1）的定義域為[-1，1]，求y=f（x-2）的定義域.

這三個問題互有關(guān)系，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的深化與拓展. 在實際教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生從f（x）的自變量x滿足的關(guān)系，去判斷變化后的函數(shù)的自變量滿足的關(guān)系，并利用不等式完成求解. 這些過程一定要交給學(xué)生完成，以確保是“自主”的（即使學(xué)生有困難，都也只能點撥，不能代勞）. 而在問題得到解決之后，還需要讓學(xué)生認(rèn)識三個問題的聯(lián)系，并思考教師為什么提出這樣的三個問題. 而這一問題如果得到了解決，就意味著學(xué)生能夠從命題意圖角度認(rèn)識如何求復(fù)合函數(shù)的定義域，這種認(rèn)識往往有助于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有高屋建瓴的認(rèn)知要素.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中堅持問題引領(lǐng)與自主建構(gòu)，可以有效激活學(xué)生思維、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而促成教學(xué)效益的最大化.