鄭長喜

[摘 要] 隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來，社會(huì)日益信息化，學(xué)校的教育理念、教學(xué)模式、教學(xué)體系都發(fā)生了巨大變化，互聯(lián)網(wǎng)與教育正在實(shí)現(xiàn)深度融合. MOOC狂潮從2012年開始席卷全球并快速發(fā)展，到今天已經(jīng)進(jìn)入了“后MOOC”時(shí)代，給教育帶來了更多深遠(yuǎn)而有意義的影響，突出表現(xiàn)在SPOC的創(chuàng)建. SPOC是對MOOC的繼承、不斷完善和超越，SPOC將優(yōu)質(zhì)的MOOC資源與傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢融合，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)流程的重構(gòu)和創(chuàng)新. 翻轉(zhuǎn)課堂實(shí)行“課前信息傳遞”與“課中信息內(nèi)化”的逆序創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)，為師生間的互動(dòng)交流提供機(jī)會(huì)，已經(jīng)成為新型教學(xué)模式的熱點(diǎn). SPOC與翻轉(zhuǎn)課堂結(jié)合的教學(xué)形式重構(gòu)了學(xué)習(xí)環(huán)境，形成新的混合式教學(xué)模式，是適應(yīng)信息化時(shí)代需要的教育發(fā)展的必然結(jié)構(gòu)與趨勢.

[關(guān)鍵詞] SPOC；高中數(shù)學(xué)；翻轉(zhuǎn)課堂；教學(xué)設(shè)計(jì)

課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)

這個(gè)單元屬于新課標(biāo)人教A版選修2-2第三章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”. 本文以第一小節(jié)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.復(fù)數(shù)與向量、三角函數(shù)、平面解析幾何等都有著密切聯(lián)系，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).本章內(nèi)容分為兩大節(jié)：3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算. 教材通過設(shè)置問題情境：“方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集中無解，對于這個(gè)無法解決的問題，怎樣設(shè)想方法，使其變得可以解決？”引出數(shù)系擴(kuò)充的必要性，進(jìn)而引入虛數(shù)、復(fù)數(shù)的概念.教材在本節(jié)內(nèi)容設(shè)置了“思考”探究，讓學(xué)生通過具體實(shí)例、借助類比思想來經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和思想素質(zhì)，有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和欲望，體現(xiàn)了《課標(biāo)》以學(xué)生為主體的教育理念.

本節(jié)課設(shè)計(jì)了復(fù)數(shù)史小故事、類比舊知識(shí)的新知識(shí)生長具體實(shí)例，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程中開展研究性學(xué)習(xí). 通過問題情境，引導(dǎo)學(xué)生逐步感受由特殊到一般的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，同時(shí)，留給學(xué)生足夠的時(shí)間，使其經(jīng)歷一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過程. 本節(jié)課主要內(nèi)容有：探究并理解復(fù)數(shù)及其有關(guān)概念，應(yīng)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解決相關(guān)問題.應(yīng)用復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)在于理解，因此，本節(jié)課的教學(xué)著力點(diǎn)在于復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的探究與歷史重現(xiàn)過程. 從方程x2+1=0的求解這個(gè)具體實(shí)例出發(fā)，通過問題設(shè)置，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)擴(kuò)充實(shí)數(shù)系的欲望，進(jìn)而利用對從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集擴(kuò)充的回顧來設(shè)想實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充方向，再要求學(xué)生自主探究是否需要引入新數(shù)及新數(shù)i所滿足的條件. 這符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，凸顯了教學(xué)的過程性要求.然后，引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念用于解決的問題.

結(jié)合第一課時(shí)需要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)，筆者對學(xué)習(xí)主體——東方市八所中學(xué)高二（5）班學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情分析. 本班共有50人，全部為走讀生，有的學(xué)生家在市區(qū)，距離學(xué)校不遠(yuǎn)；有的學(xué)生家在東方市的下屬農(nóng)村，距離學(xué)校較遠(yuǎn)，但是在學(xué)校附近租住了房屋，并由家長陪讀.本班的數(shù)學(xué)整體基礎(chǔ)處于中等水平，但學(xué)風(fēng)良好，能夠按時(shí)完成老師布置的學(xué)習(xí)任務(wù). 從學(xué)習(xí)需要方面來看，通過與學(xué)生的深度交流，大多數(shù)學(xué)生期待數(shù)學(xué)課的氣氛能夠更加活躍，能夠多傳授一些學(xué)習(xí)方法，希望增加課堂活動(dòng).另外，本教學(xué)設(shè)計(jì)在學(xué)情分析方面，還采用了課前測驗(yàn)方法. 結(jié)合先學(xué)后教的翻轉(zhuǎn)課堂理念，以下為“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”第一課時(shí)課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)中學(xué)生必須完成的學(xué)習(xí)任務(wù)：

第一步，熟識(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo). 探究并理解復(fù)數(shù)及其有關(guān)概念，應(yīng)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解決相關(guān)問題. 在傳統(tǒng)面授課堂中，教學(xué)目標(biāo)通常只顯露于教師的教案中，基于SPOC翻轉(zhuǎn)課堂的理念，本教學(xué)設(shè)計(jì)通過直觀形式將學(xué)習(xí)目標(biāo)呈現(xiàn)給了學(xué)生，旨在利于學(xué)生有針對性地開展學(xué)習(xí)，便于學(xué)生辨別重點(diǎn)，但是在教學(xué)實(shí)施過程中，要注意教學(xué)目標(biāo)與各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的融匯，要做到潛移默化地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.

第二步，回顧在初中所學(xué)的有理數(shù)的產(chǎn)生和擴(kuò)充過程，查閱復(fù)數(shù)概念的起源與發(fā)展歷程，在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”. 思考問題：數(shù)集擴(kuò)充之后，有新數(shù)引進(jìn)嗎？在運(yùn)算規(guī)則方面，有什么特征？

此步驟的設(shè)計(jì)依據(jù)奧蘇伯爾有意義學(xué)習(xí)的理論，有理數(shù)的產(chǎn)生和擴(kuò)充過程屬于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，和復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展具有相通性.當(dāng)新知識(shí)連接到原有知識(shí)的生長點(diǎn)時(shí)，有意義學(xué)習(xí)就開始了.

第三步，觀看SPOC平臺(tái)中的微課.微課是圍繞某一考點(diǎn)、重難點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)或某一學(xué)習(xí)活動(dòng)等教學(xué)環(huán)節(jié)制作的在線教學(xué)視頻.已由授課教師制作并上傳至SPOC平臺(tái)，供學(xué)生觀看及下載. 微課的主要特點(diǎn)是主題凝練、時(shí)間簡短（一般為10分鐘左右）. 微課是翻轉(zhuǎn)課堂的課前知識(shí)傳遞的重要載體，也是SPOC個(gè)性化學(xué)習(xí)的重要渠道.

“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”的第一課時(shí)的微課（一），主題是“復(fù)數(shù)的概念”，教師講授時(shí)長10分鐘，微課腳本內(nèi)容主要如下：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

1. 在歷史上，虛數(shù)是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？時(shí)間為2分鐘. 首先，教師設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)史小故事，然后帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程.筆者設(shè)計(jì)的復(fù)數(shù)史與小故事如下：

難以理解的和令人厭惡的復(fù)數(shù)

將負(fù)數(shù)開平方，是解一元二次方程時(shí)不可避免的問題，這就涉及了復(fù)數(shù)概念. 復(fù)數(shù)到底是什么？高中學(xué)生普遍感到很難理解，其實(shí)在復(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的漫長旅程中，各大數(shù)學(xué)家也有同樣感受.復(fù)數(shù)概念從產(chǎn)生到完備，從被人們拒絕接受到普遍理解并繼而作為一種有效工具，經(jīng)歷了一個(gè)漫長的歷史過程，不同時(shí)期、不同民族的數(shù)學(xué)家們都為此做出了貢獻(xiàn).

歷史上使用負(fù)數(shù)平方根的第一人是意大利數(shù)學(xué)家卡丹，體現(xiàn)在16世紀(jì)卡丹的著作《大術(shù)》中. 書中有一個(gè)著名問題：把10分為兩部分，使這兩部分的乘積為40. 卡丹寫到：顯然，這個(gè)問題是不可能被解決的. 但是，我們能夠通過如下方式求解. 把10等分，得到5，乘積為25. 減去40，得到m：15. 從5中加上和減去此數(shù)的平方根，即可得到乘積是40的兩部分，即5p：Rm：15和5m：Rm：15.

在卡丹之前，數(shù)學(xué)家們更不理解和接受負(fù)數(shù)的平方根. 例如公元9世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家摩訶毗羅，公元12世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅，他們?nèi)J(rèn)為負(fù)數(shù)根本沒有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)就不是平方數(shù).再往前看，在公元3世紀(jì)時(shí)，就有數(shù)學(xué)家遇到了此問題. 他是古希臘的數(shù)學(xué)家丟番圖，丟番圖遇到了一個(gè)一元二次方程336x2+24=172x. 這個(gè)方程面臨負(fù)數(shù)開平方問題，因?yàn)樗呐袆e式Δ<0. 丟番圖是現(xiàn)有史料證實(shí)的最早遇到負(fù)數(shù)平方根問題的人.

在卡丹之后，有一些數(shù)學(xué)家開始了這類問題的研究. 荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾提出：人們必須承認(rèn)復(fù)數(shù)根，并且要深化研究，進(jìn)而建立復(fù)數(shù)理論. 之后還有其他數(shù)學(xué)家也做出了貢獻(xiàn). 值得一提的是挪威的魏塞爾、瑞士的阿甘德和德國的高斯. 魏塞爾是挪威的土地測量員，他是給出我們今天所使用的復(fù)數(shù)的圖形表示法的第一人. 阿甘德是瑞士的簿記員，因?yàn)槲喝麪柕膱D示表示法是寫在用丹麥文所寫的論文中，由于丹麥文導(dǎo)致讀者少，所以人們經(jīng)常把這種幾何表示法錯(cuò)誤地叫作阿甘德圖示法. 德國著名數(shù)學(xué)家高斯把復(fù)數(shù)a+bi表示成復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b），而且得出在幾何方面的和與積. 盡管如此，高斯也并未完全理解和接受復(fù)數(shù)，他說：復(fù)數(shù)只是被人們所容忍而已，盡管它有著重大價(jià)值.

最后，將復(fù)數(shù)建設(shè)成為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論這個(gè)任務(wù)是由英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓完成的. 在1837年哈密爾頓發(fā)表論文，并指出復(fù)數(shù)a+bi并不是和2+3一樣意義的和，bi并不能被加到a上，加號(hào)的使用純粹是歷史的一個(gè)偶然，復(fù)數(shù)a+bi實(shí)質(zhì)上是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對（a，b）. 哈密爾頓又進(jìn)一步證明了這種新的二元數(shù)系的封閉性，而且給出了和我們現(xiàn)在一致的復(fù)數(shù)的運(yùn)算，證明了交換律、結(jié)合律和分配律，哈密爾頓還指出，這樣新的數(shù)系包含所有的實(shí)數(shù)，因?yàn)閷?shí)數(shù)a和二元數(shù)（a，0）相對應(yīng).

課后反思環(huán)節(jié)

課后，教師需要反思，而且教師更要培養(yǎng)學(xué)生的自我反思意識(shí)和習(xí)慣.在SPOC翻轉(zhuǎn)課堂課后，教師需要培養(yǎng)學(xué)生反思如下內(nèi)容：1. 我仔細(xì)觀看微課（一）和微課（二）了嗎？2. 對于小測試（一）和小測試（二），我是否是認(rèn)真思考之后得出答案？有猜測過答案嗎？3. 關(guān)于錯(cuò)題，我已經(jīng)弄清楚錯(cuò)在哪里了嗎？4. 在課堂上我跟上同學(xué)和老師的節(jié)奏了嗎？是否走神？5. 我是否認(rèn)真思考老師課上提出的問題？是否參與小組討論？在課堂發(fā)言了嗎？6. 關(guān)于老師提示的下節(jié)內(nèi)容，我記清楚了嗎？這一環(huán)節(jié)旨在敦促學(xué)生及時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)效果，回顧學(xué)習(xí)過程，形成對于下一節(jié)課的初步計(jì)劃. 在SPOC環(huán)境翻轉(zhuǎn)課堂課后，教師指導(dǎo)學(xué)生反思之后，還要為學(xué)生創(chuàng)建拓展學(xué)習(xí)的空間. 教師反思要著眼于教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)是否理想，是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題還是教師向?qū)W生拋擲問題，SPOC的翻轉(zhuǎn)課堂要提倡促使學(xué)生自己提出問題.