張?zhí)煸?/p>

摘要：本文在介紹Geogebra軟件的基礎(chǔ)上，展示了立體幾何教學(xué)中利用Geogebra對(duì)多面體進(jìn)行構(gòu)造、多角度視圖以及動(dòng)態(tài)展開(kāi)的過(guò)程，并通過(guò)對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的解決進(jìn)一步闡明了Geogebra與立體幾何的融合應(yīng)用對(duì)教學(xué)的重要性。

關(guān)鍵詞：Geogebra；動(dòng)點(diǎn)軌跡

中圖分類(lèi)號(hào)：G40-057 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 論文編號(hào)：1674-2117（2018）02-0065-03

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！盵1]所以數(shù)與形有著十分密切的聯(lián)系。立體幾何從點(diǎn)、線、面等一維圖形逐漸過(guò)渡到平面、向量等二維圖形，最后深入到圓錐、圓柱等三維圖形，它對(duì)學(xué)生空間構(gòu)造能力的要求將數(shù)形結(jié)合推向了極致。Geogebra是一款集幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)功能為一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[2]，能為學(xué)習(xí)者模擬構(gòu)建“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，讓他們體會(huì)看得見(jiàn)的數(shù)學(xué)，引導(dǎo)他們探究發(fā)現(xiàn)，加深對(duì)抽象知識(shí)點(diǎn)的理解，從而提高獨(dú)立思考能力以及學(xué)習(xí)自主性。

立體圖形的構(gòu)造

Geogebra6.0版本新增了3D繪圖區(qū)。在“視圖”菜單下選中“3D繪圖區(qū)”，軟件上方工具欄則呈現(xiàn)立體圖形的構(gòu)建工具，學(xué)生可以在“3D繪圖區(qū)”創(chuàng)建幾何圖形，在“代數(shù)區(qū)”顯示其代數(shù)表達(dá)式，在“繪圖區(qū)”顯示其頂視圖。下面以構(gòu)建正四面體為例加以說(shuō)明。

1.打開(kāi)Geogebra6.0選擇工具欄中的“正四面體”工具（如圖1）。

2.在三維坐標(biāo)軸上選定原點(diǎn)（0，0，0）和點(diǎn)（0，5，0），即可完成正四面體a的構(gòu)建，同時(shí)代數(shù)區(qū)也會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的點(diǎn)、線、面的相關(guān)信息。代數(shù)區(qū)可以通過(guò)點(diǎn)選“fx”工具確定圖形信息，并以“定義”“數(shù)值”“定義與數(shù)值”“描述”等方式進(jìn)行顯示，為教學(xué)過(guò)程的解釋提供了多種表達(dá)形式。使用指令也可以完成同樣操作，即在指令欄中輸入正四面體[（0，0，0），（0，5，0）]，按回車(chē)鍵即可，需要注意的是，指令的輸入必須是英文狀態(tài)下的符號(hào)。

3.在代數(shù)區(qū)中右擊正四面體的各面，如faceABD，可以在彈出的菜單“設(shè)置”項(xiàng)中對(duì)該面的常規(guī)、顏色、樣式及動(dòng)態(tài)顏色等進(jìn)行設(shè)置，以便學(xué)生區(qū)分與觀察，用上述方法還可以構(gòu)建正六面體、棱錐、球體等幾何體。

立體圖形特征的動(dòng)態(tài)展示

Geogebra軟件可以快捷地對(duì)立體幾何圖形進(jìn)行拖拽、旋轉(zhuǎn)以及展開(kāi)，以便向?qū)W生動(dòng)態(tài)地展示幾何圖形的三視圖與形成過(guò)程。以六面體為例，學(xué)生可以對(duì)構(gòu)建的正六面體進(jìn)行拖拽旋轉(zhuǎn)、放大縮小，從不同的視角去觀察它，并對(duì)其進(jìn)行展開(kāi)，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的立體幾何的構(gòu)建。

1.隱藏坐標(biāo)軸構(gòu)建正六面體（A，B，C）后，點(diǎn)擊3D繪圖區(qū)樣式欄左側(cè)第一項(xiàng)“顯示/隱藏坐標(biāo)軸”按鈕（如圖2），將坐標(biāo)軸隱藏，以便學(xué)生更好地對(duì)圖形進(jìn)行觀察。

2.六面體的旋轉(zhuǎn)、放大/縮小。學(xué)生可以通過(guò)鼠標(biāo)來(lái)拖拽旋轉(zhuǎn)正六面體（A，B，C），也可以通過(guò)選擇工具欄里“啟動(dòng)/停止旋轉(zhuǎn)視圖”按鈕來(lái)完成對(duì)正六面體的旋轉(zhuǎn)，同時(shí)通過(guò)設(shè)置按鈕下方的滑動(dòng)條數(shù)值來(lái)控制旋轉(zhuǎn)方向與速度，通過(guò)選擇工具欄里的“放大”按鈕、“還原”按鈕或者使用鼠標(biāo)滾輪來(lái)改變正六面體的大小。

3.六面體的展開(kāi)。選擇“繪圖區(qū)”工具欄里的“滑動(dòng)條”工具，在繪圖區(qū)空白區(qū)域單擊，彈出滑動(dòng)條對(duì)話框，由于多面體展開(kāi)程度值的范圍是從0到1，所以滑動(dòng)條的最小值設(shè)為0，最大值設(shè)為1，增量默認(rèn)為0.1。在指令欄中輸入展開(kāi)圖[正六面體（A，B，C），c]，通過(guò)控制滑動(dòng)條c，即可改變正六面體（A，B，C）的展開(kāi)程度，反復(fù)完美地動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)正六面體的展開(kāi)過(guò)程（如圖3）。

輔助概念教學(xué)的理解

Geogebra軟件可以動(dòng)態(tài)、完整地呈現(xiàn)問(wèn)題條件的構(gòu)造過(guò)程以及對(duì)動(dòng)點(diǎn)的跟蹤過(guò)程，讓學(xué)生從多角度觀察，便于理解。

例如，球面a上的兩點(diǎn)C、F從同一個(gè)點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度分別沿圓BFH、圓BCH運(yùn)動(dòng)一周，其中平面BFH垂直于平面BCH，且這兩個(gè)平面的交線為a的直徑BH，用Geogebra軟件做出線段CF中點(diǎn)G的軌跡。

1.條件構(gòu)建。選擇工具欄里的球面工具，構(gòu)造一個(gè)半徑為4的球面a；然后在工具欄點(diǎn)擊“描點(diǎn)”工具，在球面y軸上新建點(diǎn)B，選擇“圓”工具，先后單擊x軸線和點(diǎn)B新建“圓c”（即平面BCH），接著先后單擊z軸線與點(diǎn)B新建“圓d”（即平面BFH），將兩圓另一交點(diǎn)命名為H。

2.求解過(guò)程。在圓d上隨意取一點(diǎn)C，選擇角度工具，做出∠BAC=α；利用“垂線”工具，做出垂直于平面BFH的直線h，選取“旋轉(zhuǎn)”工具，將B點(diǎn)繞直線h旋轉(zhuǎn)α得到點(diǎn)F。利用“線段”工具連接線段CF，并使用“中心/中點(diǎn)”工具，做出其中點(diǎn)G。選中點(diǎn)G，單擊右鍵選擇跟蹤，就可以通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)C跟蹤點(diǎn)G的軌跡，并觀察到點(diǎn)G的軌跡是一個(gè)橢圓（如第66頁(yè)圖4）。

總之，數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，是現(xiàn)實(shí)世界的客觀反映。充分利用Geogebra能夠使原本抽象的內(nèi)容具體化、形象化，幫助學(xué)生理解復(fù)雜概念，形成直觀印象，并全身心投入到探究活動(dòng)中，真正成為學(xué)習(xí)的主人。endprint