湯春燕

[摘 要]錯(cuò)例是在學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生的，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)里普遍存在。研究錯(cuò)例，對(duì)教學(xué)改進(jìn)具有重要的實(shí)踐價(jià)值。在分析錯(cuò)例的研究?jī)r(jià)值和錯(cuò)例研究的現(xiàn)實(shí)意義的基礎(chǔ)上，提出錯(cuò)例研究對(duì)教學(xué)的四個(gè)改進(jìn)策略，從而幫助教師讀懂學(xué)生的學(xué)，促動(dòng)教師反思自己的教。

[關(guān)鍵詞]錯(cuò)例；錯(cuò)例研究；教學(xué)改進(jìn)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）35-0001-03

長(zhǎng)期以來(lái)，廣大數(shù)學(xué)教師一直用自己的方式在研究數(shù)學(xué)、研究學(xué)生，努力去追尋更為有效的教學(xué)策略。錯(cuò)例研究，便是教學(xué)改進(jìn)中最貼近一線教師、最接近課堂、最必要和最具實(shí)踐價(jià)值的數(shù)學(xué)教育研究方式。

學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的樣式或例子，我們稱之為錯(cuò)例，出現(xiàn)錯(cuò)誤的這個(gè)題就是易錯(cuò)題。同一個(gè)易錯(cuò)題可能會(huì)因各種原因而出現(xiàn)多種錯(cuò)例，對(duì)于出現(xiàn)錯(cuò)誤頻率高，具有一定普遍性和代表性的錯(cuò)例，則稱為典型錯(cuò)例（本文中所指的錯(cuò)例研究，就是典型錯(cuò)例研究）。錯(cuò)例研究，就是立足易錯(cuò)題，以典型錯(cuò)例為研究對(duì)象，加以全面剖析、歸因，并提出或指導(dǎo)性的，或矯正性的，或預(yù)防性的教學(xué)建議的研究。教師每天都可以開(kāi)展錯(cuò)例研究，因?yàn)槊抗?jié)課上，每次練習(xí)中，每個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)里，學(xué)生都會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，這樣的研究對(duì)師生而言，無(wú)疑是最本原、最直接，也是最有效的。

一、錯(cuò)例研究對(duì)教學(xué)改進(jìn)的價(jià)值性存在

聯(lián)合國(guó)教科文組織第十九次國(guó)民教育國(guó)際會(huì)議資料中指出：“應(yīng)當(dāng)研究學(xué)生所犯錯(cuò)誤，并把錯(cuò)誤看成是認(rèn)識(shí)過(guò)程和認(rèn)識(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維規(guī)律的手段?！痹谌绱烁叨说慕逃龂?guó)際會(huì)議中提到了學(xué)生的錯(cuò)誤，錯(cuò)例研究的價(jià)值可見(jiàn)一斑。錯(cuò)例既能反映學(xué)生的思維過(guò)程，又能反照出教師的教學(xué)問(wèn)題。典型錯(cuò)例是多位學(xué)生出現(xiàn)同種錯(cuò)法，因具有普遍性所以更具有研究的價(jià)值。

1.典型錯(cuò)例反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)

學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)往往就是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，典型錯(cuò)例反映出的就是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題“一本書(shū)有100頁(yè)，已經(jīng)看了這本書(shū)的[34]，看了多少頁(yè)？”學(xué)生給出的算式“100÷[34]”就屬于典型錯(cuò)例。在訪談學(xué)生的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較難，是因?yàn)閷W(xué)生受到正整數(shù)乘法的負(fù)面影響，認(rèn)為“乘法一定是越乘越大，除法一定是越除越小”，這一認(rèn)知誤區(qū)影響了他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的正確理解。因此，對(duì)于這道分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，學(xué)生堅(jiān)定地認(rèn)為“書(shū)還沒(méi)有看完，說(shuō)明看的頁(yè)數(shù)肯定比100要小，所以用除法”。這個(gè)學(xué)生在初學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教師就能從典型錯(cuò)例中有所了解。

2.典型錯(cuò)例折射出學(xué)生的認(rèn)知偏差

學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間產(chǎn)生矛盾是正常的，從眾多的典型錯(cuò)例中可見(jiàn)一斑。如，對(duì)于題目“在2.46和2.47之間有（ ）個(gè)數(shù)”，很多學(xué)生填“10”。在對(duì)學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)小數(shù)稠密性的理解不充分。小數(shù)的概念起源于測(cè)量和分?jǐn)?shù)的部分與全體關(guān)系，有限小數(shù)是由“十等分”分割產(chǎn)生的，而十等分活動(dòng)可以無(wú)限制地繼續(xù)下去，所以任意兩個(gè)小數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)小數(shù)存在，也就是說(shuō)，小數(shù)具有稠密性。學(xué)生之所以填“10”，主要原因并不是他們沒(méi)有記住定義，而是他們的建構(gòu)活動(dòng)發(fā)生了偏差，也就是他們對(duì)小數(shù)稠密性的認(rèn)知出現(xiàn)了偏差。

3.典型錯(cuò)例映照出教師的教學(xué)缺失

錯(cuò)誤不但能反映出學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和行為習(xí)慣，而且能映照出教師在教學(xué)理念和教學(xué)行為上的不足。如，簡(jiǎn)便計(jì)算的學(xué)習(xí)中，對(duì)于利用減法運(yùn)算性質(zhì)“a-b-c=a-（b+c）”計(jì)算的變式題目“1603-（603-75）”，很多學(xué)生這樣做：1603-（603-75）=1603-603-75。學(xué)生會(huì)這樣做，更多地還是受減法運(yùn)算性質(zhì)“a-b-c=a-（b+c）”的影響。出現(xiàn)這樣的錯(cuò)例，教師應(yīng)該反思是不是教學(xué)時(shí)只關(guān)注了基本形式，而忽視了該性質(zhì)的變式練習(xí)，以至于沒(méi)有足夠重視連減的簡(jiǎn)便計(jì)算的變式，才造成了學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤。如果能出示變式題，并利用問(wèn)題情境進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生必然能夠更好地掌握相關(guān)知識(shí)。

教師只有研究錯(cuò)例，讀懂錯(cuò)誤，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，把握學(xué)生的認(rèn)知缺陷，才能明白自己在教學(xué)過(guò)程中的種種缺失，從而對(duì)教學(xué)做出相應(yīng)的思考和改進(jìn)。這正是錯(cuò)例研究對(duì)教學(xué)改進(jìn)的真正價(jià)值。

二、錯(cuò)例研究對(duì)教學(xué)改進(jìn)的現(xiàn)實(shí)性思考

錯(cuò)例折射出了教與學(xué)的問(wèn)題，也就為教學(xué)改進(jìn)提供了事實(shí)依據(jù)。而從哪里改進(jìn)，改進(jìn)什么，如何改進(jìn)，也就有了其客觀的現(xiàn)實(shí)意義。英國(guó)心理學(xué)家貝恩布里奇說(shuō)：“錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的?！敝挥姓J(rèn)識(shí)到錯(cuò)例的價(jià)值，才能更好地對(duì)其進(jìn)行研究，而研究是為了改進(jìn)，以改進(jìn)教學(xué)來(lái)最終實(shí)現(xiàn)更有效的教學(xué)。

1.有利于讀懂教材，把握教學(xué)難點(diǎn)

典型錯(cuò)例反映的正是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，即教學(xué)的難點(diǎn)。那么，怎樣來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)，從而化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？突破難點(diǎn)的前提是知道難點(diǎn)是什么，在哪里。這就給教師提出了“讀懂教材，正確把握教學(xué)難點(diǎn)”的要求。

對(duì)于題目 “把一根4米長(zhǎng)的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長(zhǎng)（ ）米。” ，五年級(jí)的學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。這是由于題目中的兩個(gè)問(wèn)題非常相似，又比較抽象，很多學(xué)生弄不清是求具體的數(shù)量，還是求部分與整體的關(guān)系。這恰恰就是“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義”的教學(xué)難點(diǎn)。要突破這難點(diǎn)，就要研究“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)在教材中的編排情況?！胺?jǐn)?shù)的意義”分別安排在三、四年級(jí)，分兩個(gè)階段來(lái)學(xué)習(xí)。對(duì)于教材的編排，教師會(huì)有兩點(diǎn)感受：一是感到分?jǐn)?shù)意義理解的輕重失衡。教材沒(méi)有安排獨(dú)立的課時(shí)來(lái)研究用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量，所以和學(xué)生在第一學(xué)段已建立起“部分和整體的一種關(guān)系”相比，分?jǐn)?shù)代表一種數(shù)的內(nèi)容過(guò)于單薄。二是不利于學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義時(shí)進(jìn)行正遷移。教材先讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)表示“部分和整體的一種關(guān)系”，再概括分?jǐn)?shù)的意義，然后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，最后認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)表示一種關(guān)系的另一種意義。這樣編排于無(wú)形中割裂了分?jǐn)?shù)的兩種意義，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不能發(fā)生正遷移，學(xué)生必然就會(huì)錯(cuò)誤理解所學(xué)的概念。通過(guò)對(duì)教材的反復(fù)研讀，筆者用“板塊系統(tǒng)教學(xué)”的思想對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)做了改進(jìn)，一是重組教學(xué)內(nèi)容，均衡分?jǐn)?shù)兩種意義的理解；二是指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，引出分?jǐn)?shù)的兩種意義；三是拓展題目類型，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的兩種意義。通過(guò)這三個(gè)策略幫助學(xué)生完整掌握分?jǐn)?shù)的兩種意義，并為今后小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)乘除法等計(jì)算教學(xué)和相關(guān)解決問(wèn)題的教學(xué)做好鋪墊。

典型錯(cuò)例能促動(dòng)教師反觀和審視教材，進(jìn)一步思考教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從這個(gè)意義上講，錯(cuò)例研究其實(shí)就是對(duì)教材內(nèi)容的再度理解與把握。

2.有益于摸清學(xué)情，做到對(duì)癥下藥

差錯(cuò)總是伴隨著教學(xué)產(chǎn)生，學(xué)生的許多錯(cuò)誤都是由于教師不了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)等而造成的。教師只要順“錯(cuò)例”這根藤摸到“錯(cuò)誤原因”這個(gè)瓜，就能摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，再依此開(kāi)展教學(xué)改進(jìn)。

對(duì)于題目“在一個(gè)長(zhǎng)7分米、寬5分米的長(zhǎng)方形紙上，要剪出邊長(zhǎng)是2分米的正方形，最多能剪出這樣的正方形多少個(gè)？（請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)示意圖）”，學(xué)生的典型錯(cuò)例是（7×5）÷（2×2）=8。在訪談中，學(xué)生的回答驚人相似：用“進(jìn)一法”來(lái)解決，而對(duì)于畫(huà)示意圖的提示不屑一顧，覺(jué)得這只是一個(gè)輔助方法而已。從中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思考點(diǎn)在以前曾經(jīng)用什么方法解決過(guò)類似的問(wèn)題，至于是否適用該題，是否符合生活實(shí)際，都不予考慮。

可見(jiàn)，學(xué)生只是在調(diào)用原有的解題經(jīng)驗(yàn)，而沒(méi)能具體問(wèn)題具體分析。這個(gè)錯(cuò)例至少給了教師兩點(diǎn)啟示：一是數(shù)學(xué)只有在應(yīng)用中才能體現(xiàn)價(jià)值，數(shù)學(xué)教學(xué)需要跟生活情境緊密結(jié)合；二是要有意識(shí)地滲透問(wèn)題解決的策略，畫(huà)示意圖是一種最常用、最便捷的解題策略。由此可知，只有走進(jìn)學(xué)生的心靈，了解他們的所思所想，摸清學(xué)情，教學(xué)方可做到對(duì)癥下藥。

3.有助于反思自我，推動(dòng)教師的教和學(xué)生的學(xué)

錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是多方面的，但最主要的還是集中在教師和學(xué)生兩個(gè)方面。面對(duì)學(xué)生的差錯(cuò)，就教師而言，要反思自己的教學(xué)行為；對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，要學(xué)會(huì)自我診治，在與錯(cuò)誤的對(duì)抗中獲得發(fā)展。

錯(cuò)例研究，能讓教師養(yǎng)成一種遇到問(wèn)題就去分析和思考的習(xí)慣，在日常教學(xué)中也必然會(huì)有意或無(wú)意地審視自己的教學(xué)行為，而后帶著“是否合理”的疑問(wèn)去展開(kāi)教學(xué)。教師教之前就會(huì)多一些深究，在深究中教材被再次研讀，教法被再次推敲，活動(dòng)被再次設(shè)計(jì)，學(xué)生被更多地推到教學(xué)“中央”。改進(jìn)后的教學(xué)在“再次”和“更多”中變得更加真實(shí)和有效。

錯(cuò)誤被認(rèn)為是可貴的教學(xué)資源，其可貴不僅在于教師可以“因錯(cuò)施教”，更在于學(xué)生可以在差錯(cuò)中學(xué)習(xí)。面對(duì)學(xué)生的差錯(cuò)，教師要適時(shí)引導(dǎo)，并提供給學(xué)生自我診治和修正的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在辨析和糾正錯(cuò)誤中改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。因此，教師的錯(cuò)例研究，對(duì)學(xué)生而言，是給了他們思維發(fā)展的空間，讓其經(jīng)歷一個(gè)自悟自得的創(chuàng)新過(guò)程。學(xué)生自己從錯(cuò)誤的認(rèn)知中走出，比教師直接告訴他們正確答案更能讓他們記憶深刻。這也印證了作家莫言所說(shuō)的：“人不怕犯錯(cuò)誤，犯了錯(cuò)誤，如果能帶著教育和反思爬起來(lái)，錯(cuò)誤就會(huì)成為課堂。”

三、錯(cuò)例研究對(duì)教學(xué)改進(jìn)的建議性策略

錯(cuò)例是有效診斷教與學(xué)的載體，錯(cuò)例研究最終是為了改進(jìn)教學(xué)。對(duì)于如何利用錯(cuò)例有效改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高課前預(yù)設(shè)、課堂預(yù)防、監(jiān)控、矯正及課后補(bǔ)救的效率，許多教師都在默默探索，積極實(shí)踐。紹興小學(xué)數(shù)學(xué)教師在長(zhǎng)達(dá)六年的錯(cuò)例研究中，依據(jù)易錯(cuò)題的知識(shí)屬性，提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。本文則從另外一個(gè)角度，提出利用錯(cuò)例改進(jìn)教學(xué)的策略。

1.“提前干預(yù)式”策略

“提前干預(yù)式”策略，即教師在課前已經(jīng)知道了本節(jié)課對(duì)應(yīng)的錯(cuò)例，根據(jù)錯(cuò)例預(yù)設(shè)相應(yīng)環(huán)節(jié)，提前刺激學(xué)生的“犯錯(cuò)”主動(dòng)性，讓學(xué)生在“錯(cuò)誤被干預(yù)”的情境中充分體驗(yàn)，構(gòu)建正確的知識(shí)系統(tǒng)。這里的“干預(yù)”，根據(jù)需要可以是“對(duì)教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)的主動(dòng)干預(yù)”，也可以是“對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的事前干預(yù)”。下面給出一個(gè)教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)中主動(dòng)干預(yù)的案例。

學(xué)習(xí)“用比例解決問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯所設(shè)的未知數(shù)與列的方程不一致的錯(cuò)誤。如，甲、乙兩地相距420千米，一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，2小時(shí)行駛了140千米。照這樣計(jì)算，到達(dá)乙地還要多少小時(shí)？

解：設(shè)到達(dá)乙地還要x小時(shí)。[420x]=[1402] ，x=6，6-2=4（小時(shí)）。

對(duì)于這樣的錯(cuò)例，教師可以在課上進(jìn)行“未教先知”的“干預(yù)”：出示上題，要求學(xué)生獨(dú)立解答；隨即巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生出現(xiàn)與上題雷同的錯(cuò)誤；接著，找兩位分別做對(duì)與做錯(cuò)的學(xué)生把解題方法寫(xiě)在黑板上，對(duì)比分析，弄清出錯(cuò)原因，并提出修改方案。

如果仍然“設(shè)到達(dá)乙地還要x小時(shí)”，怎么修改方程使之正確？如果計(jì)算過(guò)程仍然是“[420x]=[1402]，x=6 ，6-2=4（小時(shí)）”，怎么改也能使之正確？通過(guò)對(duì)“設(shè)法”與“方程”兩條途徑的修改，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到只有所設(shè)的未知數(shù)與方程必須一致，才能避免自相矛盾。這樣的教學(xué)自然能收到事半功倍的效果。

2.“內(nèi)容調(diào)整式”策略

“內(nèi)容調(diào)整式”策略，即改變教材原定的順序，將錯(cuò)例所生發(fā)的教學(xué)內(nèi)容提前，以此來(lái)了解學(xué)生的出錯(cuò)情況。

在運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，尤其是運(yùn)用乘法結(jié)合律和分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算，就有（80+4）×25=80+4×25、25×（4×8）=25×4+25×8等錯(cuò)例。這時(shí)，教師可以在運(yùn)用“提前干預(yù)式”策略的基礎(chǔ)上，對(duì)“乘法分配律”和“乘法交換律和結(jié)合律”兩個(gè)內(nèi)容的教學(xué)順序做調(diào)整。下表呈現(xiàn)的是四年級(jí)A、B兩個(gè)班的不同教學(xué)情況。

對(duì)A、B兩班的部分學(xué)生進(jìn)行訪談，訪談的話題是“你怎樣看待乘法結(jié)合律和分配律”。從訪談中發(fā)現(xiàn)，從乘法意義的角度去理解和建構(gòu)乘法分配律，學(xué)生就能掌握乘法簡(jiǎn)算中最核心的部分，以及A班學(xué)生對(duì)乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便的價(jià)值認(rèn)識(shí)相對(duì)B班學(xué)生更深刻。

當(dāng)然，運(yùn)用該策略時(shí)，要在透徹理解教學(xué)內(nèi)容，不違背學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

3.“專項(xiàng)訓(xùn)練式”策略

從本質(zhì)上看，很多錯(cuò)例是與學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念與意識(shí)、解決問(wèn)題策略等有關(guān)?！皩ｍ?xiàng)訓(xùn)練式”策略，就是從運(yùn)算能力、空間觀念、解決問(wèn)題能力等方面入手，設(shè)計(jì)專門的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而減少出錯(cuò)，幫助學(xué)生提升基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在“解決問(wèn)題”的錯(cuò)例中，學(xué)生“題意不理解”“方法不靈活”“數(shù)學(xué)模型模糊”等原因造成的錯(cuò)誤較多。因此，開(kāi)展解決問(wèn)題方面的“四常”專項(xiàng)指導(dǎo)就能收到良好的效果。