陸建

[摘 要] 兩角差的余弦公式有多種表征形式，從多元表征的視角實(shí)施兩角差余弦公式的教學(xué)，有助于學(xué)生從多角度深刻理解公式、把握公式，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文從多元表征的教學(xué)價(jià)值、表征形式的合理選擇、表征出現(xiàn)的順序設(shè)計(jì)、表征理解的持續(xù)深化等方面對(duì)兩角差余弦公式的教學(xué)提出了建議.

[關(guān)鍵詞] 表征；多元表征；理解；兩角差的余弦公式

表征作為認(rèn)知心理學(xué)的核心概念之一，是指在對(duì)象不呈現(xiàn)的情況下，替代這個(gè)對(duì)象的任何符號(hào)或符號(hào)集[1] . 在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，數(shù)學(xué)表征本質(zhì)上是指能夠反復(fù)替代某一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的任何符號(hào)或符號(hào)集. 數(shù)學(xué)表征可區(qū)分為內(nèi)在表征和外在表征，即以語(yǔ)言、文字、圖形、符號(hào)、具體物或?qū)嶋H情境等反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的外在形式和存在于個(gè)體頭腦里而無(wú)法直接觀察的心理活動(dòng)的表征[2] .

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)和教育心理學(xué)領(lǐng)域中對(duì)多元表征的定義：同一學(xué)習(xí)對(duì)象用敘述性表征和描繪性表征的多種形式表現(xiàn)出來(lái)，數(shù)學(xué)多元表征的定義基本上與認(rèn)知心理學(xué)、教育心理學(xué)中一致，是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象應(yīng)該具有的多種表征形式. 它能夠具體形象地刻畫一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元屬性，而且各種表征形式之間往往是相互滲透、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的. 運(yùn)用多元表征有助于學(xué)生全面理解數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)、加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成穩(wěn)固的知識(shí)體系，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

兩角差的余弦公式是高中數(shù)學(xué)必修4第三章第1節(jié)的內(nèi)容，此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式，具備了公式推導(dǎo)的基礎(chǔ). 同時(shí)它又是推導(dǎo)和角余弦公式、和（差）角正弦及正切公式、倍角公式的基礎(chǔ)，不僅公式本身滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，而且公式的推導(dǎo)過(guò)程也蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，具有較高的思維價(jià)值和教學(xué)價(jià)值. 高一年級(jí)學(xué)生剛剛從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡，是運(yùn)用多元表征形式優(yōu)化思維訓(xùn)練、深入理解數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)鍵階段.從多元表征的視角理解兩角差余弦公式的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生提高對(duì)公式的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，順利實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接都有積極的意義. 本文擬從多元表征的視角，談?wù)剬?duì)兩角差余弦公式教學(xué)的一些思考，懇請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

“兩角差的余弦公式”的多元表征

兩角差的余弦公式具有豐富的表征形式，可以用敘述性表征和描繪性表征進(jìn)行刻畫，教師應(yīng)盡可能全面地梳理它的多種表征形式，為合理設(shè)計(jì)課堂教學(xué)方案準(zhǔn)備充足的素材.

1. 符號(hào)表征：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也可簡(jiǎn)略地刻畫為“cc+ss”. 符號(hào)化是數(shù)學(xué)高度抽象性和概括性的反映，運(yùn)用符號(hào)表征，可以幫助學(xué)生牢固掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力；簡(jiǎn)潔優(yōu)美的公式蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之簡(jiǎn)、數(shù)學(xué)之奇，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美情趣和數(shù)學(xué)鑒賞能力.

2. 文字表征：兩角差的余弦等于它們的余弦之積加上正弦之積的和，也有教師為便于記憶，把它形象地描述為“闊闊加莎莎”. 學(xué)生能夠多用精練準(zhǔn)確的文字語(yǔ)言表述公式，這不僅有利于對(duì)公式的準(zhǔn)確理解和長(zhǎng)時(shí)記憶，還有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的修養(yǎng)和表達(dá)交流的能力.

3. 向量表征：構(gòu)造起點(diǎn)為原點(diǎn)O，終點(diǎn)分別在單位圓上的向量a，b，并設(shè)a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），則a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，可以證明a·b=cos（α-β），于是就有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.運(yùn)用向量表征，充分發(fā)揮了向量數(shù)形兼具的本質(zhì)屬性，揭示了向量與三角函數(shù)的聯(lián)系，體會(huì)向量在解決三角問(wèn)題中的工具性作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

4. 距離表征：在直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓O與x軸交于點(diǎn)P0，以O(shè)x軸為始邊分別作出角α，β，α-β，其終邊分別和單位圓交于點(diǎn)P1，P2，P3（如圖1），則這幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0），（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），（cos（α-β），sin（α-β））.

由△P1OP2？艿△P0OP3得，P1P2=P0P3. 再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得P1P =2-2（cosαcosβ+sinαsinβ），P0P =2-2cos（α-β），從而公式成立. 距離表征溝通了三角函數(shù)定義與公式的聯(lián)系，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式表征等式兩端，鞏固了解析法的應(yīng)用，滲透了解析幾何的基本思想.

圖1

5. 圖形表征：通過(guò)構(gòu)造平面幾何圖形，將α，β，α-β“鑲嵌”其中，用相關(guān)線段表示三角函數(shù)，以形助數(shù)，運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)推導(dǎo)公式，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合和高度統(tǒng)一，從而感悟數(shù)學(xué)和諧、體驗(yàn)數(shù)學(xué)美感. 當(dāng)α，β為銳角時(shí)，可構(gòu)造如下圖形（如圖2、3） [3]：

圖2

再設(shè)OB=1，不難推導(dǎo)cos（α-β）=OA=OC+CA=cosαcosβ+sinαsinβ.

6. 情境表征：通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境引出兩角差的余弦公式，讓學(xué)生經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程，激發(fā)探究的動(dòng)力和學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，領(lǐng)悟公式的應(yīng)用價(jià)值.

情境1：如圖4是我們學(xué)校教學(xué)樓架設(shè)網(wǎng)絡(luò)管線的橋架，因創(chuàng)建“智慧校園”的需要，想把它焊接改造為較大的橋架（如圖5）[4] ，試確定最佳焊接點(diǎn)E.

圖4

圖5

我們可以從中抽象出如下數(shù)學(xué)問(wèn)題，在Rt△ABD中，∠ABC=∠AEC=90°，∠DAB=α，∠CAB=β，AC=1，求AE的長(zhǎng).

對(duì)AE進(jìn)行“算兩次”，一方面AE=cos（α-β），另一方面AE=AD-DE=

-CDsinα= -（BD-BC）·sinα= -（cosβtanα-sinβ）sinα=……=cosαcosβ+sinαsinβ，從而同樣可以得到公式是成立的.

情境2：小王同學(xué)過(guò)生日，在切蛋糕時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題. 表述如下：現(xiàn)把一個(gè)圓形蛋糕抽象為單位圓，并置于坐標(biāo)系中（如圖6）[4]，設(shè)∠AOC=α，∠BOD=β，α，β>0，α+β< ，現(xiàn)沿OA，OB切兩刀，試探究△AOB面積，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？

這里可對(duì)△AOB面積“算兩次”，首先S△AOB= cos（α+β），其次S△AOB=S矩形OCED-（SRt△AOC+SRt△BOD+S△ABE）=cosαcosβ- ·cosαsinα+ cosβsinβ+ （cosα-sinβ）·（cosβ-sinα）= （cosαcosβ-sinαsinβ）.

所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，再用-β代β，即可得差角的余弦公式.

7. 模型表征：通過(guò)用△和□表示單角、復(fù)角、任意角甚至任意實(shí)數(shù)，這樣公式變成cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□，模型表征能夠幫助學(xué)生理解公式的結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)公式對(duì)任意角均成立，從而明確公式應(yīng)用的廣泛性.

對(duì)“兩角差的余弦公式”的教學(xué)思考

學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的一個(gè)明顯標(biāo)志就是會(huì)對(duì)各種表征進(jìn)行系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換和互譯. 兩角差的余弦公式處于和差角公式、倍角公式的“上位”，是推導(dǎo)其他公式的基礎(chǔ)，充分地理解并運(yùn)用這個(gè)公式對(duì)后面學(xué)習(xí)將起到事半功倍的效果. 筆者建議專門用一節(jié)課學(xué)習(xí)該公式，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷公式的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程，領(lǐng)悟各種表征形式的實(shí)質(zhì)，引導(dǎo)多元表征的轉(zhuǎn)化和互譯，建立各種表征形式之間的聯(lián)系. 因此合理利用各種表征，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提高課堂效率是值得研究的.

1. 對(duì)多元表征的教學(xué)價(jià)值要充分認(rèn)識(shí)

智力的核心是思維，思則明，明則通，通則變. 思維能力是學(xué)習(xí)和獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的主要能力，著名教育家贊可夫曾說(shuō)過(guò)“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一生最有價(jià)值的本錢”，因此培養(yǎng)思維能力是公式教學(xué)的一項(xiàng)主要任務(wù). 在兩角差的余弦公式教學(xué)中，如果照本宣科，缺少挑戰(zhàn)性問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，那么就很難激發(fā)學(xué)生探究的欲望.若從多元表征的視角，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題引領(lǐng)，一定能吸引學(xué)生的眼球，調(diào)動(dòng)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，從而加密學(xué)生思維的寬度、拓展學(xué)生思維的深度，對(duì)培養(yǎng)發(fā)散思維、優(yōu)化思維品質(zhì)大有好處，同時(shí)也有利于學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問(wèn)題的習(xí)慣，自覺(jué)形成將知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系遷移的意識(shí).

在實(shí)際教學(xué)中，不少教師對(duì)公式的表征一帶而過(guò)，不愿意在多元表征上下工夫，而把教學(xué)的重點(diǎn)放在公式應(yīng)用、習(xí)題操練上，是典型的“公式教學(xué)草草收?qǐng)?，題目訓(xùn)練匆忙登場(chǎng)”的現(xiàn)象，學(xué)生對(duì)差角的余弦公式似懂非懂、死記硬背，從而影響了知識(shí)的良性接受. 究其原因是教者平時(shí)缺少學(xué)習(xí)鉆研、缺少歸納提升，對(duì)多元表征不理解、無(wú)思考.因此我們要深入鉆研教材，博采眾長(zhǎng)，加強(qiáng)學(xué)習(xí)，提升對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解. 在兩角差的余弦公式教學(xué)中，合理選擇表征形式、恰當(dāng)安排表征出現(xiàn)的順序，引導(dǎo)幫助學(xué)生建立各種表征形式之間的聯(lián)系，不斷提高學(xué)生對(duì)這種系統(tǒng)間或系統(tǒng)內(nèi)表征的轉(zhuǎn)化與互譯能力，從而全面準(zhǔn)確地理解公式，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，長(zhǎng)此以往，對(duì)提高學(xué)生的知識(shí)遷移聯(lián)系能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有幫助.

2. 對(duì)表征形式的選擇要合理務(wù)實(shí)

盡管兩角差的余弦公式有多種表征形式，但并非越多越好，由于學(xué)生在一節(jié)課中所能接受的信息量是有限的，要想把所有的表征形式全交給學(xué)生，既做不到也不可能. 事實(shí)上太多的表征信息可能會(huì)造成學(xué)生理解上的困難和混亂，反而得不償失. 因此，必須根據(jù)教情和學(xué)情，對(duì)表征形式做出合理的選擇.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包含文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，能否用這三種語(yǔ)言表征數(shù)學(xué)對(duì)象并能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，是數(shù)學(xué)思維成熟的標(biāo)志之一. 文字表征、符號(hào)表征、圖形表征是三種基本形式，對(duì)理解兩角差的余弦公式必不可少. 教學(xué)中應(yīng)緊扣文字表征和符號(hào)表征，而圖形表征在于說(shuō)明可以用幾何圖形表示兩角差的余弦公式，但由于構(gòu)圖復(fù)雜、技巧性強(qiáng)、適用范圍窄，學(xué)生在短時(shí)間難以想到，還是留給學(xué)生課后思考或研究性學(xué)習(xí)更為合適.

新課程實(shí)施模塊化教學(xué)，對(duì)各模塊教學(xué)順序沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)定，各學(xué)校往往采取不同的順序展開(kāi)教學(xué)，如1→2→3→4→5，1→4→5→2→3，1→4→2→5→3等等，在必修4教學(xué)前學(xué)過(guò)必修2，則可引入距離表征；但若先學(xué)必修4，則距離表征就不適宜了. 另外情境表征在運(yùn)用時(shí)也要慎重，這兩個(gè)情境雖然生活氣息濃厚，背景也比較熟悉，但理解有一定困難，不易從中抽象出數(shù)學(xué)模型，而且情境1對(duì)三角變換要求很高，情境2由于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)正弦定理，在計(jì)算△OAB面積有一定的難度.所以情境表征不宜作為課堂引入的材料，可以作為探究題，布置學(xué)生課后研究拓展，對(duì)公式進(jìn)行再認(rèn).

3. 對(duì)表征出現(xiàn)的順序要精心設(shè)計(jì)

各種表征出現(xiàn)的不同順序安排會(huì)影響學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的理解，應(yīng)該在仔細(xì)分析教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的前提下，以符合知識(shí)發(fā)展的邏輯連貫來(lái)安排表征出現(xiàn)的順序.

就兩角差的余弦公式而言，筆者認(rèn)為可采用“向量表征→距離表征→符號(hào)表征→文字表征→模型表征”的呈現(xiàn)順序.首先以蘇教版必修4第90頁(yè)上的22題為引例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入向量表征，形成對(duì)該公式的感性認(rèn)識(shí)；然后再構(gòu)造向量嚴(yán)格證明，進(jìn)一步完善對(duì)向量表征的認(rèn)識(shí)，并利用蘇教版必修4第104頁(yè)探究題，在向量表征的基礎(chǔ)上，以向量模的計(jì)算公式為依據(jù)，運(yùn)用距離表征證明該公式，進(jìn)一步形成理性認(rèn)識(shí)；然后用符號(hào)語(yǔ)言概括公式特征、分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并進(jìn)行文字語(yǔ)言表征；強(qiáng)調(diào)公式對(duì)任意角均成立，提煉出模型表征. 這樣的設(shè)計(jì)基于學(xué)生完成向量知識(shí)的學(xué)習(xí)，并緊扣教材，符合“最近發(fā)展區(qū)”的理念，應(yīng)該說(shuō)是比較合理的.

4. 對(duì)多元表征的理解要持續(xù)深化

兩角差的余弦公式是學(xué)生接觸的第一個(gè)三角恒等變換公式，復(fù)雜難記，不可能一次完成整個(gè)認(rèn)知過(guò)程，教學(xué)中要重視公式的推導(dǎo)和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，重視三角變換中的思維過(guò)程和其中的數(shù)學(xué)思想方法，在后面的教學(xué)中要持續(xù)深化，采取措施促進(jìn)學(xué)生對(duì)多元表征的理解.

學(xué)生熟練把握公式的模型表征是對(duì)該公式學(xué)習(xí)的最高境界，要將對(duì)模型表征的理解貫穿于整個(gè)三角變換公式的教學(xué)過(guò)程之中，比如以-β代換β推出“α+β”的余弦公式，以 -（α-β）代換α-β推出“α-β”的正弦公式，令α+β=θ，α-β=φ推出和差化積公式等等，在角的代換過(guò)程中，逐步把握模型表征的內(nèi)涵，理解整體代換的方法和化歸與轉(zhuǎn)化的思想. 在習(xí)題課教學(xué)中，諸如（α+β）-（α-β）=2β，α+ - =α，2α+ =2α- + 等利用已經(jīng)角與欲求角之間的關(guān)系，來(lái)解決問(wèn)題的題型，也是訓(xùn)練學(xué)生理解模型表征的好素材. 教學(xué)中可聯(lián)系蘇教版必修4第113頁(yè)15題及閱讀欄目《弦表與托勒密定理》，布置研究性學(xué)習(xí)材料，鼓勵(lì)學(xué)生參與構(gòu)造圖形驗(yàn)證公式，從而深化對(duì)圖形表征的理解.此外公式的正用、逆用、變形應(yīng)用，添置輔助角公式等都能鞏固符號(hào)表征，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的聯(lián)系與遷移，完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

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