王秀文

[摘 要] 本文通過研究幾個現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，歸納出一般等差數(shù)列的概念；并且根據(jù)歸納猜想和累加法得到了一般等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步也由例題和變式，使學(xué)生加深對這一特殊數(shù)列的認(rèn)識和理解，以便能更好地把握其性質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 等差數(shù)列；公差；通項(xiàng)公式

教材分析

《2.2等差數(shù)列》是人教A版新課標(biāo)教材《數(shù)學(xué)》必修5第二章第二節(jié)的內(nèi)容.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用. 一方面，本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了數(shù)列的一些基本知識之后，轉(zhuǎn)入對特殊數(shù)列——等差數(shù)列的學(xué)習(xí). 另一方面，學(xué)習(xí)等差數(shù)列為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式提供了學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更為以后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了類比的依據(jù).

等差數(shù)列在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用. 因此，教科書中配置了大量的實(shí)際生活中的等差數(shù)列問題，目的是希望學(xué)生能通過對日常生活中實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列模型，用相關(guān)知識解決一些簡單的問題. 在這個過程中形成等差數(shù)列的概念，加深對等差數(shù)列性質(zhì)的理解，初步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列模型解決問題的能力.

本節(jié)課中，教科書還力圖體現(xiàn)等差數(shù)列與方程、一次函數(shù)之間的聯(lián)系.

學(xué)情分析

對于高二的學(xué)生，知識經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)比較豐富了，也具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力. 并且學(xué)生之前的兩課時已經(jīng)學(xué)習(xí)了《數(shù)列的概念與簡單表示法》，對數(shù)列的概念以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生也有了一定的理解，這也為本課時的學(xué)習(xí)奠定了一些基礎(chǔ)，學(xué)生也有能力通過一些特例得出這一特殊的等差數(shù)列的概念，并能進(jìn)一步探究推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及進(jìn)行實(shí)際問題的研究. 不同學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)生，課前有不同的要求，在課上討論時，基礎(chǔ)好些的學(xué)生負(fù)責(zé)把本組內(nèi)的待優(yōu)生帶好，爭取共同進(jìn)步.

教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容以及學(xué)情的分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（一）知識與技能目標(biāo)

理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并了解其推導(dǎo)過程及思想；初步引入“數(shù)學(xué)建模”的思想方法并能運(yùn)用. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（二）過程與方法目標(biāo)

在教學(xué)過程中采用討論式、啟發(fā)式的方法使學(xué)生深刻地理解不完全歸納法、疊加的方式探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 通過與一次函數(shù)的圖像類比，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖像特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.并且培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、邏輯推理能力和合作探究能力；培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維能力.

（三）情感態(tài)度與價值觀

通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列和一次函數(shù)之間的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法.以及從函數(shù)方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式，并會解決一些相關(guān)的問題.

學(xué)法與教法

學(xué)生經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，具備了一定的抽象概括和歸納推理的能力，對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，在授課時，要注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究和探討，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展. 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會學(xué)習(xí)成功的快樂，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

在教學(xué)過程中，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從現(xiàn)實(shí)生活中的特例引入，讓學(xué)生歸納出等差數(shù)列的概念，強(qiáng)化學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，然后讓學(xué)生進(jìn)而推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動、師生互動等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).

教學(xué)手段：多媒體，投影儀

教學(xué)過程

教學(xué)過程包括以下幾個環(huán)節(jié)：

（一）獨(dú)立自學(xué)

1. 走進(jìn)探知園，導(dǎo)入新課

教師提出問題：上兩課時我們學(xué)習(xí)了《數(shù)列的概念與簡單表示法》，你能回顧一下數(shù)列的定義是什么？它的幾種表示方法有哪些呢？

設(shè)計(jì)意圖：這樣處理是為了讓學(xué)生從中學(xué)會提出問題、研究問題的方法.

學(xué)生回答：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列；數(shù)列的表示方法有：列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖像法.

教師提出問題：我們知道實(shí)數(shù)之間有四則運(yùn)算，那像數(shù)列這樣的一類特殊的數(shù)之間運(yùn)算和性質(zhì)又是怎樣的呢？下面我們從特殊的數(shù)列入手研究這些問題.看這樣一些數(shù)列的例子：（課本36頁的4個例子）

①0，5，____，____，____，____，…；

②48，53，58，63，____，…；

③18，15.5，13，10.5，8，____，…；

④10072，10144，10216，10288，10360，

____，….

請你們在橫線上填寫相應(yīng)的數(shù)據(jù)，并觀察上述數(shù)列①②③④從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別又是什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：給出等差數(shù)列的現(xiàn)實(shí)背景，讓學(xué)生切實(shí)感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型. 通過觀察，給了學(xué)生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認(rèn)識到等差數(shù)列的特性.

學(xué)生回答：第一個數(shù)列依次填寫10，15，20，25，差為5；第二個數(shù)列填68，差為5；第三個數(shù)列填5.5，差為-2.5；第四個數(shù)列填10432，差為72.

教師提問：給出的這四個例子有什么共同特點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逐一觀察它們的特征，并進(jìn)行概括. 這時，一方面引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，另一方面要結(jié)合對這四個數(shù)列的具體探索，讓學(xué)生通過“歸納”和“概括”發(fā)現(xiàn)數(shù)列①②③④的共同特征.

學(xué)生回答：這四個數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每個都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個常數(shù)的特點(diǎn).

教師：由以上的探討我們可以看出，這四個數(shù)列的共同特征：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)（即等差）；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個名字叫等差數(shù)列. 這就是我們這節(jié)課要研究的數(shù)列.

2. 探究新知，歸納概念

等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

教師提問：大家能嘗試用遞推公式描述等差數(shù)列的定義嗎？小組內(nèi)討論一下.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用前后知識的聯(lián)系，把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言.

學(xué)生回答：對于數(shù)列{an}，若_____，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d叫作公差.

教師：定義中注意的地方是什么呢？若把從第2項(xiàng)起，改為從第3或4項(xiàng)起，還是等差數(shù)列嗎？應(yīng)該如何理解呢？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán). 因此教師應(yīng)該教會學(xué)生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識問題的能力.

學(xué)生討論回答：“從第二項(xiàng)起”、“后項(xiàng)減去前項(xiàng)”、“同一個常數(shù)”. 從第3或4項(xiàng)起，數(shù)列{an}就不是等差數(shù)列了，但是去掉第1、2兩項(xiàng)后，可以看作是等差數(shù)列.

教師提問：上面四個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差分別是什么呢？你還能舉出日常生活中等差數(shù)列的一些例子嗎？我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角形數(shù)：1，3，6，10，…；正方形數(shù)：1，4，9，16，…；斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，…等是等差數(shù)列嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，培養(yǎng)實(shí)際中的發(fā)現(xiàn)能力.

學(xué)生回答：公差依次是：5，5，-2.5，72. 舉辦奧運(yùn)會的年份：1896，1900，1904，…；男士襯衫的尺碼：37，38，39，40，41， 42，43，44，45等. 三角形數(shù)、正方形數(shù)以及斐波那契數(shù)列都不是等差數(shù)列.

教師：在上節(jié)課中，我們知道一個數(shù)列的通項(xiàng)公式對這個數(shù)列的研究有重要的意義.那么同學(xué)們思考一下，數(shù)列①②③④的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

學(xué)生舉手回答：數(shù)列①通項(xiàng)公式為5n-5，數(shù)列②通項(xiàng)公式為5n+43，數(shù)列③通項(xiàng)公式為-2.5n+20.5，數(shù)列④通項(xiàng)公式為72n+10000.

教師：很好，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識求出了這幾個數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)質(zhì)上這幾個通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求法.

（二）合作互學(xué)

1. 小組交流，合作探究

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

教師：一般地，如果一個等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得什么？

學(xué)生回答：a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…….

an-an-1=d.

教師：很好，所以可以得到什么呢？

學(xué)生繼續(xù)回答：a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=a1+3d，

……

教師提問：很好，你能由此規(guī)律，歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己猜想通項(xiàng)，體會歸納、猜想在得出新結(jié)論中的作用.

學(xué)生回答：由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+（n-1）d.

教師：由此看來，如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，就可求出來它的通項(xiàng)公式. 但是，這個公式只是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，要是證明的話，需要用到數(shù)學(xué)歸納法或迭代法.這里我用疊加法給大家證明一下.

{an}是等差數(shù)列，所以

an-an-1=d，

an-1-an-2=d，

an-2-an-3=d，

……

a2-a1=d.

以上n-1個式子，兩邊分別相加得

an-a1=（n-1）d.

所以

an=a1+（n-1）d.

這樣我們就通過疊加法證明得出了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式了，以后在題目中可以直接使用了.

教師：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d（n∈N*）. 這個式子包含幾個量呢？它和一次函數(shù)有什么關(guān)系呢？在下面的例題中我們分別看一下.

教師：下面我們來做下例題，看看如何運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2. 典題剖析，運(yùn)用新知

例1：（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)；

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

教師提問：（1）中這個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么？你能求出它的第20項(xiàng)嗎？

學(xué)生回答：首項(xiàng)和公差分別是a1=8，d=5-8=-3，又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a20=8+（20-1）×（-3）=-49.

教師：好！下面我們來看看第（2）小題怎么做.

由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4（n-1）=-4n-1.

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生把方程思想和通項(xiàng)公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列的問題. 實(shí)質(zhì)上通項(xiàng)公式就是an，a1，d，n這四個量所組成的方程（知道其中三個，我們可以求第四個量）.

說明：（1）強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n已知時，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字；（2）實(shí)際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生以前見得較少，可向?qū)W生著重點(diǎn)出本問題的實(shí)質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an= -401成立.

例2：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p，q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

例題分析：

教師提問：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么？

學(xué)生回答：只要看an-an-1（n>1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

教師：那好，大家在練習(xí)本上自己試著來求一下.

學(xué)生做：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an-1（n>1），求差得：an-an-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]=p（與n無關(guān)的常數(shù)）. 所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.

教師強(qiáng)調(diào)：（1）若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…；

（2）若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖像上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)（n，an）均在一次函數(shù)y=px+q的圖像上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q. 所以當(dāng)公差p>0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，當(dāng)公差p<0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.

（3）數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為項(xiàng)數(shù)n的一次型函數(shù).

3. 當(dāng)堂檢測，交流展示

（1）求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).

分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).

解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3+4（n-1）=4n-1，所以a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.

評述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式，要求學(xué)生注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

（2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由.

分析：要想判斷一個數(shù)是否為某一個數(shù)列的其中一項(xiàng)，其關(guān)鍵是要看是否存在一個正整數(shù)n值，使得an等于這個數(shù).

解：根據(jù)題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項(xiàng)公式an=2+7（n-1）=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個數(shù)列的第15項(xiàng).

（3）-20是不是等差數(shù)列0，-3 ，-7，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由.

（4）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=6n-1.問這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與公差分別是多少？（讓學(xué)生進(jìn)一步體會等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系）

（5）已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3-2n，則它的公差d為（ ）

A. 2 B. 3 C. -2 D. -3

（6）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=10+lg2n，試說明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

（三）導(dǎo)學(xué)提升，課堂小結(jié)

教師提問：（1）本節(jié)課你們學(xué)了什么？（2）等差數(shù)列的判斷方法有哪些？（3）用到的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生反思、歸納、總結(jié)，以此來培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、表達(dá)能力.

學(xué)生回答：通過本課時的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式an+1-an=d（n≥1，n∈N*），其次要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d.

教師：本課時的重點(diǎn)是通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，知道an，a1，d，n中任意三個，應(yīng)用方程的思想，可以求出另外一個.最后，還要注意一重要關(guān)系式an=pn+q（其中p，q是常數(shù)）的理解與應(yīng)用.判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，有兩種方法：定義法、通項(xiàng)公式法.體會歸納猜想的方法、累加法、方程及函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法.

（四）布置作業(yè)：課本第40頁，習(xí)題2.2 A組第1題.