蔣昊

[摘 要] 高考題或模擬試題是經(jīng)過命題者反復(fù)思考醞釀的，一般都具有較高的研究價(jià)值和教學(xué)運(yùn)用價(jià)值. 在高三課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該充分研究歷年試題，不要單純以“新舊”作為選題的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)站在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的高度，篩選出經(jīng)典問題作為我們例題教學(xué)的素材，從而提升高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 例題；高考題；教學(xué)

問題提出

“例題教學(xué)”是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是學(xué)生完善知識(shí)體系，培養(yǎng)應(yīng)用能力的重要途徑，是教師必備的教學(xué)能力之一. 做好例題教學(xué)的關(guān)鍵是選好題，而選擇什么樣的例題？題目的出處是哪里？這些也是需要教師認(rèn)真思考的問題.高考題或模擬試題是經(jīng)過命題者反復(fù)思考醞釀的，一般都具有較高的研究價(jià)值和教學(xué)運(yùn)用價(jià)值. 教師在充分研究試題的基礎(chǔ)上，深入挖掘題目內(nèi)涵，加強(qiáng)對解題方法的提煉、總結(jié)和歸納，這樣才能上出高效的高三復(fù)習(xí)課. 此外，選題時(shí)不應(yīng)只關(guān)注近年來的高考題或模擬題，只要是經(jīng)典問題，能反映課堂教學(xué)主線的都是好題，可以選用. 教師切忌以“新舊”作為選題的標(biāo)準(zhǔn). 在高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)，筆者以1995年全國高考理科卷第26題為載體與學(xué)生一起探究此題的解法，并提煉出求解軌跡方程的一般方法. 現(xiàn)將教學(xué)過程及感悟記錄如下與同行交流.

試題評析

題目：已知橢圓 + =1，直線l： + =1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

本題是一個(gè)解幾綜合題，涉及蘇教版必修二（第2章）“平面幾何初步”和選修1-1（第2章）“圓錐曲線與方程”的相關(guān)知識(shí). 其中涉及的“直線的方程”在高考中為C級(jí)要求，“中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)”為B級(jí)要求. 解答本題關(guān)鍵為利用“OQ·OP=OR2”此條件解得Q點(diǎn)軌跡方程. 學(xué)生解答此題的難度主要有：（1）學(xué)生讀題作圖有一定的障礙；（2）從通法著手本題擁有的計(jì)算量較大；（3）在解答中會(huì)忽視對原點(diǎn)的考慮. 綜上認(rèn)為此題為中檔題. 此題為考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題能力的一道好題，通過此題能很好地體現(xiàn)軌跡問題的求解策略，是例題教學(xué)中的好素材.

課堂實(shí)錄

基于上述對本題的理解，結(jié)合執(zhí)教學(xué)校的校情，筆者考慮設(shè)計(jì)了以“軌跡方程求解策略”為教學(xué)主線，將“以閱讀為基礎(chǔ)，以討論為鋪墊，以引導(dǎo)為突破，以點(diǎn)評為關(guān)鍵”的教學(xué)理念貫穿課堂. 把課堂教學(xué)分為“閱讀題意—預(yù)設(shè)方案—執(zhí)行方案—反思提升”四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).

師：同學(xué)們，為了加深大家對軌跡方程常用求法的理解與運(yùn)用，這節(jié)課我將與大家共同研究一道高考題. 在研究題目之前，請大家先看這樣一個(gè)簡單的問題（投影展示圖1）. 圖中三點(diǎn)Q，P，R滿足OQ·OP=OR2，你能找到它們坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？

圖1

生1：由兩點(diǎn)間距離公式可找到這組關(guān)系：x +y = · （板書）.

生2：由Q，P，R三點(diǎn)共線得到： = = .

生3：分別作Q，P，R三點(diǎn)的垂線后，利用三角形相似可以得到：xP·xQ=x ，yP·yQ=y （板書）.

生4：我同生3一樣是利用三角形相似得到x = xQ，yP= yQ（板書）.

師：說得很好，有沒有同學(xué)替生4補(bǔ)充一下R點(diǎn)坐標(biāo)與Q，P坐標(biāo)之間的關(guān)系呢？

生5：把生4得到的關(guān)系式代入生3得到的式子中即可得到x = x ，y = x （板書）.

師：非常好，對于這個(gè)問題同學(xué)們都有自己的想法和收獲. 今天我們就在此圖的背景下來看講義上的這道高考題（投影展示原題及圖2）.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：本組問題的設(shè)計(jì)是基于學(xué)情的考慮.將原題的模型做適當(dāng)?shù)姆纸?，抽離出一個(gè)條件較為單一，入手較為容易的小問題，會(huì)更便于學(xué)生接受和解決此題，這也符合學(xué)生步步為營，逐步加深的認(rèn)知規(guī)律.需要指出的是，對于從原題中抽離出的這個(gè)問題理解把握得是否到位也是最終能否解決這道高考題的關(guān)鍵.

1. 獨(dú)立閱讀，審清題意

師：請同學(xué)們在讀題時(shí)思考從題目中你能讀到哪些條件信息？有哪些隱含條件？并嘗試畫出簡圖（停頓5分鐘）.

生6：題目已知條件中包含一個(gè)等式：OQ·OP=OR2，兩個(gè)方程： + =1和 + =1，還隱含了射線OP與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)Q，以及直線與橢圓的位置關(guān)系還有OQ

師：很好，生6洋洋灑灑把題目中的許多條件和隱含條件都羅列出來了，有沒有同學(xué)想替他補(bǔ)充補(bǔ)充的？

生7：我們黑板上一開始分析的這四組關(guān)系式也是題目的隱含條件.

師：嗯，我們不能忽視了先前的勞動(dòng)所得.那就請你上來把圖再畫給大家看看.

（生7：上來板演作圖）

設(shè)計(jì)意圖：讀題審題是做題答題的基石，對題意是否理清關(guān)系著學(xué)生解題思維能否打開，是不容忽視的步驟. 讓學(xué)生自己闡述審題結(jié)果利于學(xué)生再一次對條件信息進(jìn)行強(qiáng)化，同時(shí)也便于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生忽略掉的關(guān)鍵信息進(jìn)而加以引導(dǎo)，譬如上述板書中的四組關(guān)系式. 對于解析幾何問題，作圖十分重要，這是學(xué)生將題目從文字、符號(hào)語言翻譯成圖形語言的關(guān)鍵一步，是由抽象到具象必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié).

2. 小組交流，預(yù)設(shè)方案

師：圖畫得很標(biāo)準(zhǔn)！我們已經(jīng)把題意做了簡要的梳理，下面大家就展現(xiàn)各自的聰明才智，在學(xué)習(xí)小組內(nèi)交流自己的想法，每組試著預(yù)設(shè)一個(gè)解決此題的方案，供我們接下來交流. （停頓10分鐘，教師到各組巡視參與交流討論）

師：好的，看出來有些組已經(jīng)躍躍欲試，想發(fā)表自己的想法了. 哪組先來說說看？

生8：我們組發(fā)現(xiàn)題目中要求的是點(diǎn)的軌跡，所以首先想到直接法求軌跡方程一般步驟.

師：好的，那我們大家一起來回憶下具體步驟.

生（群答）：建系→設(shè)點(diǎn)→發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系→代入→化簡.

師：建系已經(jīng)完成，那請你繼續(xù)說說步驟中的“設(shè)點(diǎn)”你們是如何處理的？

生8：步驟中的設(shè)點(diǎn)是設(shè)所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，P，R點(diǎn)也用字母表示出來了.

師：你們又找了哪個(gè)等量關(guān)系？

生8：是之前由OQ·OP=OR2推得的第一組關(guān)系式：x +y = · .

師：最終求得的Q點(diǎn)的軌跡方程中只應(yīng)包含哪些字母？

生8：xQ，yQ.

師：那么你們考慮如何處理P，R的坐標(biāo)？

生8：用xQ，yQ來表示等式中的xP，yP，xR，yR. 把xQ，yQ當(dāng)成已知量，找到關(guān)于xR，yR的兩個(gè)方程，聯(lián)立方程組把xR，yR表示出來. 我們選擇的一個(gè)方程是 + =1，另一個(gè)方程是黑板中四組關(guān)系式中的第二組關(guān)系式即由O，Q，R三點(diǎn)共線得到 = . 至于xP，yP可由 = 與 + =1聯(lián)立表示.

師：好的，這是他們設(shè)計(jì)的方案?。ń處熢诨?dòng)的同時(shí)，利用已有板書完成思維導(dǎo)圖1）

思維導(dǎo)圖1

師：其他組有沒有與之不同的方案？

生9：我們組的方案和他們不一樣！首先我們找的等量關(guān)系就不同！

師：你們找的是哪個(gè)等量關(guān)系？

生9：由點(diǎn)P在直線l上得到： + =1.

師：請你繼續(xù)分析，接下來你們是如何設(shè)計(jì)的？

生9：要得到xQ，yQ的關(guān)系式，必須用xQ，yQ來表示等式中的xP，yP，于是我們想到了黑板上的第三組關(guān)系式，將其帶入，發(fā)現(xiàn)式中還有xR，yR，于是和前一組同學(xué)一樣考慮將 = 與 + =1聯(lián)立方程組把xR，yR用xQ，yQ表示出來再代入.

師：好的，這是他們這組設(shè)計(jì)的方案. （教師在互動(dòng)的同時(shí)，利用已有板書完成思維導(dǎo)圖2）

思維導(dǎo)圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過充分的小組合作交流，上述的兩種方案學(xué)生應(yīng)不難發(fā)現(xiàn).方案一屬直接法，方案二屬相關(guān)點(diǎn)法，均為求軌跡方程的常用方法. 在此過程中，要給學(xué)生充分展示的機(jī)會(huì)，學(xué)生能一氣呵成地將方案表述出來時(shí)就應(yīng)該把課堂讓給學(xué)生，教師無須多言. 若學(xué)生理不出頭緒或表述不清則可通過師生互動(dòng)，以問題串的形式引領(lǐng)學(xué)生找到問題的突破口. 這種互動(dòng)不應(yīng)是教師讓學(xué)生如何如何做，而是通過合理巧妙地設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解決問題的切口. 這個(gè)過程切忌牽強(qiáng)，應(yīng)當(dāng)自然，可接收. 在本環(huán)節(jié)，筆者通過學(xué)生的預(yù)設(shè)方案，整理出兩個(gè)思維導(dǎo)圖，便于讓沒有思路的學(xué)生直觀感受解題路徑，讓有思路的學(xué)生對方案更加清晰深刻. 就新課程理念而言，學(xué)生自己找到解決問題的方案并口述出來，這不單單有利于提高數(shù)學(xué)思維，體會(huì)解題方法，也能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性，全方位體現(xiàn)學(xué)生的課堂主體性.

3. 執(zhí)行方案，規(guī)范過程

師：還有沒有其他不同方案了？（部分同學(xué)搖頭示意）我們通過小組交流，較為集中地得到了上述兩個(gè)預(yù)設(shè)方案，那這兩個(gè)方案可不可行呢？下面請每位同學(xué)實(shí)施各組設(shè)計(jì)的方案，看看最終能否得到正確的結(jié)果？（教師巡視，請兩位同學(xué)生10、生11將自己執(zhí)行方案的過程上黑板板演，8分鐘后）

師：同學(xué)們已經(jīng)完成好了，我們一起來看看黑板上兩位同學(xué)方案執(zhí)行的情況. （部分同學(xué)發(fā)現(xiàn)問題低聲交流起來）兩位同學(xué)完成的情況一做比較，有些同學(xué)就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題了. （生10自己舉手示意發(fā)言）好的，就你給自己“號(hào)號(hào)脈”吧！

生10：我做的過程里斜率沒有分類考慮，另外點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)不會(huì)同時(shí)為0，所以應(yīng)該在軌跡中去除坐標(biāo)原點(diǎn).

師：這個(gè)“脈”號(hào)得很準(zhǔn)！那請你再說說你哪些地方的處理是值得肯定的？（生10搖頭示意）

師：老師覺得你對二元二次方程2x +3y -4xQ-6yQ=0的處理就很到位，通過巧妙配方讓大家一眼就看出點(diǎn)Q的軌跡與橢圓有關(guān)，值得表揚(yáng)！（生10靦腆地笑了）每位同學(xué)對照自己的執(zhí)行情況，看看生10提出來的問題是否都注意到了.

設(shè)計(jì)意圖：在“例題教學(xué)”過程中，教師往往重視思路分析（預(yù)設(shè)方案），輕視解法呈現(xiàn)（執(zhí)行方案），而教學(xué)實(shí)踐中很多學(xué)生想得明白卻難做對做全. 教師應(yīng)該預(yù)估出學(xué)生執(zhí)行過程中會(huì)出現(xiàn)的問題，對出現(xiàn)的問題不能漠視應(yīng)及時(shí)解決. 譬如此題中“斜率的討論”“去除原點(diǎn)”“二元二次方程的配方”都是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn). 至于學(xué)生出錯(cuò)點(diǎn)以什么方式解決？筆者以為以學(xué)生“自主反思”的形式發(fā)現(xiàn)為最佳. 學(xué)生出的毛病讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決，教師不該輕易告知，包辦代替. 這樣處理，學(xué)生在腦海中的記憶才深刻，才能真正弄明白“錯(cuò)在哪兒”“為什么錯(cuò)”“如何糾正才對”. 此外，在點(diǎn)評時(shí)教師通常會(huì)突出“錯(cuò)誤”，忽視“妙處”.對學(xué)生處理得巧妙的地方應(yīng)加以肯定，增強(qiáng)學(xué)生自信心，也有利于學(xué)生加深對類似問題處理時(shí)的印象.

4. 點(diǎn)撥建構(gòu)，反思提升

師：通過同學(xué)們的實(shí)踐操作發(fā)現(xiàn)這兩組同學(xué)預(yù)設(shè)的方案都是正確可行的，那我們試著來找找這兩種方案在解題思路上有什么相同的地方.

生11：他們都是先從一個(gè)等式著手，然后在等式處理過程中，只保留xQ，yQ，都是依托條件設(shè)法消去其他參數(shù). （板書：找等式入手，依條件消參）

師：總結(jié)得很好！按照這樣的解題策略，我們還能有其他的方案嗎？（停頓8-10分鐘，小組交流）

生12：我們組發(fā)現(xiàn)也可從等式 + =1入手，類似方案2那樣消參解決問題.

師：好的，得到最終結(jié)果了嗎？

生12：得到了，和前兩個(gè)方案的結(jié)果是一致的！

師：很好，還有沒有其他方案了？

生13：我的方案比他們都簡單！

師：你說說看，你的方案簡單在哪兒？

生13：我借助方案2、3，從等式 + = + 入手.

師：那如何消參的呢？

生13：我利用了黑板上的第四組關(guān)系式xP= xQ，yP= yQ，x = x ，y = y ，代入之后成功消去了參數(shù)，點(diǎn)Q的軌跡方程就是 + = + . （教師在互動(dòng)的同時(shí)，利用已有板書完成思維導(dǎo)圖3）

思維導(dǎo)圖3

師：說得真好，原來直線方程的左式等于橢圓方程的左式即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程. 這種方法真是太巧妙了！那么這是一種偶然，還是一個(gè)必然的結(jié)果？我們把橢圓和直線的方程一般化，點(diǎn)Q的軌跡方程是否依然只需將直線方程的左式等于橢圓方程的左式就可得到？請同學(xué)們思考變式1. （投影變式1，停頓5分鐘）

變式1：已知橢圓mx2+ny2=1（m，n>0），直線l：Ax+By=1（A，B不同時(shí)為0），P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)Q的軌跡方程為mx2+ny2=Ax+By.

師：哪位同學(xué)發(fā)表一下自己的見解？（生13躍躍欲試，要求繼續(xù)發(fā)言）

生13：這個(gè)結(jié)論是成立的. 我們從等式mx +ny =AxP+ByP入手，仍然利用黑板上的第四組關(guān)系式消參即可證得.

師：大家同意他的說法嗎？

生：同意！

師：好的，由此可見選擇一個(gè)合適的等式入手對我們解決求軌跡的問題有多么重要，找等式是我們解決此類問題的“切口”，而消參則是我們解題過程中的“目標(biāo)”（在“找等式入手”前方板書“切口”，在“依條件消參”前方板書“目標(biāo)”），找到了切口，明確了目標(biāo)，我們再做軌跡問題也就不困難了. 課后，請同學(xué)們思考變式2，如果把此題橢圓的背景轉(zhuǎn)換成雙曲線我們還能得到如“變式1”一般的結(jié)論嗎？

變式2：已知：雙曲線C： - =1，直線l：x+2y=16，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

設(shè)計(jì)意圖：在“例題教學(xué)”過程中，教師不應(yīng)貪圖“多”，而應(yīng)力求“透”. 過于功利地就題講題對學(xué)生的效果是微乎其微的，而把一道題講全了，挖透了，讓學(xué)生通過一道題有了感悟，觸發(fā)了反思這才是有效教學(xué). 投射到此題，筆者講題時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生對不同解法的探求，但同時(shí)也并非以“一題多解”為目的，盲目擴(kuò)充解法，重點(diǎn)關(guān)注挖掘?qū)W生不同解法之間的共通之處并加以提煉建構(gòu)，形成解決此類問題的方法策略即文中所提及的“找等式入手，依條件消參”，從而讓學(xué)生充分汲取題目中的養(yǎng)分. 對于題中的“妙解”，筆者立足于讓學(xué)生知曉妙在何處？為何妙？妙的背后有無一般性的結(jié)論？這也正是筆者基于“一般化”原則和“類比”原則設(shè)計(jì)變式延伸的出發(fā)點(diǎn). 讓學(xué)生能夠由此及彼，從一道題吃透到一類題會(huì)做，實(shí)現(xiàn)所謂“多題一解”，才是例題教學(xué)的意義所在.

教學(xué)感悟

1. “選題”是提升課堂效率的關(guān)鍵

這節(jié)課筆者設(shè)計(jì)以“軌跡方程求解策略”為教學(xué)主線，因而面臨著許多題目可供選擇. 筆者選題時(shí)希望能通過一道經(jīng)典題目，把這類問題講通、講透，不以“量”來博“效”，所以在前期的選題上花費(fèi)了大量的精力. 我們教師要意識(shí)到“題海無邊”，是無法面面俱到的，我們應(yīng)該從題目中跳脫出來，以激發(fā)學(xué)生的思維為目的，提升課堂的實(shí)效. 我們無法代替學(xué)生做題，但我們可以將我們的教學(xué)工作做細(xì)，替學(xué)生把好“選題”的關(guān)，對題目的潛能做挖掘和探索，選擇有研究性和創(chuàng)造性的例題，深入透析出題目的“味道”.

2. 例題教學(xué)要充分暴露出學(xué)生的思維？搖

新課程理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生是課堂的主體，這不能僅僅停留在我們教師的腦子里，應(yīng)該付諸于實(shí)際的課堂教學(xué)中. 在高三的復(fù)習(xí)課上教師更應(yīng)當(dāng)注意不能“以教代學(xué)”. 我們要充分相信學(xué)生在高一、高二學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上是有能力解決問題甚至是拓展一些問題的，要注重讓學(xué)生多閱讀，多思考，多探究. 在本節(jié)課的教學(xué)過程中，筆者給了學(xué)生展示自己的機(jī)會(huì)，將自己的思維充分暴露出來，在學(xué)生講述了各自解法的同時(shí)也就提供給了教師教學(xué)的資源，提供給了其他學(xué)生學(xué)習(xí)的資源. 在學(xué)生將自己的解題思維暴露之后，教師可以幫助學(xué)生做適當(dāng)?shù)氖崂恚@極有可能帶來學(xué)生思維的二次暴露，從而實(shí)現(xiàn)高效的師生互動(dòng).

3. 高三復(fù)習(xí)課必須面向“大眾”

高三的例題課必須要做到全員參與，這就要求我們教師在選題時(shí)要多下功夫. 我們要尋找一些入手淺，大多數(shù)學(xué)生都能提起筆來做的題目，不能在課堂中出現(xiàn)大多數(shù)是“看客”，是“觀眾”的局面. 如果一節(jié)課下來僅僅只對個(gè)別學(xué)生產(chǎn)生了影響，那么這節(jié)課不能稱之為好課，更談不上高效. 當(dāng)然一節(jié)課只講一些索然無味的基礎(chǔ)題，學(xué)生會(huì)做的題，這節(jié)課肯定是一節(jié)廢課. 我們應(yīng)該在“淺入手”的前提下要“深挖掘”，此時(shí)的挖掘是對學(xué)生思維的提升，在拓展時(shí)不能求快求猛，試圖一步到位，應(yīng)該步步為營. 隨著我們教學(xué)的不斷深入，對不同層次的學(xué)生在不同程度上肯定都會(huì)有所幫助，有所裨益.

4. “提煉”是例題教學(xué)中不可少的環(huán)節(jié)

在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師更多地會(huì)注意在新授課中幫助學(xué)生總結(jié)提煉，而在例題教學(xué)中往往忽視這個(gè)環(huán)節(jié)，一味地就題講題，其實(shí)不然，“提煉”是例題教學(xué)中不可或缺的環(huán)節(jié)之一. 在本節(jié)課中，筆者時(shí)刻注意到幫助學(xué)生做提煉，在學(xué)生展示不同解法之后都以思維導(dǎo)圖的方式進(jìn)行梳理，在整道題目講解之后特別對“直接法求軌跡方程”這類問題解決的基本思路進(jìn)行了呈現(xiàn)——切口：“找等式入手”；關(guān)鍵：“依條件消參”. 筆者在教學(xué)時(shí)這種呈現(xiàn)也不是強(qiáng)加式的，在題目探究過程中基本思路已經(jīng)悄然生成了. 我們要意識(shí)到適時(shí)地總結(jié)提煉更有利于學(xué)生厘清解題思路，掌握解題方法，完備解決某類問題的經(jīng)驗(yàn).

“例題教學(xué)”是高三復(fù)習(xí)教學(xué)工作中重要的組成部分. 如何提高高三復(fù)習(xí)課的效率值得我們不斷探索下去. 但無論采用何種教學(xué)范式，我們都應(yīng)堅(jiān)持做到“四個(gè)不”即“例題精選不能糊；學(xué)生主體不能變；受眾范圍不能??；教師引領(lǐng)不能缺”. 只有這樣，才能有效提升課堂的教學(xué)品質(zhì).h