●李美君

(寧海中學(xué) 浙江寧海 315600)

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數(shù)學(xué)“入題”三維度：直接、間接、轉(zhuǎn)換
——以2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第19題為例*

●李美君

(寧海中學(xué) 浙江寧海 315600)

入題作為解題的源頭，統(tǒng)領(lǐng)解題的整個(gè)過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要支撐點(diǎn)．文章通過(guò)直接法、間接法和轉(zhuǎn)換法的研究，明確數(shù)學(xué)“入題”的三維度．

入題;直接;間接;轉(zhuǎn)換

高考中，不少考生對(duì)常規(guī)問(wèn)題的解答可謂得心應(yīng)手，讓人贊賞不已，但面對(duì)新穎的試題，則判若兩人：或游離于問(wèn)題之外，看不清問(wèn)題的本質(zhì)，抓不住問(wèn)題的關(guān)鍵，急促應(yīng)對(duì)；或干脆到此戛然而止，放棄作答．最主要的原因是常規(guī)題入題容易，而新穎題難以進(jìn)入，難在入題．這里“入題”指的是能根據(jù)問(wèn)題提供的條件、信息、情境、模型等，直接進(jìn)行解答或通過(guò)分析、排斥、探索、推理、轉(zhuǎn)換等途徑，由表及里，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．那么如何才能入題呢？筆者認(rèn)為最常見(jiàn)的方法是：直接法、間接法和轉(zhuǎn)換法．直接法指的是根據(jù)題目的條件直接進(jìn)行解答；間接法就是通過(guò)排除反面情況從而得到問(wèn)題解答；轉(zhuǎn)換法就是把命題進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，使陌生問(wèn)題熟悉化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．

筆者結(jié)合2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第19題，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)“入題”三緯度的粗淺看法，僅供參考．

圖1

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示)；

2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

試題以橢圓為載體，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與橢圓的公共點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導(dǎo)思想，凸顯了數(shù)學(xué)試題的選拔功能.

試題由常見(jiàn)的圓與橢圓問(wèn)題巧妙變化，推陳出新，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何“擺脫題?！薄瓣P(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)”有著極好的示范效應(yīng)，全面考查了以思維能力為核心的多種數(shù)學(xué)能力，同時(shí)兼顧了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入考查，有利于各層次學(xué)生數(shù)學(xué)才華的施展，并對(duì)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教和學(xué)有著很好的導(dǎo)向作用.

從解法來(lái)看，第1)小題的解法常規(guī)；第2)小題的直接法、間接法、轉(zhuǎn)換法也是基本的．但為什么許多考生直呼被難倒了呢？最主要的原因還是無(wú)法快速入題．

1 直接入題

1.1 第1)小題的解法

第1)小題試題呈現(xiàn)常態(tài)、背景熟悉、表述無(wú)新，直接解答就行．

(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

故

圖2

解法2 如圖2，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P(acosθ,sinθ)，則

(1)

由式(1)知

sin2θ=(kacosθ+1)2=1-cos2θ，

得

k2a2cos2θ+2kacosθ+1=1-cos2θ,

即

-(a2k2+1)cos2θ=2kacosθ.

由題意cosθ≠0，于是

評(píng)析 直接法是解答數(shù)學(xué)題最基本的方法，從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或解決所求的問(wèn)題．求線段長(zhǎng)不管用弦長(zhǎng)公式還是兩點(diǎn)間距離公式都是常規(guī)方法，對(duì)常規(guī)的或者熟知的問(wèn)題直接入題即可，因此第1)小題絕大多數(shù)考生都可以輕松解答．

1.2 第2)小題的解法

當(dāng)r=2時(shí)，圓方程為

x2+(y-1)2=4,

(1-a2)y2-2y+a2-3=0.

(2)

則

Δ=4-4(1-a2)(1+a2-r2).

令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

所以f(y)=0的2個(gè)根介于-1,1之間，即圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)．

所以f(y)=0在區(qū)間[-1,1]上無(wú)解，即圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)．

(3)

若存在不合題意的4個(gè)交點(diǎn)情況，則方程(3)在(1-r,1+r)∩(-1,1)=(-1,1)上有2個(gè)不同的解．

評(píng)析 雖然此題可用直接法解題，但分類討論繁瑣，過(guò)程復(fù)雜，對(duì)分類討論能力、解題計(jì)算能力要求極高，因此多數(shù)考生很難得到滿分．這時(shí)如果采用其他方法解題，往往可以事半功倍．

2 間接入題

(4)

則方程(4)在(1-r,1+r)∩(-1,1)上有2個(gè)不同的解．令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

①若1-r>-1,即r<2，此時(shí)

因此f(y)=0在(1-r,1)上有且只有1個(gè)解，不合要求，舍去．

②若1-r=-1，即r=2，此時(shí)y=-1為方程根，故以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去．

由Δ>0，得

a4-a2r2+r2>0，

即

在(4,+∞)上單調(diào)遞減，得a2<2，與a2>2矛盾，舍去．

綜上可知，當(dāng)a2>2時(shí)，以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓存在4個(gè)交點(diǎn)．

解法4 假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有2個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，滿足|AP|=|AQ|.

設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，且k1>0,k2>0,k1≠k2.由第1)小題知

故

由k1≠k2,k1>0,k2>0，得

(5)

因?yàn)槭?5)關(guān)于k1,k2有解的充要條件是

1+a2(a2-2)>1,

所以

評(píng)析 間接法就是問(wèn)題的正面情況較多或者正面著手很困難，而反面情況不多或者較易入題時(shí)，就正難則反，用間接法進(jìn)入,可使問(wèn)題容易得到解決，也使得解題思路明朗，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、解題能力和語(yǔ)言表達(dá)能力．

3 轉(zhuǎn)換入題

解法5 假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)交點(diǎn)，則|AP|=|AQ|，即在橢圓的單側(cè)存在一個(gè)等腰三角形．

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)M(x0,y0),則

從而(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,

于是

由x0≠0，得

(6)

即

a2>2,

亦即

解法6 設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，由第1)小題知

其中t∈(1,+∞).

解法7 取橢圓上點(diǎn)P(x,y)，則

x2+a2y2=a2，

從而 |AP|2=x2+(y-1)2=(1-a2)y2-2y+a2+1=

即

評(píng)析 在數(shù)學(xué)中，有些問(wèn)題直接求解較難，若進(jìn)行巧妙地等效轉(zhuǎn)換，再去求解，就會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單．本題圓與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為橢圓單側(cè)是否存在等腰三角形或弦長(zhǎng)在橢圓單側(cè)具有單調(diào)性問(wèn)題．轉(zhuǎn)換法是一種重要的解題方法，通過(guò)轉(zhuǎn)換，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，一般問(wèn)題特殊化，抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的．

入題作為解題之始，思維之初，對(duì)解題至關(guān)重要．快速入題，解題就成功了大半．直接法是最基本的方法，思維自然，但有時(shí)過(guò)程復(fù)雜、運(yùn)算繁瑣，容易出錯(cuò)．正面情況較多或正面入手困難時(shí)，用間接法往往有意想不到的效果．轉(zhuǎn)換法對(duì)于思維要求高，有時(shí)難以進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，但若轉(zhuǎn)換成功，往往能柳暗花明又一村．因此，加強(qiáng)對(duì)入題的教學(xué)，加深對(duì)入題方法的探索、思考，已成為構(gòu)建如何有效解題的必由之路．

[1] 李美君．2015年浙江省高考理科卷第18題解析[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2015(9)：58-60．

?2016-06-23；

2016-07-28

李美君(1976-)，女，浙江寧海人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-33-05