●殷木森

(龍華新區(qū)教科研中心 廣東深圳 518029) ●高賀清 (龍華中學(xué) 廣東深圳 518029)

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一道調(diào)研試題的反思與修正*

●殷木森

(龍華新區(qū)教科研中心 廣東深圳 518029) ●高賀清 (龍華中學(xué) 廣東深圳 518029)

“診斷”是高考調(diào)研考試主要的功能，而試題命制質(zhì)量的高低則直接影響到診斷效果.文章呈現(xiàn)的是一道“解三角形”的調(diào)研試題，通過對(duì)它的解法、學(xué)生答題情況進(jìn)行分析及反思，嘗試從不同角度對(duì)試題加以修正，以便更好地凸顯試題的考查價(jià)值.

高考數(shù)學(xué)；調(diào)研試題；解三角形

圖1

(2016年深圳市第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)理科第16題)

1 解法欣賞

解法1 (解三角形法)設(shè)∠ACB=α，∠ABC=β(其中β∈(0,π))，AC=a.在△ABC中，由正弦定理得

即

sinβ=a·sinα，

另由余弦定理得

a2= AB2+BC2-2AB·BCcosβ=

在△BCD中，由余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=

評(píng)注 設(shè)∠CAB=α，在△BAD中運(yùn)用余弦定理同樣可求得.

圖2 圖3

∠ACE=∠CDF.

由AC=CD，知

Rt△AEC≌Rt△CFD，

可得

評(píng)注 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，然后以C為圓心、CA為半徑作圓同樣可求得，讀者不妨一試.

即

化簡(jiǎn)得

評(píng)注 運(yùn)用向量法的建系方法有很多，讀者也可嘗試用復(fù)平面的方法進(jìn)行求解.

解法4 (托勒密定理[1])若ABCD為凸四邊形，則

AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

設(shè)AC=a，因?yàn)锳C=CD，AC⊥CD，所以

從而

即

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A,B,C,D共圓，即∠ABC+∠ADC=π時(shí)取到等號(hào).

這個(gè)結(jié)論也可稱為“托勒密不等式”，或者“托勒密定理的推論”，大綱不作要求.

2 題目反思

如果僅從一道題目來看，這確實(shí)是一道非常精彩的題目，既可用傳統(tǒng)解三角形的方法解決，也可用解析法、向量法，甚至運(yùn)用托勒密定理一步到位.但是，全市近18 000名理科考生的平均得分只有0.09，區(qū)分度是0.06，也就是說只有300多名考生答對(duì)，其中答對(duì)的部分考生參加過競(jìng)賽培訓(xùn)，他們學(xué)習(xí)過托勒密定理，因此真正能運(yùn)用前3種解法的考生并不多.

判斷一道調(diào)研試題的好與不好，并不是看精妙的解法有多少種：1)從理論上，要看它是否符合基礎(chǔ)性原則、科學(xué)性原則與公平性原則；2)從實(shí)際上，要看它的難度與區(qū)分度如何，一般若區(qū)分度在0.3以上的，則認(rèn)為該試題能較好區(qū)分考生的能力[2]；3)再從高考命題的導(dǎo)向來看，看它是否能用“通性通法”解決，而不是過分強(qiáng)調(diào)解題技巧.顯然，本題對(duì)技巧性的要求太高，一般學(xué)生不能達(dá)到，如解法1中通過sinβ=a·sinα就能把BD2表達(dá)式中的2個(gè)未知數(shù)a與α消掉，確實(shí)是太特殊化了.由于試題涉及邊長(zhǎng)與對(duì)角線，不可避免地給具有競(jìng)賽背景的考生以可乘之機(jī)，因?yàn)楦?jìng)賽教程中很多有關(guān)凸四邊形的結(jié)論都可以直接處理此類問題，這對(duì)其他考生而言有失公允，同時(shí)也削弱了該題作為填空壓軸題的應(yīng)有價(jià)值.

3 試題修正

基于上述反思，筆者認(rèn)為該題可以修正為：

修正1 修改題中所給圖形(如圖4所示)：讓BC水平放置，方便構(gòu)造直角三角形，給考生指引思考方向.

圖4 圖5

分析 如圖5，引導(dǎo)學(xué)生過點(diǎn)A作AE⊥BC于E(點(diǎn)E也可能在CB的延長(zhǎng)線上)，過點(diǎn)D作DF⊥BC，并交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.由解法2可知Rt△AEC≌Rt△CFD,設(shè)∠ABC=α，其中α∈(0,π)，則

再由勾股定理得

以下同解法2，不需要用到正、余弦定理就能解決.

圖6

分析 要求考生自主作圖解答.“求四邊形面積的最大值”是參考“蘇教版必修5第1章第3節(jié)例4”[3]，為了便于計(jì)算，把題目中的數(shù)據(jù)也略作修改，變成一道源于課本的試題，題目的難度系數(shù)則下降了很多.具體解法如下：

解 設(shè)∠ABC=α，其中α∈(0,π)，則在△ABC中，由余弦定理得

從而四邊形ABCD的面積

S=S△ABC+S△ACD=

筆者又嘗試對(duì)△ABC，△ACD的邊角關(guān)系進(jìn)行改變，但發(fā)現(xiàn)只要求的是對(duì)角線BD的最值范圍，就不可避免地想到托勒密定理，有興趣的讀者不妨對(duì)題目再作研究，同時(shí)可以參考“2008年數(shù)學(xué)高考海南寧夏卷(文)第17題”，使它變成一道更有價(jià)值的考題.

[1] 冷崗松．奧林匹克小叢書(高中卷9)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2005：9．

[2] 殷木森．如何命制高考模擬試題[J]．教學(xué)考試(數(shù)學(xué))，2015(4):8-11.

[3] 單墫．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修5)[M]．南京：江蘇教育出版社，2010：19-20．

?2016-07-06；

2016-09-13

殷木森(1978-)，男，廣東和平人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-17-03