●孫明輝

(安吉縣高級中學(xué) 浙江安吉 313300)

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重視“模式識別”的作用 提高“變式教學(xué)”的效率*

●孫明輝

(安吉縣高級中學(xué) 浙江安吉 313300)

“模式識別”是學(xué)習(xí)者已有知識的運用和重組,并在此基礎(chǔ)上對新問題的識別和解決.“變式教學(xué)”是依據(jù)學(xué)生已有的知識對問題模型進(jìn)行變式，幫助學(xué)習(xí)者形成概念、解決問題.文章以模式識別為理論基礎(chǔ)，以變式教學(xué)為實現(xiàn)手段，從模型背景、問題鋪墊、問題細(xì)化、模式類比4個方面進(jìn)行討論和分析，從而更好地把握變式教學(xué)，提高課堂教學(xué)的效率.

模式識別；變式教學(xué)；思維定勢

任何數(shù)學(xué)概念都是通過一定的形式表征出來的.我們對概念的記憶過程總是在頭腦中結(jié)合原有的知識結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗系統(tǒng)來進(jìn)行，從而在頭腦中逐漸形成一個相對穩(wěn)定的模式結(jié)構(gòu)．在解決數(shù)學(xué)問題時，大多數(shù)學(xué)生是通過已有模式系統(tǒng)來解決的.首先要識別眼前的問題屬于哪一類，然后以此為索引在記憶儲存中提取相應(yīng)的知識，這就是模式識別[1]．

變式教學(xué)是在強調(diào)“雙基”的基礎(chǔ)之上，重視“變式練習(xí)”，在變化中進(jìn)行重復(fù)，在重復(fù)中獲得變化[2].強調(diào)從問題原型出發(fā)，上升到抽象的數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)化的過程,事實上也就是通過變換習(xí)題的形式,讓學(xué)生體驗、比較、歸納、抓住知識的深層結(jié)構(gòu)和特征,進(jìn)一步讓學(xué)生在變式的過程中調(diào)整和優(yōu)化自身的知識結(jié)構(gòu).實際上，變式教學(xué)就是根據(jù)學(xué)習(xí)者已有的知識平臺和經(jīng)驗系統(tǒng)，設(shè)計不同層次和不同模式的問題或概念讓學(xué)習(xí)者通過識別、概括、分析、解答等方式不斷促進(jìn)學(xué)習(xí)的過程.在這里可以看出:模式識別和變式教學(xué)都強調(diào)利用已有的知識和經(jīng)驗來求解所面臨的新問題,而變式的目的就是讓學(xué)生能夠利用已掌握的原型去適應(yīng)新的問題模式或概念模式,以達(dá)到對某種方法或概念的更為本質(zhì)的領(lǐng)會和運用.因此,變式教學(xué)的各環(huán)節(jié)中依然存在一個模式識別的過程,如果沒有對問題表征和結(jié)構(gòu)的把握和識別,很難完成各階段的變式訓(xùn)練.同時,從模式識別的角度來把握變式教學(xué)的各環(huán)節(jié),能夠?qū)ψ兪浇虒W(xué)過程起到一個調(diào)節(jié)作用,更好地體現(xiàn)出變式教學(xué)的效率[3-5].

1 同一模型，不同背景,通過變式教學(xué)強化模式識別

心理學(xué)表明:要達(dá)到長時記憶,所記憶的對象必須要在幾個或者更多的場景出現(xiàn)才能保持不忘[6].數(shù)學(xué)概念和方法的理解也是一樣的,需要在不同的情景中加強體會和理解.因此,就學(xué)習(xí)者而言,能夠在不同條件和環(huán)境下對同一概念有效地進(jìn)行模式識別,也就達(dá)到了我們變式訓(xùn)練的目的，以下通過幾個例子來說明這一點．

例1 (問題原型)袋子中有紅色球3個,藍(lán)色球5個,現(xiàn)從袋子中抽取小球(每次1個),抽取不放回.求：

變式1 某產(chǎn)品有3只次品,7只正品,每次取1只測試,取后不放回.求:

1)恰好到第5次3只次品全部被測試出的概率;

2)恰好到第k次3只次品全部被測試出的概率f(k)的最大值和最小值.

變式2 在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象.一個關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了2只蒼蠅(此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅)，只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到2只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.求

1)籠內(nèi)恰好剩下1只果蠅的概率；

2)籠內(nèi)至少剩下5只果蠅的概率.

從以上3個問題可以看出，問題原型的把握和理解非常重要，要多花些時間幫助學(xué)生理解和掌握，只有在原型問題理解的基礎(chǔ)上，變式才能起到應(yīng)有的效果.事實上，原型問題也是一個逐步變式的過程,目的是讓學(xué)生更清楚地把握問題所呈現(xiàn)的基本模式和模式內(nèi)涵.從變式1可以發(fā)現(xiàn),背景的改變對學(xué)生的模式識別影響不大,學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗?zāi)芎芸斓贸鼋Y(jié)果.這樣的變式對學(xué)生模式識別能力的培養(yǎng)僅僅是外在的,缺少了分析和思考的過程,容易產(chǎn)生思維定勢.而變式2所表現(xiàn)出的卻是背景知識，對其本質(zhì)和內(nèi)涵有一定的隱藏作用,使得學(xué)生必須通過分析和鑒別才能理順變式2是否屬于問題原型,然后通過識別建立解決問題的思路.因此,變式2對模式識別能力的培養(yǎng)要顯得層次更深刻一些,當(dāng)然變式1的過渡也是不可或缺的.總之,上述的問題變式都是通過不同的應(yīng)用背景形式,體會模式識別和把握問題本質(zhì)的過程,是不斷強化模式識別的過程.當(dāng)然,對變式要把握好“度”，不要單純地為變而變，要在每次的變式過程中體現(xiàn)出模式識別的心理表征，才能使學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力得到提高.

2 問題鋪墊，層層推進(jìn)，突破已有模式改善知識結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)習(xí)者面對新的問題時,總是首先建立與原有知識結(jié)構(gòu)相關(guān)的模式,如果新問題所呈現(xiàn)的模式結(jié)構(gòu)不能與學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗系統(tǒng)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系,這時對問題的求解表現(xiàn)出較大的困難.在這種情況下,我們可以適度降低問題的難度或減少干擾因素,幫助學(xué)生逐步建立模式識別系統(tǒng),逐步增強學(xué)生在解決問題過程中的模式識別能力.有這樣一個課例片段呈現(xiàn)如下：

例2 在數(shù)列的復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了讓學(xué)生學(xué)好裂項相消法，設(shè)計了這樣的一系列問題變式：

讓學(xué)生體會裂項相消法.

與問題原型比較，是否仍然能夠用裂項相消法，引發(fā)學(xué)生思考并解決問題.

結(jié)合3個問題讓學(xué)生思考：符合怎樣的通項結(jié)構(gòu)可以用裂項相消法？

繼續(xù)追問：符合變式3的數(shù)列之和是否一定能使用裂項相消法？

讓學(xué)生反思這個問題與前面的幾個問題，比較它們在裂項求和過程中的差異.

結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗，繼續(xù)給出相關(guān)問題：

變式5 給出如下通項公式，求出它們的前n項和：

讓學(xué)生感知這3個數(shù)列的前n項和是否可用裂項法，如果可以，讓學(xué)生體會與前幾個問題所呈現(xiàn)的規(guī)律性差異，進(jìn)一步加深對裂項相消法基本模式的理解.

此變式使學(xué)習(xí)者從一般化的角度來認(rèn)識裂項相消，也就是an+1-an=cn，當(dāng)cn是一個可識別的數(shù)列時，就可以較為容易地求出{an}的通項.

以上變式教學(xué)的過程,正是在一個問題原型的基礎(chǔ)上引發(fā)的.隨著問題變式過程的推進(jìn),逐步影響著學(xué)生的模式識別能力,隨著問題的深入和認(rèn)知負(fù)荷的增加,學(xué)生的模式識別水平也在不斷地提高和改善,同時形成了一個過程化的教學(xué)環(huán)境,在這種環(huán)境的帶動下，學(xué)生對“裂項相消法”的理解從原型問題上升為比較系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這為以后更高級的模式識別和問題解決建立了良好的平臺.因此,模式識別不僅要認(rèn)識一般的規(guī)律和方法，而且要在一個動態(tài)的識別過程中突破原有的思維結(jié)構(gòu)，更有效地解決一些異常性問題和新問題．

3 問題細(xì)化,鋪設(shè)搭橋，通過模式識別引導(dǎo)知識建構(gòu)

3.1 針對數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建

在二面角的教學(xué)中,利用垂線法找二面角的平面角對初學(xué)者來說比較困難.他們通常只對標(biāo)準(zhǔn)圖形能夠識別.如果在實際問題求解中通過問題引導(dǎo)使之理解基本構(gòu)圖模式,并能夠識別,其實是比較容易找出二面角的平面角的.

例3 如圖1,在四棱錐P-ABCD中,ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,且PD=DC=a.

圖1

1)求二面角P-BC-D的大小;

2)求點D到平面PBC的距離;

3)求二面角D-PC-B的大小;

4)求二面角C-PB-D的大小.

從以上4個問題可以看出:第1)小題是標(biāo)準(zhǔn)圖形的識別,通過第2)小題建立第3)小題的模式識別,在3個問題基礎(chǔ)上體驗過程,再用第4)小題體會運用.4個問題有機組成了一個從“原型理解—鋪墊引導(dǎo)—模式識別—經(jīng)驗運用(再次模式識別)”這樣一個模式識別系統(tǒng)，為變式訓(xùn)練的開展明確了各階段的目標(biāo).

3.2 針對思想方法的理解

數(shù)列通項求解的教學(xué)中有這樣一道題:

an=4an-1+3λ,

得

3λ=1,

即

從這樣的過程中學(xué)習(xí)者會在頭腦中建立更為一般化的模式“形成基本模式(an=can-1+d)，根據(jù)待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ}，求出an”.結(jié)合學(xué)習(xí)者已有的經(jīng)驗系統(tǒng),設(shè)計了以下幾個問題變式:

分析 與問題原型類似,差異是原型中的d=1,新問題中d=-3n-1.因為λ為常數(shù),嘗試構(gòu)造

an+λ·3n=4(an-1+λ·3n-1),

還原仍然可求出λ=-1,從而

通過嘗試排除了d=-3n-1的干擾,并對原有模式進(jìn)行了重構(gòu),形成了新的模式識別體系.

分析 構(gòu)造出

an+λ1·3n+λ2=4(an-1+λ1·3n-1+λ2),

求出λ1=-1,λ2=-2,可得

分析 由前面的模式,亦可構(gòu)造

an+λ1·3n+λ2·2n=

4(an-1+λ1·3n-1+λ2·2n-1),

求出λ1,λ2即可[7].

通過以上幾個變式,我們發(fā)現(xiàn)模式識別過程因為與頭腦原有模型相似而得以成功運用,因為差異模式識別能力而得以提高,同時通過變式在問題解決的過程中強化了對問題本質(zhì)的把握和領(lǐng)會,相關(guān)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)進(jìn)一步得到優(yōu)化.然而,我們更應(yīng)該理性地看到這種基于模式識別的變式教學(xué)容易引起學(xué)習(xí)者倦怠,這需要在教學(xué)過程中做好學(xué)生心理上的調(diào)控和引導(dǎo).

4 模式類比，思考差異，比較求解過程克服思維定勢

以上2種基于模式識別理念的變式教學(xué)容易使學(xué)生形成相應(yīng)的模式識別系統(tǒng)，但在數(shù)學(xué)問題的解決過程中我們總是有這樣的體驗:對于一些看似簡單或者比較熟悉的數(shù)學(xué)問題,學(xué)習(xí)者總是由于這樣或那樣的原因給出錯誤的解法或結(jié)論.對于這種情況,我們總認(rèn)為是學(xué)習(xí)者的概念掌握不扎實或者解題經(jīng)驗不豐富造成的.實際上是學(xué)習(xí)者在面對新問題時,對于問題類型的判斷和問題呈現(xiàn)出的知識體系與自身頭腦中已有的基本模式在匹配上還不夠完善和全面.認(rèn)知系統(tǒng)僅僅是對問題有一個大概的或者是模糊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時在此基礎(chǔ)之上形成的解題方案往往因為定勢思維的影響,通常會出現(xiàn)問題解決過程中無法察覺的錯誤.為了解決這些問題,需要加強對數(shù)學(xué)問題和解題過程的比較和分析，并幫助學(xué)習(xí)者不斷體驗和反思,促使學(xué)習(xí)者頭腦中的模式形態(tài)更加完善和豐富,這樣才能在模式識別和問題解決的過程中形成較為穩(wěn)定的思維方式和心理狀態(tài),使學(xué)習(xí)者對結(jié)構(gòu)相似容易混淆的數(shù)學(xué)問題形成更為準(zhǔn)確的識別.例如有這樣3個題組變式如下：

題組1 1)袋中有7個不同的小球，其中2個為藍(lán)色球，5個為紅色球，現(xiàn)從袋中逐個抽取小球(抽取完放回)，試問取到第4次恰有2次取到藍(lán)色球的概率?

2)袋中有7個不同的小球，其中2個為藍(lán)色球，5個為紅色球，現(xiàn)從袋中逐個抽取小球(無放回)，試問取4次中恰有2次取到藍(lán)色球的概率?

3)袋中有7個不同的小球，其中2個為藍(lán)色球，5個為紅色球，現(xiàn)從袋中逐個抽取小球(無放回)，直到第4次取到所有藍(lán)色球的概率?

題組2 1)求函數(shù)y=lg(-x2+x)的值域；

2)求函數(shù)y=ln(x2-x-6)的值域；

3)函數(shù)y=ln(x2+ax+1)的值域為R，求a的范圍；

4)函數(shù)y=log2(2x+a)的值域為R，求a的范圍；

題組3[8]已知2個函數(shù)f(x)=8x2+16x-k(其中k為常數(shù))，g(x)=2x3+5x2+4x.

1)若對?x∈[-3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍;

2)若?x0∈[-3,3]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求k的取值范圍;

3)若對?x1,x2∈[-3,3]，都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范圍；

4)若對?x1∈[-3,3],?x0∈[-3,3]，使得g(x0)=f(x1)成立，求k的取值范圍.

從以上3組問題變式可以看出,雖然問題模式結(jié)構(gòu)類似但是結(jié)果卻差異很大.因此,在教學(xué)中要加強對相似問題或概念的比較和分析,通過一定的問題變式呈現(xiàn)出來,使學(xué)習(xí)者在類比的過程中建立更為全面的模式識別系統(tǒng).并形成對問題更為本質(zhì)的把握,防止模式錯位、機械模仿、思維定勢的發(fā)生,提高學(xué)生解決問題的效率和質(zhì)量.

通過以上4個方面可以看出:有效的變式教學(xué)總是通過問題變式讓學(xué)生在不同的背景和模式中重新構(gòu)建原有的知識體系和認(rèn)知框架,通過編碼和記憶在頭腦中形成一定的模式結(jié)構(gòu).當(dāng)問題所呈現(xiàn)的特點與已有模式產(chǎn)生聯(lián)系或有相關(guān)性時,通過模式識別便可以選取相應(yīng)的解決策略.事實上,在模式識別的過程中,不僅體現(xiàn)了對信息的提取和加工的過程,同時也常常表現(xiàn)為模式的選擇和優(yōu)化過程[1].

[1] 鄭毓信,梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海:上海教育出版社,1998.

[2] 張奠宙.中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M].上海:上海教育出版社,2006.

[3] 黃翔.關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理研究的幾個問題[J].教育研究,2003(1)：88-89.

[4] 俞昕.應(yīng)用模式識別指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的歸類[J].數(shù)學(xué)通報,2005(7)：44-45.

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[6] 喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧:廣西教育出版社,2004.

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[8] 浙江省教育廳教研室．普通高中新課程案例研究[M].杭州：浙江教育出版社，2010.

?2016-06-21；

2016-07-23

孫明輝(1976-)，男，山東鄆城人,中學(xué)一級教師．研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

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1003-6407(2016)11-04-04