●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 310000)

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重要的，是順應(yīng)學(xué)生的思考
——試題講評(píng)的教學(xué)實(shí)踐與思考*

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 310000)

試題講評(píng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延伸和深化.文章通過“同題異構(gòu)”的對(duì)比研究，探討如何基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、順應(yīng)學(xué)生思考、設(shè)計(jì)系列問題，引導(dǎo)學(xué)生在觀察探究、獨(dú)立思考、合作交流中經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”，將思維引向深入，從而在體驗(yàn)中積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

試題講評(píng)；經(jīng)驗(yàn)；思考

近期，筆者所在單位組織了一次試卷講評(píng)的教研活動(dòng),其主題是“關(guān)注活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有效促進(jìn)思考”，針對(duì)學(xué)生在考試時(shí)暴露出的問題，基于學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來組織教學(xué).

學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是課堂教學(xué)組織實(shí)施的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，需要從學(xué)生角度去設(shè)計(jì)學(xué)生積極參與、動(dòng)手動(dòng)腦的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察探究、獨(dú)立思考、合作交流中經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”，從而在體驗(yàn)中積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

為了使活動(dòng)能夠聚焦話題，理解“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”的內(nèi)涵，采用“同題異構(gòu)”的形式，2位教師選用同一考題，力求經(jīng)過他們對(duì)教學(xué)素材不同的處理方式，產(chǎn)生不同的教學(xué)效果，引起聽課教師的關(guān)注，通過進(jìn)一步研究和探討,尋求試題講評(píng)教學(xué)的有效途徑.1 教學(xué)素材剖析

題目 為制作一個(gè)表面積為6 cm2的正方體紙盒，現(xiàn)選用紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì)，并根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

圖1 圖2 圖3

1)方案1：如圖1，圓過點(diǎn)A，B，C，則AB是不是該圓的直徑？請(qǐng)判定并說明理由.

2)方案2：如圖2，直角三角形紙片的2條直角邊與展開圖左下角的正方形2邊重合，斜邊經(jīng)過2個(gè)正方形的頂點(diǎn)，求該方案的紙片利用率.

3)方案3：如圖3，三角形紙片每條邊均過其中2個(gè)正方形的頂點(diǎn)，求該方案的紙片利用率.

此題是試卷的最后一題，從整卷的解答情況看，除本題第3)小題的正確率不到1%外，其他試題均完成較好，說明學(xué)生對(duì)第3)小題所蘊(yùn)含知識(shí)方法有所缺失.這是試卷講評(píng)時(shí)需要突破的難點(diǎn).另外題目中所呈現(xiàn)的基本圖形為學(xué)生熟悉的，將圓、正方形、直角三角形等核心知識(shí)通過正方體展開圖聯(lián)系一起，較好地實(shí)現(xiàn)了知識(shí)整合,突出考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的思維過程，值得進(jìn)一步研究和拓展.

2 教學(xué)片斷重現(xiàn)

2.1 教師A的教學(xué)片斷

師：根據(jù)題目可知每個(gè)小正方形的邊長為1，對(duì)于方案1，說說你們的方法.

圖4 圖5 圖6

生3：建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，得到A(-2，-1),B(2，1)，C(-1，2),因此原點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，從而AB是該圓的直徑.

師：對(duì)于方案1，有3位同學(xué)從不同的角度給出了3種不同的方法.下面來說說方案2求直角三角形紙片面積的方法.

生4：建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系，直線EF的函數(shù)表達(dá)式為

求得E(-2，3),F(6，-1),則

AF=8，AE=4，

從而

圖7 圖8

生5：如圖8，將三角形進(jìn)行分割,從而

S△AEF=S△BPF+S矩形APHG=4+12=16.

師：通過分割或建立直角坐標(biāo)系就可以求出△AEF的面積.對(duì)于方案3，很多同學(xué)不會(huì)求，下面聽我講解.

接下來，教師就方案3如何求出三角形面積，利用公式求出紙片利用率，完成該題的講解.

2.2 教師B的教學(xué)片斷

想一想 第1)，2)小題的求解情況不錯(cuò)，但第3)小題不理想，說說解題時(shí)遇到的困難及想法.

圖9 圖10 圖11

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察陰影部分的圖形特點(diǎn)，由此可以聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

生2：是一個(gè)凹四邊形，有2個(gè)角的正切值為2，可以嘗試將四邊形分割成三角形.

師：這是2位同學(xué)用分割的方法求解時(shí)畫的分割線(如圖10和圖11所示)，說說你的看法.

生3：分割得到的小直角三角形的2條直角邊比為1∶2，但還是不會(huì)求陰影部分的面積.

師：圖10和圖11是在哪里分割的？

生(眾)：都是在圖形內(nèi)部.

師：可不可以到圖形外部畫圖呢？

畫一畫 你能夠順著以上2位同學(xué)的思路，繼續(xù)畫出圖形，轉(zhuǎn)化為三角形解決嗎?

生4：可以畫到圖形外面去.如圖12，設(shè)BF=x,則AB=2x,根據(jù)BC=2AB,得

1+x=2×2x,

圖12 圖13

生5：如圖13，設(shè)BH=x,則AB=2x,根據(jù)BC=2AB,得

試一試 生4和生5的方法有何共同點(diǎn)？其目的是什么？為什么可以這樣割補(bǔ)？類似地，你還可以如何割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為方程解決？請(qǐng)畫出圖形,并進(jìn)行評(píng)價(jià).

生6：通過割補(bǔ)，可以得到直角三角形(圖14～17)或直角梯形(圖18～21)，充分利用2條直角邊比為1∶2可以得出方程.

圖14圖15圖16圖17

圖18圖19圖20圖21

生7：這樣是可以求解，但感覺計(jì)算比較繁瑣.

師：剛才的思路都是用割補(bǔ)的方法求凹四邊形的面積，割補(bǔ)的目的是能夠得到2條邊之比為1∶2的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為方程解決.

圖22

看一看 如圖22，有同學(xué)聯(lián)結(jié)EF,這種割補(bǔ)的方法能求出陰影部分的面積嗎？如果不能，觀察圖形，說說你的發(fā)現(xiàn).

生8：S陰影=S△AEF-S△EFG,但△AEF的面積難求.

生9：發(fā)現(xiàn)EF∥BC,EF⊥AC.

生10：進(jìn)一步有△AEF∽△ABC,△ABC與△AEF都是直角三角形.

師：可以求出哪些線段的長度？進(jìn)一步還可以求什么？

再求△ABC的面積，比前面的方法簡(jiǎn)便.

師：發(fā)現(xiàn)∠C=90°后，如果求出AC就可以直接求△ABC的面積.聯(lián)結(jié)EF，在求解過程中起到什么作用？這給了我們什么啟發(fā)？

生12：聯(lián)結(jié)EF,構(gòu)造了一個(gè)與△ABC相似的三角形，利用相似比來求AC的長度.

生13：如圖23，聯(lián)結(jié)EP,交BC于點(diǎn)G,則

圖23 圖24

生14：如圖24，聯(lián)結(jié)DM，交AB于點(diǎn)H,則DH⊥AB,從而△BDH∽△ABC,于是

師：剛才的求解中，充分利用∠C=90°這一特點(diǎn)，在△ABC的內(nèi)部構(gòu)成相似三角形，用相似比或三角函數(shù)來求解.聯(lián)系你以往的經(jīng)驗(yàn)，利用∠C=90°這一結(jié)論，你還可以構(gòu)造什么圖形？

生17：如圖25，作矩形AGFE,其中Rt△BCF,Rt△ACE和Rt△AGB的2條直角邊比都是1∶2.設(shè)EC=x,則AE=2x,根據(jù)AG=2BG,得

師：能否優(yōu)化呢？

圖25 圖26

生18：如圖26，設(shè)EC=x,BF=y,則

x+2y=2(2x-y),

化簡(jiǎn)得

說一說 圖6與圖7是一位同學(xué)求前2個(gè)小題的方法，他是怎么求的？說說你的看法.

生19：建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，則A(-2，-1),B(2，1).

生20：如圖7，求出直線EF的函數(shù)表達(dá)式，寫出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)后，容易得到線段AE,AF的長度.

生21：通過建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)解析式來求解.

師：方案3能否用這種方法？

圖27

由直線AC⊥BC,進(jìn)而求得△ABC的面積.

理一理 請(qǐng)從圖形特征、聯(lián)系知識(shí)角度，總結(jié)本題的求解思路：

1)陰影部分有2個(gè)角的正切值為2，通過割補(bǔ)，將這2個(gè)角轉(zhuǎn)化到2條直角邊比為1∶2的直角三角形中，列出方程求解.

2)建立直角坐標(biāo)系，求出3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)后求出三角形的邊長.

3)根據(jù)∠ACB=90°，一是補(bǔ)全矩形利用2條直角邊比1∶2，來求AC,BC的長;二是構(gòu)造一對(duì)相似直角三角形，求出AC與BC的數(shù)量關(guān)系.

3 教學(xué)片段分析

3.1 重現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)，難以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

教師A組織學(xué)生充分展現(xiàn)方案1和方案2的解決途徑，每一種方法都充分讓學(xué)生交流，突出以學(xué)生為主體.但只是簡(jiǎn)單匯報(bào)各自的解法，缺少思維的聚焦、思考的連續(xù)和方法的提升.方案3是本題的難點(diǎn)，教師的講解沒有基于學(xué)生思考的現(xiàn)狀，雖然能夠讓學(xué)生完成解題任務(wù)，但以一種告訴的形式完成教學(xué)任務(wù)，難以消除學(xué)生對(duì)本題所蘊(yùn)含知識(shí)的模糊認(rèn)識(shí)或錯(cuò)誤理解，從而進(jìn)一步認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.3.2 基于經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生真正體會(huì)知識(shí)的發(fā)展與聯(lián)系

教師B的教學(xué)，其顯著特點(diǎn)是基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，順應(yīng)學(xué)生的理解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，以突破難點(diǎn).“想一想”回憶方案3解題時(shí)的思維受阻、困惑之處；“畫一畫”“試一試”基于學(xué)生原有解題基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生到圖的外面嘗試畫圖，去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法；“看一看”引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，從圖形特點(diǎn)中建立知識(shí)之間的聯(lián)系；“說一說”讀懂同伴的解法，在同伴的思考中尋求突破難點(diǎn)的思路;“理一理”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想、研究方法，為以后的解決問題拓寬思路.通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“反思解題—自主探究—合作交流—概括歸納”的過程，真正發(fā)揮學(xué)生生成作為教學(xué)資源的功能.

因此,教師A簡(jiǎn)單地重現(xiàn)知識(shí)、交流解題過程,難以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;而教師B基于學(xué)生思考經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生深入問題思考，較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

4 復(fù)習(xí)課中基于經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐

4.1 基于經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過程就是從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中生長新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過程，是學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)的過程.這一過程中，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作交流是重要的學(xué)習(xí)方式.

一是動(dòng)手實(shí)踐，鞏固經(jīng)驗(yàn)的獲得.圖10和圖11的不成功分割往往被教師所疏忽，事實(shí)上，學(xué)生在畫圖和觀察圖形時(shí)的一些痕跡，恰恰是探索過程中的思考，應(yīng)該及時(shí)地將這些直觀操作轉(zhuǎn)化為抽象的思維層面的經(jīng)驗(yàn).教師B總結(jié)“割補(bǔ)”轉(zhuǎn)化方程解決這一途徑，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察陰影部分圖形特點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行“割補(bǔ)”畫圖實(shí)踐，從而內(nèi)化獲得經(jīng)驗(yàn).

二是引導(dǎo)觀察，回憶知識(shí)經(jīng)驗(yàn).觀察圖形特征找出∠C=90°后，為進(jìn)一步利用面積公式求解找到方向,即構(gòu)造相似求CA的長.

三是關(guān)注聯(lián)系，延長思維長度.面對(duì)方案3的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生也建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行嘗試，讓他們體驗(yàn)原有解題經(jīng)驗(yàn)的成功，讓思維走得更遠(yuǎn).

4.2 設(shè)計(jì)問題系列，有效喚醒經(jīng)驗(yàn)

激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的“理性思維”，需要學(xué)生積極地參與到每一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，這就需要設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題系列，從而在一個(gè)不斷進(jìn)行問題提出、逐步探索、問題解決的過程中讓學(xué)生體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和歸納本題中的圖形特征以及解決問題的思維方法.如“畫一畫”引導(dǎo)是讓學(xué)生的視角從圖形的內(nèi)部延伸到外部進(jìn)行嘗試，輕松產(chǎn)生10余種割補(bǔ)的方法；“試一試”引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形得出∠ACB=90°，構(gòu)造相似三角形尋求求解方法，及時(shí)追問，進(jìn)一步優(yōu)化求解方法;“理一理”中的問題從圖形特征、聯(lián)系知識(shí)來總結(jié)本題的求解思路，不僅是反思解題思路，更重要的是反思思考過程，從而讓數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到提煉、總結(jié)和推廣.

在一組有層次、有梯度的問題引導(dǎo)下，學(xué)生思維循序漸進(jìn)，在不斷喚醒學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、生成新的問題的過程中，讓學(xué)生再一次鞏固獲得的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而激活數(shù)學(xué)思維.

?2016-06-19；

2016-07-23

傅瑞琦(1966-)男，浙江金華人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-41-05